Conway-Kreis

Das Conway-Kreis-Theorem ist ein nach dem britischen Mathematiker John Horton Conway benanntes Theorem der Euklidischen Geometrie. Es beschreibt, wie man zu einem gegebenen Dreieck sechs Punkte auf dessen verlängerten Dreiecksseiten konstruiert, die auf einem gemeinsamen Kreis liegen. Dieser wird als Conway-Kreis des Dreiecks bezeichnet.

Dreieck ABC mit zugehörigem Conway-Kreis und Inkreis, I ist Mittelpunkt von Conway-Kreis und Inkreis, r ist Radius des Inkreises

Theorem

Wenn die Seiten eines Dreiecks an jeden Eckpunkt jeweils um die Länge der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Dreiecksseiten verlängert werden, dann liegen die Enden dieser Verlängerungen auf einem gemeinsamen Kreis, dem sogenannten Conway-Kreis. Dieser Kreis hat denselben Mittelpunkt wie der Inkreis des Dreiecks.

Beweise

Strecken gleicher Farbe sind gleich lang,${\begin{aligned}\triangle IF_{A}Q&\cong \triangle IF_{a}T\cong \triangle IF_{b}U\\&\cong \triangle IF_{b}R\cong \triangle IF_{c}S\\&\cong \triangle IF_{c}P\\\Rightarrow \,|IP_{a}|&=|IQ_{a}|=|IP_{b}|=|IQ_{b}|\\&=|IP_{c}|=|IQ_{c}|\end{aligned}}$

Anhand von Inkreis und Tangenten

Man betrachtet den Inkreis des Dreiecks $\triangle ABC$ mit Mittelpunkt $I$, der die Dreiecksseiten $a,b,c$ in den Punkten $F_{a},F_{b},F_{c}$ berührt. Da die Dreiecksseiten Tangenten an den Inkreis sind, gilt $|AF_{b}|=|AF_{c}|$, $|BF_{a}|=|BF_{c}|$ und $|CF_{b}|=|CF_{a}|$. Wegen $a=|BF_{a}|+|CF_{a}|$, $b=|AF_{b}|+|CF_{b}|$ und $c=|AF_{c}|+|BF_{c}|$ gilt dann

$|QF_{a}|=|TF_{a}|=|RF_{b}|=|UF_{b}|=|PF_{c}|=|SF_{c}|$.

Da diese sechs Strecken mit dem Inkreisradius ein rechtwinklige Dreiecke bilden erhält man aufgrund des Kongruenzsatzes SWS oder des Satzes von Pythagoras auch

$|IP|=|IQ|=|IR|=|IS|=|IT|=|IU|$.

Die sechs Punkte $P,Q,R,S,T,U$ besitzen also alle den gleichen Abstand von $I$ und liegen somit auf einem gemeinsamen Kreis mit $I$ als Mittelpunkt.

Anhand von Winkelhalbierenden

Aus $|AR|=|AS|=a$ folgt, dass jeder Kreis, dessen Mittelpunkt auf der Winkelhalbierenden $\omega _{a}$ liegt und der durch den Punkt $R$ verläuft, auch durch $S$ geht. Aus $|CR|=b+a=|CQ|=a+c$ folgt, dass jeder Kreis, der auf der Winkelhalbierenden $\omega _{b}$ liegt und durch $R$ verläuft, auch durch $Q$ geht. Daraus folgt, dass der Kreismittelpunkt $I$ auf dem Schnittpunkt von $\omega _{a}$ und $\omega _{b}$ liegt und der Radius gleich $IR$ durch die drei Punkte $R,S$ und $Q$ verläuft. Diese Überlegung gilt analog für jedes Tripel von benachbarten Punkten. Damit liegen alle sechs Punkte auf dem Kreis mit Mittelpunkt $I$, was zu zeigen war.

Eigenschaften

Für den Radius $\rho$ des Conway-Kreises gilt zudem

$\rho ={\sqrt {r^{2}+s^{2}}}={\sqrt {\frac {a^{2}b+ab^{2}+b^{2}c+bc^{2}+a^{2}c+ac^{2}+abc}{abc}}},$

wobei $r$ der Inkreisradius ist und $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ dem halben Dreiecksumfang entspricht.

Verallgemeinerung

Conway-Kreis mit innenliegendem Dreieck

Der Conway-Kreis ist ein Spezialfall einer generellen Kreis-Dreiecks-Beziehung, die man wie folgt erhält:

Bei einem Dreieck mit den Eckpunkten $A,B,C$ und einem beliebigen Punkt $P$ auf der Strecke $AB$ werden die folgenden Strecken konstruiert:

$BQ=BP,CR=CQ,AS=AR,BT=BS,CU=CT$

Dann gilt $AU=AP$ und die Punkte $P,Q,R,S,T,U$ sind konzyklisch, das bedeutet die sechs Punkte liegen auf einem Kreis, dem Conway-Kreis.

Literatur

• Richard Ollerton: The Conway Circle Theorem: Equivalence and Generalization. In: Mathematics Magazine, Volume 97, 2024 – Issue 1, S. 1–9
• Eric Braude: Conway’s Circle Theorem: A Short Proof, Enabling Generalization to Polygons. In: CSECS-2020: 16th Annual International CSECS Conference on Computer Science and Education in Computer Science. Sofia, Bulgaria, 2021-09-18 - 2021-09-18. (Digitalisate: arxiv, Researchgate, OpenBU)
• Michael De Villiers: Conway's Circle Theorem as a Special Case of a More General Side Divider Theorem. In: Learning and Teaching Mathematics, No. 34, 2023, S. 37–42 (Digitalisat)

Weblinks

Commons: Conway-Kreis – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Conway's Circle Theorem (englisch)
• Colin Beveridge, Elizabeth A. Williams: Conway’s Circle Theorem: a proof, this time with words. The Aperiodical, 11. Juni 2020 (Video, 9:12 Min.)
• GeoGebra: Konstruktive Animation eines Conway-Kreises
• Michael De Villiers: Conway's Circle Theorem as special case of Side Divider (Windscreen Wiper) Theorem – interaktive Illustration und weitere Informationen auf dynamicmathematicslearning.com
• Burkard Polster: Conway's Iris and the Windscreen Wiper Theorem – Mathologer-Video auf Youtube