Dedekindsche Psi-Funktion

Die Dedekindsche ψ-Funktion ist eine von mehreren nach Richard Dedekind benannten zahlentheoretischen Funktionen. Es handelt sich um eine multiplikative Funktion, sie ist durch

$\forall \ n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon \psi (n)=n\cdot \prod _{p|n \atop p\in \mathbb {P} }\left(1+{\frac {1}{p}}\right)$

definiert. Das Produkt erstreckt sich über alle Primteiler von $n.$

Werte

Nach Definition des leeren Produkts ist

$\psi (1)=1.$

Für die nächsten beiden natürlichen Zahlen ergibt sich:

$\psi (2)=2\left(1+{\frac {1}{2}}\right)=3$

$\psi (3)=3\left(1+{\frac {1}{3}}\right)=4$

Die Folge der Funktionswerte geht weiter mit 6, 6, 12, 8, 12, 12, 18, 12, 24, ….

Eigenschaften

• Die $\psi$-Funktion nimmt nur positive natürliche Zahlen als Werte an. Für alle hinreichend großen $n$ ist $\psi (n)$ größer als $n$ und gerade:

$\psi (n)>n\qquad \qquad \qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \,n>1$

$\psi (n)\equiv 0\mod 2\;\qquad \mathrm {f{\ddot {u}}r\;alle} \,n>2$

• Für Primzahlen $p$ gilt:

$\psi (p)=p+1=\varphi (p)+2$

Dabei ist $\varphi$ die Eulersche Phi-Funktion, die für jede positive natürliche Zahl $n$ die Anzahl $\varphi (n)$ der zu $n$ teilerfremden natürlichen Zahlen angibt, die nicht größer als $n$ sind.

• Die $\psi$-Funktion kann auch durch

$\psi (p^{k})=(p+1)\cdot p^{k-1}$

für Potenzen von Primzahlen $p$ mit positiven natürlichen Hochzahlen $k$ und der Festlegung, dass $\psi$ multiplikativ ist, charakterisiert werden. Der Wert $\psi (n)$ für ein beliebiges $n$ ergibt sich dann aus der Primfaktorzerlegung von $n.$

• Mit der Riemannschen Zeta-Funktion $\zeta$ gilt:

$\sum _{n}{\frac {\psi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{\zeta (2s)}}$

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Dedekind Function. In: MathWorld (englisch).
• J. Chidambaraswamy: Generalized Dedekind psi functions with respect to a polynomial. II. In: Pacific J. Math. Vol. 65, Nr. 1(1976), S. 19–27.