Dieudonné-Planke

topologischer Raum

Die Dieudonné-Planke ist ein auf den Mathematiker Jean Dieudonné zurückgehender spezieller topologischer Raum.[1] Sie ist ein Beispiel für einen metakompakten aber nicht abzählbar parakompakten Raum.

Konstruktion des Raums

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Die Basismengen der Dieudonné-Planke

Es seien   die erste unendliche und   die erste überabzählbare Ordinalzahl sowie   und   die entsprechenden Intervalle von Ordinalzahlen.

Als Grundmenge dient   das Produkt der Intervalle ohne den „rechten, oberen Eckpunkt“. Auf   wird eine Topologie erklärt, indem für alle Ordinalzahlen   sowie   die folgenden Mengen als offene Mengen festgelegt werden:

  • die Einpunktmengen  ,
  •  ,
  •  .

Der durch diese Basis definierte topologische Raum heißt die Dieudonné-Planke.

Die unterliegende Menge   ist dieselbe wie bei der Tichonow-Planke, aber die Topologie der Dieudonné-Planke ist feiner.

Eigenschaften

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Die Dieudonné-Planke ist ein Hausdorffraum

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Eine einfache Inspektion der offenen Basismengen zeigt, dass   ein Hausdorffraum ist. Es handelt sich sogar um einen vollständig regulären Raum, der aber nicht normal ist.

Die Dieudonné-Planke ist metakompakt

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Die Dieudonné-Planke ist metakompakt, denn zu jeder offenen Überdeckung findet man eine punktendliche Verfeinerung, indem man zu jedem Punkt eine Basismenge, die auch in einer diesen Punkt enthaltenden Überdeckungsmenge liegt, wählt. Da jeder Punkt in höchstens drei verschiedenen Basismengen liegen kann, ist diese Verfeinerung tatsächlich punktendlich.

Die Dieudonné-Planke ist nicht abzählbar parakompakt

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Die Dieudonné-Planke ist nicht parakompakt, da sie nicht einmal normal ist. Sie könnte aber abzählbar parakompakt sein. Wir zeigen, dass auch dies nicht der Fall ist.

 

Die Mengen

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bilden eine abzählbare offene Überdeckung   von  . Sie besitzt keine lokalendliche Verfeinerung, denn ist   eine offene Verfeinerung, so kann man zu jedem   ein   finden mit   und diese Menge muss in einer der Mengen aus   liegen, denn es handelt sich um eine Verfeinerung. Da   aber als einzige dieser Mengen   enthält, muss es sich um   handeln. Weil   auch offen ist, muss es nach Definition der Topologie ein   geben mit  . Weil   als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist, folgt  . An dieser Stelle wird ganz wesentlich die Wahl von   als kleinste überabzählbare Ordinalzahl verwendet. Ist nun   irgendeine Umgebung von  , so gibt es   mit  , und daraus folgt   für alle  . Also schneidet jede Umgebung von   unendlich viele der  , das heißt   ist nicht lokalendlich. Daher ist   eine abzählbare, offene Überdeckung, die keine lokalendliche, offene Verfeinerung besitzt, das heißt   ist nicht abzählbar parakompakt.[2]

Einzelnachweise

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  1. J. Dieudonné: Une généralisation des espaces compacts. In: J. Math. Pure Appl. Band 23, 1944, S. 65–76.
  2. Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978, ISBN 3-540-90312-7, Beispiel 89.