Dirac–Kähler-Gleichung

Die Dirac–Kähler-Gleichung (auch Ivanenko–Landau–Kähler-Gleichung) ist eine geometrische Formulierung der Dirac-Gleichung auf pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeiten mithilfe des Laplace–de Rham-Operators. Die Gleichung wurde von Dmitri Ivanenko und Lew Landau im Jahr 1928 entdeckt, Erich Kähler entdeckte sie erneut im Jahr 1962.

Konstruktion

Sei $M$ eine $n$-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit. Das Differential $\mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k+1}(M)$ erhöht den Grad einer Differentialform und das adjungierte Differential $\delta \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k-1}(M)$ verringert den Grad einer Differentialform. Der Laplace–de-Rham-Operator:

$\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} \colon \Omega ^{k}(M)\rightarrow \Omega ^{k}(M)$

erhält daher den Grad einer Differentialform. Mit den Komplexitätsbedingungen $\mathrm {d} ^{2}=\delta ^{2}=0$ ergeben sich die Zusammenhänge $(\mathrm {d} \pm \delta )^{2}=\pm \Delta$, wodurch Dirac-Operatoren ähnlich wie bei der Konstruktion der Dirac-Gleichung existieren, sodass deren Quadrat der Laplace–de-Rham-Operator ist. Diese können jedoch nicht mehr auf den Vektorräumen von Differentialformen eines einzigen Grades definiert werden kann, daher ist der Übergang auf die direkte Summe:

$\Omega (M)=\bigoplus _{k=0}^{n}\Omega ^{k}(M)$

notwendig. Einer dieser Dirac-Operatoren ist der Dirac–Kähler-Operator:

$\mathrm {d} -\delta \colon \Omega (M)\rightarrow \Omega (M).$

Für ein Skalar $m\in \mathbb {R}$ und eine Differentialform $\omega \in \Omega ^{k}(M)$ ist die Dirac–Kähler-Gleichung gegeben durch:

$(\mathrm {d} -\delta +m)\omega =0.$

Diese besteht aus $n+3$ miteinander gekoppelten Differentialgleichungen für $n+1$ Differentialformen. Für $\textstyle \omega =\sum _{k=0}^{n}\omega _{k}$ mit $\omega _{k}\in \Omega ^{k}(M)$sind diese gegeben durch:

$\mathrm {d} \omega _{k-1}-\delta \omega _{k+1}+m\omega _{k}=0$

für $k=-1,0,\ldots ,n,n+1$. Für die Randfälle $k=-1$ und $k=n+1$ ergeben sich dabei jeweils $\mathrm {d} \omega _{n}=0$ und $\delta \omega _{0}=0$, was sowieso aus Gradgründen gelten muss, da es keine $-1$- und $n+1$-Formen auf $M$ gibt. Dadurch gibt es tatsächlich nur $n+1$ miteinander gekoppelte Differentialgleichungen für $n+1$ Differentialformen. Für $k=0$ und $k=n$ ergibt sich:

$-\delta \omega _{1}+m\omega _{0}=0$

$\mathrm {d} \omega _{n-1}+m\omega _{n}=0.$

Durch Anwendung von $\mathrm {d} -\delta -m$ auf die Dirac–Kähler-Gleichung wird diese zur Klein–Gordon-Gleichung $(\Delta +m^{2})\omega =0$, bei welcher die einzelnen Differentialgleichungen entkoppeln und daher jede einzelne Differentialform $\omega _{k}$ mit $(\Delta ^{2}+m^{2})\omega _{k}=0$die Klein–Gordon-Gleichung erfüllt. Würde für die Dirac–Kähler-Gleichung stattdessen der Operator $\mathrm {d} +\delta$ verwendet werden, würden diese stattdessen $(\Delta -m^{2})\omega =0$ erfüllen.

Weblinks

• Kähler–Dirac-Operator auf nLab (englisch)