Diskussion:Primideal

"vollprimes Ideal"

"Ein Ideal p mit der Eigenschaft, das aus ab in p stets a in p oder b in p folgt, heißt vollständiges Primideal oder vollprimes Ideal (engl. completely prime ideal). Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt."

Hab diese deutsche Bezeichnung von "completely prime ideal" nur auf einer Webseite gefunden, gibt's Literaturstellen dazu? Ich kenn mich mit diesen nichtkommutativen Begriffen leider nicht aus.

Weiteres googlen liefert

Zbl 0346.17013

Borho, Walter

Primitive vollprime Ideale in der Einhüllenden von $\germ {so}(5,\bbfC)$. (German)

[J] J. Algebra 43, 619-654 (1976). [ISSN 0021-8693]

und

Martin Lorenz

Ph.D. Justus-Liebig-Universität Gießen 1976

Dissertation: Vollprime primitive Ideale in Gruppenalgebren überauflösbarer Gruppen

Zu "vollständiges Primideal" hab ich nur

www.mi.uni-erlangen.de/sub/veranstaltungen/koll/ss03.shtml

Ist das genug Quelle, um diesen deutschen Begriff verwenden zu dürfen? ;-) --SirJective 19:38, 26. Jul 2004 (CEST)

Fehler bei "Eigenschaften"

Hallo!

"Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen n×n-Matrizen prim, aber nicht vollprim." widerspricht der Aussage "Das Nullideal $(0)\subset R$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R$ ein Integritätsbereich ist".

Außerdem ist "Enthält ein Primideal einen Durchschnitt $\bigcap {\mathfrak {a}}_{i}$ von Idealen, so enthält es auch ein ${\mathfrak {a}}_{i}$." falsch. Das gilt nur für endliche Durchschnitte, siehe den Schnitt $\bigcap _{p{\text{ prim}}}~p\mathbb {Z} =(0)$, der in $(0)$ enthalten ist. (nicht signierter Beitrag von 92.224.248.3 (Diskussion | Beiträge) 12:51, 5. Mai 2010 (CEST))

Beispiele

nxn-Matritzen für n>1 sind keine Integritätsringe und somit kein gültiges Gegenbeispiel.(nicht signierter Beitrag von 93.232.194.215 (Diskussion) 00:36, 2. Jun. 2014)

Meiner Meinung nach schon. Sie sind zwar keine Identitätsringe, aber wenn ich den Artikel richtig verstehe, ist das Nullideal hier prim. Das ist ein Widerspruch zur Äquivalenz. -- Controlling^Disk 00:52, 2. Jun. 2014 (CEST)

Urbild eines Primideals selbst Primideal

Hallo! Mir ist aufgefallen, dass beim Beispiel "Allgemein ist das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ein Primideal." ein kleiner Fehler untergekommen ist. Die Nullabbildung wird hier nicht beachtet, unter der ist das Urbild eines jeden Primideals (die bekanntlich 0 enthalten müssen) der gesamte Ring und somit kein echtes Ideal. Außerdem ist der Artikel zu Ringhomomorphismen in diesem Beispiel nicht korrekt verlinkt (führt zu Homomorphismus im Allgemeinen, was vermutlich nicht erwünscht war). (nicht signierter Beitrag von 91.66.137.79 (Diskussion) 23:35, 2. Nov. 2020 (CET))

Auch mit Korrektur für Urbilder, die der ganze Ring sind, stimmt die Aussage nur für kommutative Ringe. Gegenbeispiel:

Sei $R=\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&d\end{pmatrix}}|a,b,d\in \mathbb {Q} \}$ und $S=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}|a,b,c,d\in \mathbb {Q} \}$ sowie der Ringhomomorphismus $\phi \colon R\to S$ die Inklusion.

Dann ist das Nullideal in $S$ ein Primideal (das folgt schnell, sobald man herausgefunden hat, dass $S$ als voller Matrizenring über einem Divisionsring ein einfacher Ring ist: Dann seien ${\mathfrak {a}}$ und ${\mathfrak {b}}$ Ideale von $S$ mit ${\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(0)$. Nimm Matrizen $A\in {\mathfrak {a}}$ und $B\in {\mathfrak {b}}$, dann muss für alle $X,Y,Z\in S$ gelten: $XAYBZ=0$. Wenn jetzt $A\neq 0$, kann ich im einfachen Ring $X,Y$ so wählen, dass $XAY=1$, und dann wähle ich noch $Z=1$ und damit $XAYBZ=B\neq 0$, also muss eine von $A$ und $B$ gleich 0 sein).

Das Urbild ist das Nullideal in $R$, und das ist das Produkt der Nicht-0-Ideale $\{{\begin{pmatrix}0&u\\0&v\end{pmatrix}}|u,v\in \mathbb {Q} \}$ und $\{{\begin{pmatrix}0&w\\0&0\end{pmatrix}}|w\in \mathbb {Q} \}$, natürlich nur in dieser Reihenfolge.

Icek~dewiki (Diskussion) 11:40, 12. Sep. 2024 (CEST)