Die Dedekindsche Zeta-Funktion eines Zahlkörpers ist definiert als
wobei die Ideale des Ganzheitsrings des Zahlkörpers durchläuft und deren Absolutnorm ist. Die Reihe ist absolut und gleichmäßig konvergent im Bereich für alle und es gilt die Produktdarstellung
- ,
wobei die Primideale von durchläuft. Die Zeta-Funktion besitzt eine analytische Fortsetzung auf sowie einen Pol in .
Die Dedekindsche Zeta-Funktion stellt somit eine Verallgemeinerung der Riemannschen Zeta-Funktion dar, die mit dem Körper der rationalen Zahlen (dessen Ganzheitsring gerade ist) korrespondiert.
Siehe auch
BearbeitenLiteratur
Bearbeiten- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1992, ISBN 2-540-54273-5
- Wolfgang Schwarz: Aus der Geschichte der Zahlentheorie, Ergänzte Ausarbeitung einer einstündigen Vorlesung im Winter-Semester 2000/2001, Frankfurt am Main
- Stavros Garoufalidis, James E. Pommersheim: Values of zeta functions at negative integers, Dedekind sums and toric geometry, Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge, MA, USA.