Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert den Begriff der direkten Summe von Vektorräumen. Er ist von großer Bedeutung für die Theorie abelscher Gruppen. Kann eine Gruppe in eine direkte Summe zerlegt werden, so wird dadurch die Struktur der Gruppe auf einfachere Gruppen zurückgeführt. Neue Gruppen können aus den direkten Summanden gebildet werden. Die meisten Struktursätze machen eine Aussage über eine direkte Zerlegung von Gruppen.

Definitionen

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  • Die abelsche Gruppe   heißt genau dann direkte Summe zweier Untergruppen  ,  , wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind.
  1.  .
  2.  .
In diesem Fall wird geschrieben  . Dabei bezeichnet   die Untergruppe, die nur das neutrale Element   enthält.
  • Eine Untergruppe   heißt direkter Summand, wenn es eine Untergruppe   gibt mit:  . In diesem Fall heißt   Komplement von  .
  •   heißt direkt unzerlegbar, wenn   und   die einzigen direkten Summanden von   sind.
  • Sei   eine Familie von Untergruppen von  . Die Gruppe   heißt direkte Summe der  , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
  1.  . Die Familie   erzeugt  .
  2. Für jedes   gilt:  .
Es wird geschrieben:  , oder  , falls  .[1]

Erläuterungen, einfache Sätze

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  • Es seien   Untergruppen der abelschen Gruppe  . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
    • Es ist  .
    • Jedes   lässt sich eindeutig schreiben als   mit  .
    • Es ist   und aus   mit   folgt  .
  • Ist  , so haben die beiden Endomorphismen   und   die folgende Eigenschaft:   und  . Dabei ist   die Identität auf  .

Homomorphismen liefern eine Möglichkeit, direkte Summanden zu kennzeichnen und zu erkennen:

  • Seien   Homomorphismen. Dann gilt:
  1.   ist ein Monomorphismus   und   ist ein Monomorphismus.
  2. Ist   ein Epimorphismus, dann ist  .
  3. Ist   ein Isomorphismus, dann ist  .[2]
  • Für eine Untergruppe   sind folgende Aussagen äquivalent:
  1.   ist direkter Summand in  .
  2. Es gibt einen Endomorphismus   mit:   und  .
  3. Ist   die Inklusionsabbildung, so gibt es einen Homomorphismus   mit  .

Beispiele

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  •   ist direkter Summand in jeder Gruppe.
  • Es sei   die zyklische Gruppe   mit der zugehörigen Addition. Es sei  . Dann ist  . Es sind   und   Untergruppen von  . Ihr Durchschnitt ist   und ihre Summe ist  . Es ist beispielsweise  .
  • Die Gruppen der ganzen Zahlen   und der rationalen Zahlen   sind unzerlegbar. Ist   eine Primzahl, so ist   direkt unzerlegbar.
  • Hat die abelsche Gruppe eine größte Untergruppe  , dann ist   direkt unzerlegbar. Ist   eine Primzahl, so hat   die größte Untergruppe  . Also ist   direkt unzerlegbar.
  • Sind   teilerfremde ganze Zahlen, so ist  .
  • Das letzte Beispiel hat eine starke Verallgemeinerung: Sei   eine Gruppe und   mit  . Außerdem sei   mit teilerfremden  . Dann ist  .
  • Ist  , so ist  , wobei   ist. Das Komplement von   ist keineswegs eindeutig bestimmt. Es ist zum Beispiel auch   für alle  .
  • Das letzte Beispiel gilt allgemeiner. Sei   eine natürliche Zahl.   die Menge der  - Tupel mit Komponenten aus  . Weiter sei   das Tupel, das an der Stelle   eine   hat und an anderen Stellen  . Dann ist  .
  • Um zu bestimmen, ob eine Untergruppe von   direkter Summand ist, gibt es ein einfaches Kriterium:
Sei  . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
  1.   ist direkter Summand in  .
  2. Es gibt   mit  .

Die Eigenschaft 2. des letzten Satzes hat eine geometrische Bedeutung: Die Untergruppe   ist genau dann direkter Summand in  , wenn es einen Vektor   gibt, so dass   ein Parallelogramm vom Flächeninhalt 1 aufspannen.

  • Die letzte Aussage lässt sich verallgemeinern. Ist   so gilt:   ist genau dann direkter Summand in  , wenn die Zahlen  den größten gemeinsamen Teiler   haben.

Primäre Gruppen

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Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei   eine Primzahl. Die Gruppe   heißt  -primär genau dann, wenn es zu jedem   ein   gibt mit  . Die Summe aller  -primären Untergruppen einer Gruppe   ist  -primär. Es ist die größte  -primäre Untergruppe von  . Sie wird mit   bezeichnet und heißt  -Primärkomponente von  . Es gilt:

Ist   eine Torsionsgruppe, so ist  . Es ist   direkte Summe ihrer Primärkomponenten.

Universelle Eigenschaft

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  • Sei   für zwei Untergruppen   und   die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:
  1.  .
  2. Zu je zwei Homomorphismen   gibt es genau einen Homomorphismus   mit   für  .

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe. Sie gilt für beliebige Indexmengen.

  • Sei   eine Familie von Untergruppen mit  . Und   seien die Inklusionen. Dann sind äquivalent:
  1. Es ist  .
  2. Zu jeder Familie von Homomorphismen   gibt es genau ein   mit   . Das heißt, folgendes Diagramm ist für alle   kommutativ.
 
  • Seien   und   zwei abelsche Gruppen mit   und  . Gibt es zu jeder Familie   genau ein   mit   und genau ein   mit  , so sind   und   isomorph.

Einige Struktursätze

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  1. Satz: Ist   ein Homomorphismus, so ist   mit   und  .
  2. Satz: Jede Untergruppe von   ist direkte Summe von höchstens   zyklischen Untergruppen.
  3. Satz: Ist   torsionsfrei und von   Elementen erzeugt, so gibt es einen Monomorphismus  .
  4. Folgerung: Ist   eine von   Elementen erzeugte torsionsfreie Gruppe, so gibt es ein  , so dass   isomorph zu   ist.
  5. Ist   endlich erzeugt, so ist die Torsionsuntergruppe direkter Summand von  .

Einzelnachweise

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  1. László Fuchs: Abelian Groups. Springer, 2015, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 43.
  2. Frank W. Anderson, Kent R. Fuller: Rings and Categories of Modules. Springer, 1992, ISBN 0-387-97845-3, S. 66.

Literatur

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  • Da es recht mühsam ist die Beweise zu den Tatsachen in der angegebenen Literatur zusammen zu suchen sind hier Beweise zusammengestellt.