Diskussion:Adjunkte

Indizes

Ich habe auf der Uni gelernt, daß bei den Indizes der Koeffizienten folgende Konvention gilt: Zuerst Zeile, Später Spalte i ist also der Zeilenindex, j der Spaltenindex

Der Zeilen- und Spaltenindex ist hier bei den Cofaktoren vertauscht, weil diese die Elemente der transponierten Cofaktoren-Matrix (=Adjunkte) bilden.

Ehrlich gesagt, verstehe ich das nicht ganz. Hätte man nicht genau so gut überall i,j schreiben können? In der englischsprachigen Wikipedia steht z.B. auch

" * Define the (i,j) cofactor of A as $\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}.\,$ "

Also ich habe jetzt ne ganze Weile über dem Verständnis gesessen, aber muss dem Autor Recht geben. Man kann die Inizes nicht rumdrehen, da sie sich auf die Indizierung der Ausgangsmatrix A beziehen und die adj(A) = transponierten Cofaktoren-Matrix entsprechen (wie oben schon erwähnt) Wenn man die richtige Schreibweise (Zeilen,Spalten) verwenden möchte müsste man zwei neue Indizes (m,n) einführen. Aber das halte ich nicht für sinnvoll, da die Erklärung so schon ok ist.

Zum englischen Artikel. Der ist ebenfalls richtig, da es sich dabei nur um die Cofaktorenmatrix $\mathbf {C} _{i,j}$ handelt. Wie gesagt, der Knackpunkt liegt bei $adj(\mathbf {A} )=\mathbf {C} _{i,j}^{T}=\mathbf {C} _{j,i}$

Beispiel

Ein Beispiel wäre nicht schlecht :) --Amogorkon 04:54, 8. Feb. 2007 (CET)

Erledigt. --Stefan Birkner 12:10, 8. Feb. 2007 (CET)

die negativen determinanten sind alle falsch det(bla) und -det(bla) sind das selbe in dem Bespiel nur anders geschrieben - vollkommen falsch. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 87.187.73.201 (Diskussion • Beiträge) 23:24, 18. Jul. 2007)

Ich kann dir nicht folgen. Deine Änderungen waren jedoch falsch und ich habe sie deshalb wieder rückgängig gemacht. --Stefan Birkner 21:14, 22. Jul. 2007 (CEST)

das 3x3 bsp ist ja nett, aber doch etwas unanschaulich zu anfang. könnte jemand noch ein 2x2 bsp reinstellen? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 141.84.23.204 (Diskussion • Beiträge) 16:00, 19. Dez. 2007)

Bei einer $2\times 2$-Matrix ist leider kaum zu erkennen, wie sich die Adjunkte allgemein berechnet.

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\qquad \operatorname {adj} (A)={\begin{pmatrix}\operatorname {det} (d)&-\operatorname {det} (c)\\-\operatorname {det} (b)&\operatorname {det} (a)\end{pmatrix}}^{T}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$

Deshalb findet es keine Erwähnung im Artikel.

Formel

Ich finde die Schreibweise als transponierte ungünstig, ich dachte schon, die Formel wäre falsch, bis ich irgendwann das kleine T entdeckt habe.--G 14:25, 13. Jul. 2007 (CEST)

Eine Adjunkte wird soweit ich weiß nicht transponiert! (nicht signierter Beitrag von 84.138.94.49 (Diskussion) 23:08, 17. Jun. 2010 (CEST))

Citation needed. Du hast bestimmt auch ein bekanntes Lehrbuch, welches Deine Ansicht unterstützt? Transponierte Matrix der Kofaktorenmatrix dürfte so ziemlich die Standarddefinition sein. Man könnte natürlich die Kofaktoren gleich anders numerieren, was aber auch wieder Verwirrung stiftet.--LutzL 13:17, 18. Jun. 2010 (CEST)

Berechnung Inverse Matrix

Ich habe den Eindruck, dass man sich mit dieser "Herleitung" der Formel für die Inverse Matrix "in den Schwanz beisst", man sich also ein Logik-Problem einhandelt. Soweit ich mich erinnere, wird die Cramersche Regel mit Hilfe dieser Formel für die Inverse Matrix bewiesen, und kann daher nicht als Beweis dieser Formel herhalten.

Vielmehr folgt die Berechnung der Inversen Matrix doch unmittelbar aus der letzten der Identitäten im Abschnitt "Eigenschaften" (beachte: Invertierbarkeit ist äquivalent zu det A ungleich Null).

