Diskussion:Adjungierte Matrix

Wieso Quadratisch?

Wieso muss die Matrix A quadratisch sein, um sie zu adjungieren? Wenn ich auf den englischen Artikel klicke, ist hier von einer n x m-Matrix die Rede. Was meiner Meinung nach auch mehr Sinn macht, denn es gibt keinen ersichtlichen Grund, warum man nicht mit nicht-quadratischen Matritzen transponieren und komplex konjungieren kann. Habe ich da was übersehen?

--84.167.242.88 19:35, 16. Feb. 2008 (CET) Simon Fuhrmann

Antwort:

Natürlich braucht die Matrix nicht quadratisch sein. Allgemein braucht man nur zwei Vektorräume $V,W$ mit Skalarprodukt. Wenn $A$ eine lineare Abbildung von $V\to W$ ist, dann kann mit Hilfe des Skalarprodukts eine adjungierte Abbildung $A^{*}:W\to V$ wie folgt definiert werden:

$\langle x,Ay\rangle _{W}=\langle A^{*}x,y\rangle _{V}{\text{ fuer alle }}x\in W,y\in V.$

Wenn die Vektorräume nicht endlichdimensional sind (z.B. Funktionenräume), muss man dabei auch noch Definitionsbereiche beachten, da lineare Abbildungen nicht mehr notwendigerweise beschränkt (stetig) sind. Ordnet man den linearen Operatoren mit Basen in $V$ und $W$ Matrizen zu, so erhält man die entsprechenden Matrizendarstellungen. Für die adjungierte Matrix gilt $A^{*}={\bar {A}}^{T}$, d.h. die adjungierte wird durch komplex konjugieren und transponieren gewonnen. (nicht signierter Beitrag von 62.178.186.155 (Diskussion) 07:23, 26. Apr. 2011 (CEST))

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 09:24, 18. Mär. 2015 (CET)

Zu beachten

Hallo,
In diesem Artikel sollte man das, was unter "Zu beachten" steht (englische Schreibweise, jedoch auch bei uns so üblich), stärker beherzigen.
Am Anfang und in den ersten beiden Abschnitten sollte man überall adj(A), was tatsächlich überwiegend für die Adjunktenmatrix (oder komplementäre Matrix) und nicht für die adjungierte Matrix verwendet wird, durch A* ersetzen. Dann ist auch der dritte Abschnitt (Eigenschaften), wo A* verwendet wird, konsistent.
W. Burmeister, Dresden

Antwort: Ich habe die Bezeichnung $A^{*}$ bis auf eine Ausnahme durchgezogen. Bei Endomorphismen würde diese Bezeichnung mit der des dualen Operators übereinstimmen, deshalb gibt es dort weiterhin $\operatorname {adj} (F)$ --Squizzz 11:50, 23. Feb 2006 (CET)

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Ein Beispiel für reelle Zahlen und ein Beispiel für komplexe Zahle wäre sehr hilfreich!

Ein Beispiel für reelle Zahlen und ein Beispiel für komplexe Zahle wäre sehr hilfreich!

Gruß, h2g

Wurde im Artikel ergänzt (allerdings nur für den komplexen Fall). --Quartl (Diskussion) 09:24, 18. Mär. 2015 (CET)

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missverständliche ' * ' Schreibweise

Moin! Ich hoffe es ist ok, wenn ich die missverständliche ' * ' Schreibweise in die - grade in der Quantenmechanik - gebräuchlichere - ' † 'SChreibweise ändere. MfG! --Fluffythekitten 17:29, 20. Okt. 2007 (CEST)

Es ist nicht ok und wurde deshalb von mir rückgängig gemacht. --Stefan Birkner 22:27, 20. Okt. 2007 (CEST)

wenn du nicht darauf eingehst, warum du die änderung für unpassend hältst, werde ich sie wiederholen.--Fluffythekitten 12:08, 28. Okt. 2007 (CET)

Es handelt sich primär um einen Mathematik-Artikel und nicht um einen der Quantentheorie. Deshalb verwende ich die Notation, die in den mir vorliegenden Büchern der linearen Algebra gebräuchlich ist. --Stefan Birkner 21:52, 28. Okt. 2007 (CET)

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Wunsch nach Erläuterung

Vielleicht kann noch jemand allgemeinverständlich schreiben, was eine Adjungierte Matrix ist & wozu sie hauptsächlich benötigt wird. Das kapiere ich nämlich nicht und ich hoffte, hier etwas dazu zu finden. 82.83.139.111 10:14, 26. Dez. 2007 (CET)

Wurde hoffentlich verständlich im Artikel ergänzt. --Quartl (Diskussion) 09:24, 18. Mär. 2015 (CET)

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Scheinbar dicker Fehler!

"Ist A eine reelle Matrix, dann ist die zu A adjungierte Matrix die Transponierte von A:" Ich bin mir nicht sicher, ob diese Aussage richtig ist:

Beispiel für eine Reelle Matrix

2  6
6  2

Die Adjungierte ist allerdings (Quelle: Wxmaxima):

 2 -6
-6  2

Die Transponierte Matrix ist (Quelle: ebenfalls Wxmaxima)

2  6
6  2

In diesem Fall entspricht die Adjungierte nicht der Transponierten.

Ich bitte um Nachprüfung. Ich selber bin mir zu unsicher als dass ich den Artikel einfach abändern würde.

Du verwechselst die adjungierte Matrix mit der Adjunkten. (Und Du hast vergessen, Deinen Diskussionsbeitrag mit --~~~~ zu unterschreiben) --Digamma 22:25, 21. Jan. 2008 (CET)

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Definition

Ich würde $A^{H}={\overline {A}}^{T}$ als primäre Definition wählen, da sie viel einfacher zugänglich ist als $\langle A\,v,w\rangle =\langle v,A^{H}\,w\rangle$. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:03, 8. Jan. 2015 (CET)

Wurde von mir nun im Artikel umgesetzt. --Quartl (Diskussion) 09:24, 18. Mär. 2015 (CET)

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Eigenvektoren der adjungierten Matrix

Gibt es eine Quelle für die Aussage unter Spektrum: "Auch die zugehörigen Eigenvektoren können komplex konjugiert gewählt werden."

Ich denke da kann man leicht Gegenbeispiele zu finden. (nicht signierter Beitrag von 78.42.150.209 (Diskussion) 17:39, 1. Jun. 2020 (CEST))

Ja, das ist offensichtlich falsch. Ich habe die Aussage entfernt, danke. -- HilberTraum (d, m) 20:52, 1. Jun. 2020 (CEST)