Diskussion:Algebraisches Hüllensystem

Name des Satzes

Hallo wird dieser Satz überlicherweise wirklich "Satz von Schmidt über algebraische Hüllensysteme" genannt? Ist deutschsprachige Literatur bekannt, in der der Satz aufgeführt wird? Ansonsten würde ich vorschlagen den Artikel nach Satz von Schmidt zu verschieben, wie es bei Wikipedia üblich ist. --Christian1985 (Disk) 16:45, 31. Jan. 2013 (CET)

Jürgen Schmidt selbst spricht vom Hauptsatz über algebraische Hüllensysteme (vgl. Math. Nachr. 7, S. 175). Dieses Stichwort fand ich aber zu bombastisch. Paul M. Cohn in Universal Algebra (S. 45, Chapter II, Theorem 1.2) spricht von characterization of algebraic closure systems. Mein Vorschlag war ein Kompromiss. Gegen Satz von Schmidt habe ich aber auch nichts, zumal es einen solchen - soweit ich sehe - in der Liste mathematischer Sätze noch nicht gibt. Schojoha (Diskussion) 20:29, 31. Jan. 2013 (CET)

Wie wäre es mit algebraisches Hüllensystem und einer entsprechenden Umgestaltung des Artikels? Jónsson ist der Satz nicht einmal einen Beweis wert, ja nicht einmal ein eigenes „obvious“, erst im nächsten Satz heißt es dann „It is also clear that [andere Aussage]“. --Chricho ¹ ² ³ 21:45, 31. Jan. 2013 (CET)

Falls man den Artikel unter dem Stichwort algebraisches Hüllensystem führt, müsste man ihn wohl doch umstellen. Und ich denke, dass der Artikel in der jetzigen Form auch nicht so schlecht ist. Vielleicht noch nicht ganz ausgereift! Wenn also noch wesentliche Ergänzungen / Änderungen / Umstellungen eingebracht werden, sollte man die Frage der Umbenennung noch einmal besprechen. Also: Vorläufig schlage ich vor, dem obigen Vorschlag von Christian1985 (Satz von Schmidt) zu folgen.Schojoha (Diskussion) 23:38, 31. Jan. 2013 (CET)

Nun, wär kein großer Aufwand und würde ich auch gerne übernehmen. Schon jetzt hat die Begriffseinordnung großes Gewicht (habe ja schon versucht klarer zu machen, warum das „algebraisch“ heißt). Hätte den Vorteil, dass man dann noch weiter verbandstheoretische Eigenschaften ergänzen könnte, die sich in der Literatur finden. Es erscheint mir eben sinnvoller, den Begriff in aller Deutlichkeit, verschiedenen Facetten und mit Beschreibung der Bedeutung darzustellen, als dieses eine Detail (Jónsson erwähnt es beiläufig, bei Grätzer steht es mehr zwischen den Zeilen, Burris/Sankappanavar habene eine Übungsaufgabe draus gemacht, mit Erwähnung von Schmidt aber ohne große Benennung) so in den Mittelpunkt zu setzen, wobei man dann aber um anderen Sachen doch nicht herumkommt. --Chricho ¹ ² ³ 00:05, 1. Feb. 2013 (CET)

Benutzer:mpk schlägt auf der LD vor, den Artikel in Hüllenoperator einzuarbeiten. Was haltet ihr davon? --Kgfleischmann (Diskussion) 15:03, 1. Feb. 2013 (CET)

Ist mir ein zu allgemeiner Artikel, der dadurch mit Details von Spezialfällen überfrachtet würde. Algebraisches Hüllensystem ist ein feststehender Begriff, der weitreichend Verwendung findet und mit Sicherheit einen eigenen Artikel wert ist – und für den ist dieser Satz hier eben auch wirklich wichtig. --Chricho ¹ ² ³ 15:13, 1. Feb. 2013 (CET)

Mit Chrichos bin ich auch einverstanden, aber dann müsste der Schwerpunkt des Artikels noch etwas verschoben werden. Eine Einarbeitung bei Hüllenoperator überfrachtet den ursprünglichen Artikel meiner Meinung nach.--Christian1985 (Disk) 15:18, 1. Feb. 2013 (CET)

Habe den Artikel gerade in der Mathe QS eingetragen. Wenn Disk hier, nehme ich es da wieder raus? Gruß, --mpk (talk, Beiträge) 15:24, 1. Feb. 2013 (CET) PS: Hüllenoperator ist jetzt kein richtig umfassender Artikel, im Moment schiene mir das ok - oder in eigenem Lemma Algebraisches Hüllensystem?