Umgekehrt kann man dann über Ax=e_j die Cramersche Regel herleiten.--MarkusH1982 15:15, 30. Apr. 2009 (CEST)

Das ist wohl korrekt. Und diese letzte Identität ist eine Folgerung aus dem Laplaceschen Entwicklungssatz, was auch noch erwähnt werden könnte. Überhaupt ist dies eigentlich die definierende Eigenschaft der Adjunkten, es ist seltsam, dass diese auf diesem undankbaren letzten Platz erst auftaucht.--LutzL 10:57, 9. Jun. 2009 (CEST)

Eigenschaften

Das $adj(adj(A))=det(A)^{n-2}A$ ist gilt nur fuer invertierbare Matrizen: $adj\left(adj\left({\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\right)\right)={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\neq 0$ Ich werde das mal verschieben. (nicht signierter Beitrag von Calle87 (Diskussion | Beiträge) 19:50, 9. Jul 2011 (CEST))

Das gilt auch hier, wenn man, wie für Polynome allgemein üblich, die nullte Potenz zu Eins setzt, also $\det(A)^{0}\equiv 1$.--LutzL 20:04, 9. Jul. 2011 (CEST)

I don't understand

Can you kindly explain me this property?

$\operatorname {adj} (\lambda A)=\lambda ^{n-1}\operatorname {adj} (A)$ wobei $\lambda \in K$

Why $\lambda \in K$?? Isn't $K$ a matrix $n\times n$? It is not suppose to be $\lambda \in \mathbb {R}$ ? Thank you! Joao.pimentel.ferreira (Diskussion) 15:19, 3. Okt. 2012 (CEST)

$K$ is a field or, more generally, a ring. The set of real numbers $\mathbb {R}$ and the set of complex numbers $\mathbb {C}$ are examples for fields, while the set of integers $\mathbb {Z}$ and the set of rational numbers $\mathbb {Q}$ are examples for rings (all with the usual addition and multiplication of numbers). $K$ can be any of these, so $\lambda \in K$ just means that $\lambda$ is a scalar. Best wishes, --Quartl (Diskussion) 15:48, 3. Okt. 2012 (CEST)

Of course, the set of rational number $\mathbb {Q}$ is also a field, not only a ring. --Digamma (Diskussion) 19:45, 4. Okt. 2012 (CEST)

Ok, thank you. So if I write $\operatorname {adj} (\lambda A)=\lambda ^{n-1}\operatorname {adj} (A)$ wobei $\lambda \in \mathbb {R} \$, I may say it is also correct because $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

And the problem is that at the beginning $K$ is defined as a matrix $n\times n$. Thank you and best regards.Joao.pimentel.ferreira (Diskussion) 13:37, 4. Okt. 2012 (CEST)

The problem with that is that K might also be a finite field or a polynomial ring. The identities for adjoints and determinants are polynomial identities with integer coefficients, they are applicable to far more than the usual number sets.--LutzL (Diskussion) 13:49, 4. Okt. 2012 (CEST)

Begrifflichkeit

In der Fachliteratur finden sich, wie das im Artikel zwar vermerkt ist, widersprüchliche Definitionen des Begriffs "Adjunkte". Dass damit auch die Unterdeterminante gemeint sein kann, wurde bisher aber nicht festgehalten. Auch den Begriff "klassische Adjungierte" konnte ich nirgends finden -- kann mir jemand eine Quelle nennen? --HKFPanzer (Diskussion) 15:34, 7. Mai 2013 (CEST)

Hast du einen Beleg für die Aussage, dass mit "Adjunkte" auch eine Unterdeterminante gemeint sein kann? (Und warum "die Unterdeterminante"? Es gibt doch viele davon?) --Digamma (Diskussion) 18:36, 7. Mai 2013 (CEST)

Ja genau, es gibt viele davon, deswegen wird im Taschenbuch der Mathematik von Bronstein et al. mit $A_{\mu \nu }$ "die mit dem Vorzeichenfaktor ... multiplizierte Unterdeterminante des Elements $a_{\mu \nu }$" bezeichnet: "Man nennt $A_{\mu \nu }$ Adjunkte oder algebraisches Komplement." Die gleiche Definition gibt Meyers Handbuch über die Mathematik (1972). --HKFPanzer (Diskussion) 09:59, 8. Mai 2013 (CEST)

Bist Du Dir sicher, dass da nicht auch eine Vertauschung der Indizes vorkommt? Und dass die letzte Bemerkung sich nicht doch auf die gesamte Matrix bezieht?--LutzL (Diskussion) 18:38, 8. Mai 2013 (CEST)

