Ein determinantal point process (deutsch: determinantaler Punktprozess) oder kurz DPP ist ein Punktprozess, dessen -Punkt-Korrelationsfunktion eine Determinante eines Integralkerns ist. Solche Prozesse trifft man in der Spektraltheorie der Zufallsmatrizen, in der Kombinatorik, sowie im Machine Learning[1] und der Physik an.

In der Theorie der Zufallsmatrizen haben manche dieser Prozesse erstaunliche – sogenannte universelle – Eigenschaften und man erhält in vielen Situation den gleichen Prozess, unabhängig von der darunterliegenden Wahrscheinlichkeitsverteilung. Viele Fragen zu diesem Phänomen sind noch nicht geklärt und Bestandteil moderner mathematischer Forschung.

Definition

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Sei   ein lokalkompakter polnischer Raum und   ein positiver Integralkern eines lokalen Spurklasseoperators  .

Ein simpler Punktprozess   ist ein determinantal point process, falls seine  -Punkt-Korrelationsfunktion   existiert und für jedes   gilt

 .

Erläuterungen

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Da Korrelationsfunktionen positiv sind, muss zwingend auch   positiv sein.

Seien   disjunkt, dann gilt

 .

Pfaffian point processes

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Verallgemeinerungen der determinantal point processes sind pfaffian point processes, deren  -Punkt-Korrelationsfunktion Pfaffsche Determinanten sind:

 

wobei   ein   antisymmetrischer Kernel ist:

 

und  .

Beispiele

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Beispiele aus der statistischen Mechanik

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Der Fermion process und der Boson process.

Theorie der Zufallsmatrizen

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Die empirischen Spektralmaße von einer großen Klasse von unitären Matrizen konvergieren (unter entsprechender Skalierung) zu determinantal point processes mit folgenden Kernen:

Sine2-Prozess
 
Airy2-Prozess
 

wobei   die Airy-Funktion bezeichnet.

Universalität

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Die  ,   und   -Prozesse charakterisieren die Eigenwerte einer großen Klasse von unendlichdimensionaler Zufallsmatrizen.

Literatur

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  • Greg W. Anderson, Alice Guionnet, Ofer Zeitouni: An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, 2009.

Einzelnachweise

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  1. Alex Kulesza, Ben Taskar: Determinantal Point Processes for Machine Learning. Now Publisher Inc, 2012, ISBN 978-1-60198-628-3 (englisch).