Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen

Es sei $R$ ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ Primideal oder prim, falls ${\mathfrak {p}}$ echt ist, also ${\mathfrak {p}}\neq R$, und wenn für alle Ideale ${\mathfrak {a,b}}\subseteq R$ gilt:

Aus ${\mathfrak {ab}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ folgt ${\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {p}}$ oder ${\mathfrak {b}}\subseteq {\mathfrak {p}}.$

Außerdem heißt ${\mathfrak {p}}$ vollständiges Primideal oder vollprim, falls ${\mathfrak {p}}$ echt ist und wenn für alle $a,b\in R$ gilt:

Aus $ab\in {\mathfrak {p}}$ folgt $a\in {\mathfrak {p}}$ oder $b\in {\mathfrak {p}}.$

Äquivalente Definitionen

• Ein zweiseitiges Ideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle $a,b\in R$ gilt:

Aus (für alle $r\in R$ gilt $arb\in {\mathfrak {p}}$) folgt ($a\in {\mathfrak {p}}$ oder $b\in {\mathfrak {p}}$).

• Ein zweiseitiges Ideal ${\mathfrak {p}}\subseteq R$ ist genau dann vollprim, falls es echt ist und wenn der Faktorring $R/{\mathfrak {p}}$ nullteilerfrei ist.

Spektrum

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings $R$ heißt Spektrum von $R$ und wird mit $\mathrm {Spec} (R)$ notiert.

Eigenschaften

• Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen $2\times 2$-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
• In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen $R$ mit Einselement gilt:

• Ein Element $p\in R\backslash \left\{0\right\}$ ist genau dann ein Primelement, wenn das von $p$ erzeugte Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.
• Ein Ideal ${\mathfrak {p}}\subset R$ ist genau dann prim, wenn der Faktorring $R/{\mathfrak {p}}$ ein Integritätsring ist.
• Enthält ein Primideal einen Durchschnitt ${\mathfrak {a}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {a}}_{n}$ von endlich vielen Idealen von $R$, so enthält es auch eines der Ideale ${\mathfrak {a}}_{i}$.
• Ein Ideal ${\mathfrak {p}}\subset R$ ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge $S=R\setminus {\mathfrak {p}}$ multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach ${\mathfrak {p}}$, worunter man den Ring $S^{-1}R$ versteht, den man auch als $R_{\mathfrak {p}}$ schreibt.

Beispiele

• Die Menge $2\mathbb {Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring $\mathbb {Z}$ der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
• Die Menge $6\mathbb {Z}$ der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in $\mathbb {Z}$, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
• Im Ring $R=2\mathbb {Z}$ ist das maximale Ideal ${\mathfrak {m}}=4\mathbb {Z}$ kein Primideal.
• Ein maximales Ideal ${\mathfrak {m}}\subseteq R$ eines Ringes $R$ ist genau dann prim, wenn $RR\nsubseteq {\mathfrak {m}}$. Insbesondere ist ${\mathfrak {m}}$ prim, falls $R$ ein Einselement enthält.
• Das Nullideal $(0)\subset R$ in einem kommutativen Ring $R$ mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn $R$ ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
• Das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus kommutativer Ringe ist entweder der ganze Ring oder ein Primideal. Das gilt nicht allgemein, so ist etwa das Nullideal im Ring der $n\times n$-Matrizen über einem Körper prim, aber dessen Urbild unter der Inklusion des Rings der (oberen oder unteren) $n\times n$-Dreiecksmatrizen über dem Körper nicht.

Lying Over und Going Down

Im Folgenden sei stets $R$ ein kommutativer Ring und $R\subset S$ eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal ${\mathfrak {p}}\subset R$ ein Primideal ${\mathfrak {q}}\subset S$, so dass ${\mathfrak {q}}$ über ${\mathfrak {p}}$ liegt, d. h.

${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap R$.

In diesem Fall sagt man auch, dass $S/R$ die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem $f:R\hookrightarrow S$ eine Einbettung von $R$ in $S$, so ist die von $f$ induzierte Abbildung $f^{*}:\mathrm {Spec} (S)\longrightarrow \mathrm {Spec} (R)$ mit ${\mathfrak {q}}\longmapsto f^{-1}({\mathfrak {q}})$ surjektiv.

Des Weiteren erfüllt $S/R$ die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist

${\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{n}$

eine Kette von Primidealen in $R$ und

${\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}$

eine Kette von Primidealen in $S$ mit $m<n$, so dass außerdem ${\mathfrak {q}}_{i}$ über ${\mathfrak {p}}_{i}$ liegt für alle $1\leq i\leq m$, so lässt sich letztere zu einer Kette

${\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}$

ergänzen, so dass jedes ${\mathfrak {q}}_{i}$ über ${\mathfrak {p}}_{i}$ liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn $R,S$ Integritätsringe sind und $R$ ganzabgeschlossen ist.