Corona-Theorem

In der Mathematik ist das Corona-Theorem ein Satz aus der Funktionentheorie.

Satz

Sei $H^{\infty }$ der Hardy-Raum, also die Banach-Algebra der beschränkten, holomorphen Funktionen

$f\colon D\to \mathbb {C}$

auf der Kreisscheibe $D:=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \vert z\vert <1\right\}$.

Sei $\delta >0$ und seien $f_{1},\ldots ,f_{n}\in H^{\infty }$, so dass

$\vert f_{1}(z)\vert +\ldots +\vert f_{n}(z)\vert \geq \delta$

für alle $z\in D$.

Dann gibt es $g_{1},\ldots ,g_{n}\in H^{\infty }$, so dass

$f_{1}(z)g_{1}(z)+\ldots +f_{n}(z)g_{n}(z)=1$

für alle $z\in D$.

Funktionalanalytische Interpretation

Sei $\Delta$ die Menge der multiplikativen linearen Funktionale auf $H^{\infty }$ und ${\mathcal {M}}$ die Menge der Maximalideale des Hardy-Raums $H^{\infty }$. Durch $\phi \to \ker(\phi )$ hat man eine Bijektion $\Delta \to {\mathcal {M}}$.

Jedem $f\in H^{\infty }$ kann man durch ${\hat {f}}(\phi ):=\phi (f)$ eine Funktion ${\hat {f}}\colon \Delta \to \mathbb {C}$ oder vermittels obiger Bijektion dann eine Funktion

${\hat {f}}\colon {\mathcal {M}}\to \mathbb {C}$

zuordnen. Als Gelfand-Topologie bezeichnet man die schwächste Topologie auf ${\mathcal {M}}$, mit der alle ${\hat {f}}$ stetig sind. Mit dieser Topologie ist ${\mathcal {M}}$ ein kompakter Hausdorff-Raum.

Man kann $D$ als Unterraum von ${\mathcal {M}}$ auffassen, indem man $z\in D$ das Maximalideal

$M_{z}=\left\{f\in H^{\infty }\colon f(z)=0\right\}$

zuordnet.

Das Corona-Theorem ist dann äquivalent dazu, dass $D$ dicht in ${\mathcal {M}}$ ist.

Geschichte

Das Corona-Theorem in seiner funktionalanalytischen Formulierung wurde 1941 von Shizuo Kakutani vermutet und 1962 von Lennart Carleson bewiesen. Der Name bezieht sich darauf, dass die Corona von $H^{\infty }(D)$ durch ${\mathcal {M}}_{H^{\infty }(D)}\setminus {\overline {D}}$ definiert wird und es nach dem Theorem also keine Corona gibt. Einen elementaren Beweis gab 1979 Thomas Wolff unter Benutzung von $H^{2}$-Carleson-Maßen und Littlewood-Paley-Theorie.

Weblinks

• Corona-Theorem (Lexikon der Mathematik, Spektrum der Wissenschaft)
• B. Wick: The Corona Problem