Ja, es heißt dann weiter: "Als adjungierte Matrix $A_{adj}$ der Matrix A [wird] die aus den Adjunkten der Elemente von A gebildete und anschließend transponierte Matrix bezeichnet." Dann folgt der Hinweis auf die Mehrdeutigkeit des Begriffs "adjungierte Matrix". --HKFPanzer (Diskussion) 22:00, 8. Mai 2013 (CEST)

Linkservice (aber ich kannte die Sprechweise vorher auch nicht ...) -- HilberTraum (Diskussion) 17:06, 9. Mai 2013 (CEST)

Wie geht's denn jetzt weiter...? Ich hab noch nie was editiert auf der Wikipedia. Soll ich den Absatz anpassen? --HKFPanzer (Diskussion) 15:49, 22. Mai 2013 (CEST)

Fehler!

Hallo zusammen.

Nachdem ich den Wikipedia-Eintrag gelesen hatte, dachte ich zunächst, einen Fehler im Skript meines Professors gefunden zu haben. Als ich ihn darauf hinwies und ihm die Seite zeigte, ärgerte er sich sehr darüber, dass bei Wikipedia so etwas falsches steht, und meinte, es wäre ein sehr gutes Beispiel dafür, dass man Wikipedia nicht immer trauen kann.

Die Adjukte einer Matriux ist keine Matrix, sondern wie in den Diskussionsbeiträgen oben richtig steht, eine Unterdeterminante der Ausgangsmatrix! Die Adjungierte einer Matrix enthält die Adjunkten (Skalare!) als Einträge. Das findet man in zahlreicher Literatur, neue und alte (Papula, Bronstein, Föllinger...) genau so beschrieben.

Und nachdem ich jetzt extra Zeit investiert habe, um diesen Sachverhalt für mich zu recherchieren, kann ich außerdem sagen, ich habe noch keine Literatur gefunden, in der es so beschrieben wird, wie in diesem Wikipedia Artikel. Ich frage mich wie der Autor des Artikels dazu kommt, das so zu beschreiben. Selbst ausgedacht?

Man könnte auch die Standpunkt vertreten, dass jemand, der so etwas bei Wikipedia nachschaut, es nicht besser verdient hat, als eben etwas Falsches zu lernen. Diesen Standpunkt habe ich nicht.

Ich denke, wenn man was genau weiß, kann man es in einem Artikel bei Wikipedia beschreiben und wenn nicht dann lässt man einfach die Finger davon!

Mein Vorschlag an den Autor des Wikipedia-Artikels: Artikel entweder anpassen oder löschen!

Find ich nicht gut! (nicht signierter Beitrag von 139.6.98.201 (Diskussion) 11:35, 9. Dez. 2013 (CET))

Nun, die Matrix hat nun mal in der Literatur unterschiedliche Bezeichnungen und im erste Satz werden doch alle genannt: Wo ist also genau das Problem? Und Adjunkte ist schon weit verbreitet, wie eine einfache Google-Suche zeigt. Lehrbücher sind z.B. [1],[2] oder [3]. -- HilberTraum (Diskussion) 12:23, 9. Dez. 2013 (CET)

Nachdem der Begriff „Adjunkte“ als solches offenbar mehrdeutig ist, müsste man schon eine Begriffsklärung einrichten und diesen Artikel verschieben, z.B. nach Komplementäre Matrix. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:29, 9. Dez. 2013 (CET)

in der Berechnung für die Inverse von A fehlt bei der Adjunkte oben noch das t für "transponiert", sonst ist es falsch (nicht signierter Beitrag von 93.104.80.12 (Diskussion) 17:26, 18. Dez. 2015 (CET))

Nein, die Adjunkte ist schon transponiert, wie du oben bei der Definition der Adjunkten sehen kannst. Deshalb muss bei der Bildung der Inversen nicht nochmal transponiert werden. --Digamma (Diskussion) 10:44, 19. Dez. 2015 (CET)

Definition für A \in K^{1 \times 1}

Im Falle einer 1x1 Matrix, müsste man gem. Definition den Kofaktor bestimmen. Damit müsste man formal die Determinante einer 0x0 Matrix ausrechnen. Man könnte das als 1 definieren, mir wäre so eine Konvention nicht bewusst. Man "benutzt" es allerdings bei Eigenschaften (zweiter Punkt).

Wäre es sinnvoll die Adjungierte für K^{1x1} einfach als das neutrale Element 1 zu definieren? Über die Definition vor Kofaktormatrix (d.h. als Ableitung der Determinante) wäre es ebenso ersichtlich. --MattPawelczyk (Diskussion) 19:40, 6. Aug. 2022 (CEST)