Diracmaß

Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Maß in der Maßtheorie mit ein-elementigem Träger. Das Diracmaß ist die Verteilung einer fast sicher konstanten Zufallsvariable, und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der Delta-Distribution.

Definition

Es sei ein messbarer Raum $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ gegeben, also eine Grundmenge $\Omega$ zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra ${\mathcal {A}}$ . Zu jedem Punkt $z\in \Omega$ wird eine zugehörige Abbildung $\delta _{z}$ definiert, die jeder Menge $A\in {\mathcal {A}}$ den Wert $1$ zuordnet, wenn sie $z$ enthält, und den Wert $0$ , wenn sie $z$ nicht enthält:

\delta _{z}(A):={\begin{cases}1\ ,&{\text{falls }}z\in A\ ,\\0\ ,&\mathrm {sonst} \ .\end{cases}}

Die Abbildung $\delta _{z}\colon {\mathcal {A}}\to [0,1]$ ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt $z$ genannt. Wegen $\delta _{z}(\Omega )=1$ ist $\delta _{z}$ sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und $(\Omega ,{\mathcal {A}},\delta _{z})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß $\delta _{z}$ ist die Einheitsmasse im Punkt $z$ konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion $\chi$ kann man die definierende Gleichung auch durch

\,\delta _{z}(A)=\chi _{A}(z)

für alle $z\in \Omega$ und $A\in {\mathcal {A}}$ ausdrücken.

Eigenschaften des Dirac-Maßes

$\delta _{x}$ sei das Dirac-Maß, das auf einem festen Punkt $x$ in einem messbaren Raum $(X,\Sigma )$ zentriert ist.

$\delta _{x}$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und damit ein endliches Maß.

Angenommen, dass $(X,T)$ ein topologischer Raum ist und dass $\Sigma$ mindestens so fein ist wie die Borel-Algebra $\sigma$ -Algebra $\sigma (T)$ auf $X$ ist, dann gilt:

$\delta _{x}$ ist ein streng positives Maß, wenn und nur wenn die Topologie $T$ so ist, dass $x$ innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt, z. B. im Fall der trivialen Topologie $\varnothing ,X\}$ .
Da $\delta _{x}$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist es auch ein lokal endliches Maß.
Wenn $X$ ein topologischer Hausdorff-Raum mit seiner Borel $\sigma$ -Algebra ist, dann erfüllt $\delta _{x}$ die Bedingung, ein inneres reguläres Maß zu sein, da Singleton-Mengen wie $\{x\}$ immer kompakt sind. Folglich ist $\delta _{x}$ auch ein Radon-Maß.
Unter der Annahme, dass die Topologie $T$ fein genug ist, dass $\{x\}$ geschlossen ist, was in den meisten Anwendungen der Fall ist, ist die Unterstützung von $\delta _{x}$ gleich $\{x\}$ . (Andernfalls ist $\operatorname {supp} \left(\delta _{x}\right)$ der Abschluss von $\{x\}$ in $(X,T)$ ). Außerdem ist $\delta _{x}$ das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Unterstützung $\{x\}$ ist.
Wenn $X$ ein $n$ -dimensionaler euklidischer Raum $\mathbf {R} ^{n}$ mit seiner üblichen $\sigma$ -Algebra und $n$ -dimensionalem Lebesgue-Maß $\lambda ^{n}$ ist, dann ist $\delta _{x}$ ein singuläres Maß in Bezug auf $\lambda ^{n}$ : Man zerlegen einfach $\mathbf {R} ^{n}$ als $A=\mathbf {R} ^{n}\backslash \{x\}$ und $B=\{x\}$ und stellt fest, dass $\delta _{x}(A)=\lambda ^{n}(B)=0$ .
Das Dirac-Maß ist ein $\sigma$ -finites Maß.

Dirac-Integral

Das Dirac-Integral der Funktion $f\colon A\to \mathbb {R}$ ist definiert als das Lebesgue-Integral unter dem Dirac-Maß. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion f.

\int _{A}f\mathrm {d} \delta _{z}={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}

Begründung

Die Abbildung $f\colon A\to \mathbb {R}$ sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion unter dem Dirac-Maß ist durch

\int _{A}f\mathrm {d} \delta _{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}

definiert, wobei $f_{n}$ eine beliebige Folge einfacher Funktionen ist, die punktweise und monoton wachsend gegen $f$ konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine nicht-negative messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte $\alpha _{i}$ annimmt. $m$ sei die Anzahl der Funktionswerte $\alpha _{i}$ ; $A_{i}$ seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion $f_{n}$ jeweils den Wert $\alpha _{i}$ annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{i}(n)\delta _{z}(A_{i}(n))

Ist $z\notin A$ , dann ist $z$ erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen $A_{i}$ . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen $A_{i}$ gleich Null. Folglich ist das Integral über $A$ insgesamt gleich Null.

Ist $z\in A_{j}(n)$ für irgendein $j$ , so ist das Dirac-Maß von $A_{j}(n)$ gleich $1$ ; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen $A_{i}(n)$ ist dann gleich Null. Für das Integral der einfachen Funktionen $f_{n}$ ergibt sich somit:

\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\alpha _{j}(n)=f_{n}(z)

\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{A}f_{n}\mathrm {d} \delta _{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(z)=f(z)

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle $z$ , wenn $z\in A$ ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle $z\in \Omega$ und $A\in {\mathcal {A}}$ gilt

{\begin{aligned}\int \limits _{A}f\,\mathrm {d} \delta _{z}&=\int \limits _{A\cap f^{-1}(\{f(z)\})}f\,\mathrm {d} \delta _{z}+\int \limits _{A\setminus f^{-1}(\{f(z)\})}f\,\mathrm {d} \delta _{z}\\&=\int \limits _{\{x\in A\mid f(x)=f(z)\}}f\,\mathrm {d} \delta _{z}+\int \limits _{\{x\in A\mid f(x)\neq f(z)\}}f\,\mathrm {d} \delta _{z}\\&=f(z)\delta _{z}(A)+0\\&=f(z)\delta _{z}(A)\\&={\begin{cases}f(z)&z\in A\\0&z\not \in A\end{cases}}\end{aligned}}

Als einelementige Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist $\{f(z)\}\in {\mathcal {B}}$ . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist $f^{-1}(\{f(z)\})\in {\mathcal {A}}$ und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls $\{z\}\in {\mathcal {A}}$ , so ist auch eine Integration über $A\cap \{z\}$ und $A\setminus \{z\}$ möglich.

Siehe auch

Literatur

Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
Jean Dieudonnè 1976: Treatise on analysis, Part 2 (Seite 100), ISBN 0-12-215502-5
Benedetto, John (1997): "§2.1.3 Definition, δ" Harmonic analysis and applications. CRC Press (Seite 72), ISBN 0-8493-7879-6