In der Mathematik werden Cluster-Algebren unter anderem in Darstellungstheorie, niedrig-dimensionaler Topologie und höherer Teichmüller-Theorie verwendet. Cluster-Algebren sind Unteralgebren von , gegeben durch Erzeuger, die in n-elementigen "Clustern" zusammengefasst sind mit durch schiefsymmetrische -Austausch-Matrizen gegebenen Übergangsregeln (sog. Mutationen) zwischen Clustern.

Sie wurden 2002 von Andrei Zelevinsky und Sergey Fomin eingeführt.

Definition

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Ein Cluster   ist ein Paar aus

  • einem n-Tupel   algebraisch unabhängiger Variablen,
  • einer schiefsymmetrischen, ganzzahligen  -Matrix  , der Austauschmatrix.

Für   wird die Mutation   definiert durch   mit

  für  
 
 , falls  
 .

  ist ebenfalls ein Cluster,   sind Involutionen.

Eine Cluster-Algebra entsteht aus einem Cluster durch iterierte Anwendung aller möglichen Mutationen  . Die Cluster-Algebra heißt von endlichem Typ, wenn es nur endlich viele Cluster gibt.

Beispiele

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Für   muss die schiefsymmetrische Matrix   sein, man berechnet

 .

Wegen   ist dies eine Cluster-Algebra von endlichem Typ, sie entspricht der Cartan-Matrix  .

Sei   und  . Man berechnet

 
 
 
 
 
 
 

Diese Cluster-Algebra ist also von endlichem Typ, sie entspricht der Cartan-Matrix  .

Für   und   erhält man Cluster-Algebren unendlichen Typs.

Cluster-Algebren topologischen Ursprungs

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Triangulierungen und ihre assoziierten Austauschmatrizen.

Einer triangulierten orientierten Fläche ordnet man eine Cluster-Algebra   zu wie folgt:

  • die Variablen sind die Kanten der Triangulierung,
  •  , falls die i-te und j-te Kante innerhalb eines Dreiecks im Uhrzeigersinn aufeinander folgen,
  •  , falls die j-te und i-te Kante innerhalb eines Dreiecks im Uhrzeigersinn aufeinander folgen,
  •   sonst.

Allgemeiner kann man Cluster-Algebren auch zu in (möglicherweise degenerierte) Dreiecke zerlegten Flächen assoziieren (siehe die Arbeiten von Fomin-Shapiro-Thurston), die so erhaltenen Cluster-Algebren heißen Cluster-Algebren topologischen Ursprungs.

 
Mutationen entsprechen Flips der Triangulierung: eine Kante wird durch die komplementäre Diagonale ersetzt.

Die Mutationen sind in diesem Fall gegeben durch Flips der Kanten der Triangulierung, d. h. zu einer Kante betrachtet man das von den beiden adjazenten Dreiecken aufgespannte Viereck und ersetzt die Kante dann durch die andere Diagonale dieses Vierecks.

Cluster-Algebren endlichen Typs

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Fomin und Zelevinsky bewiesen, dass es eine Bijektion zwischen Cluster-Algebren endlichen Typs und Cartan-Matrizen endlichen Typs gibt. Cluster-Algebren endlichen Typs werden also durch Dynkin-Diagramme klassifiziert. Die Cartan-Matrizen lassen sich aus den Austausch-Matrizen berechnen.

Felikson, Shapiro und Tumarkin bewiesen, dass Cluster-Algebren mutations-endlichen Typs entweder Cluster-Algebren topologischen Ursprungs sind oder äquivalent zu einer von 11 Ausnahme-Algebren. Mutations-Endlichkeit ist allgemeiner als von endlichem Typ.

Literatur

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  • Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei: Cluster algebras. I. Foundations. J. Amer. Math. Soc. 15 (2002), no. 2, 497–529 pdf
  • Fomin, Sergey; Zelevinsky, Andrei: Cluster algebras. II. Finite type classification. Invent. Math. 154 (2003), no. 1, 63–121. pdf
  • Fomin, Sergey; Shapiro, Michael; Thurston, Dylan: Cluster algebras and triangulated surfaces. I. Cluster complexes. Acta Math. 201 (2008), no. 1, 83–146. pdf
  • Felikson, Anna; Shapiro, Michael; Tumarkin, Pavel: Skew-symmetric cluster algebras of finite mutation type. J. Eur. Math. Soc. (JEMS) 14 (2012), no. 4, 1135–1180. pdf
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