Ja, denk ich, kann wieder raus. Durch Einfügen der Dinge hier würde der Artikel Hüllenoperator eben zu stark Schlagseite bekommen. Finde ich persönlich sehr unschön, wenn man einen Artikel zu einem allgemeinen Begriff hat, dann steht da kaum etwas zu und schließlich ist da ein großes Anhängsel, das sich mit einem Spezialfall befasst. Wenn Schojoha einverstanden ist und nicht sonst noch jemand protestiert, würde ich den Artikel dann bald verschieben und etwas umbauen. --Chricho ¹ ² ³ 15:30, 1. Feb. 2013 (CET)

+1, danke. --mpk (talk, Beiträge) 15:39, 1. Feb. 2013 (CET)

@Schojoha Einverstanden? --Chricho ¹ ² ³ 00:02, 4. Feb. 2013 (CET)

Einverstanden! Ich warte also mit allen Ergänzungen, die ich noch einarbeiten wollte, erst einmal ab. Übrigens habe ich erst kürzlich in dem BI-Hochschultaschenbuch (Nr. 120) von Heinrich Werner, Einführung in die allgemeine Algebra, Mannheim 1978, S. 32, entdeckt , dass dort der Satz von Schmidt implizit auch auftaucht, aber nicht als Satz von Schmidt, sondern in einer noch weiter gefassten Form als Satz von Birkhoff-Frink aus dem Jahre 1948. Schojoha (Diskussion) 21:29, 4. Feb. 2013 (CET)Schojoha (Diskussion) 21:31, 4. Feb. 2013 (CET)

Ist jetzt verschoben. Es besteht noch eine Weiterleitung von Satz von Schmidt über algebraische Hüllensysteme. Kann die weg? Grüße --Chricho ¹ ² ³ 15:14, 6. Feb. 2013 (CET)

Die Weiterleitung kann, was mich angeht, verschwinden.

Im Übrigen bin ich auch mit dem umgeschriebenen Artikel grundsätzlich einverstanden. Ich möchte aber nicht ausschließen, dass ich noch was ergänze. Auf jeden Fall finde ich, dass der Satz von Schmidt einen eigenen Absatz verdient.

Allein aus historischen Gründen! Und weil es mich doch wurmt , dass der Satz von Schmidt in dem derzeitigen Artikel untergeht. Selbstverständlich ist er beinahe trivial, wenn man die vorher dargestellten Aquivalenzbetrachtung zur Induktivität heranziehen kann. Aber das ist ja kein neues Phänomen; siehe Fundamentalsatz der Algebra und Satz von Liouville. Ich meine: Schießt man mit Kanonen, haben die Spatzen von vornherein keine Chance. Aber bloß mit einer Muskete bewaffnet hat man echt was zu tun. ;-)

Schojoha (Diskussion) 19:51, 6. Feb. 2013 (CET)

Also 1952 war zwar die universelle Algebra noch neu, die grundlegenden Prinzipien der Mengenlehre jedoch nicht. Wie wichtig war Schmidt selbst denn der Satz? Fand er ihn wichtig, oder hat er da einfach nur ein paar Tatsachen abgeklappert? --Chricho ¹ ² ³ 20:23, 6. Feb. 2013 (CET)

Mit den grundlegenden Prinzipien der Mengenlehre agiert auch Jürgen Schmidt. Keine Frage! Die Frage ist, was diese im Kontext der universellen Algebra bedeuten. Die Antworten auf diese Frage haben sich dann erts nach und nach ergeben. Ein Schritt auf diesem Wege waren die Arbeiten von Schmidt. Für erwähnenswert halte ich hier nun, dass er seinen Artikel von 1952 in den Mathematischen Nachrichten, Bd. 7, überschrieb mit Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen Idealtheorie und seinen Vortrag bei der Berliner Mathematikertagung 1953 mit Einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der Hüllenoperatoren. Also - meine ich - hat Schmidt hier schon ganz bewusst Grundlagenarbeit der universellen Algebra geleistet. Und dass er seinem Satz einige Bedeutung beimaß, sieht man daran, dass er den Satz - damals zumindest - als Hauptsatz über algebraische Hüllensysteme bezeichnet. Schojoha (Diskussion) 22:01, 6. Feb. 2013 (CET)

Beweis

Hallo! Ich denke, der Satz ist einfach genug, als dass man erklären könnte, warum das so ist. Dass Algebraizität Induktivität impliziert, ist ja klar. Die Umkehrung hätte ich einfach per Induktion gezeigt: Sei das Hüllensystem induktiv und $A\subset S$ und $x\in C_{\mathcal {H}}(A)\setminus A$ sodass keine entsprechnde endliche Teilmenge existiert. Somit gilt für jede endliche Teilmenge von $A$, dass der Abschluss $x$ nicht enthält (Induktionsanfang). Sei nun $\kappa$ eine unendliche Kardinalzahl und $F\subset A$ mit $|F|=\kappa$. Wähle eine entsprechende Aufzählung $f\colon \kappa \to F$. Per Induktionsvoraussetzung ist für $\lambda <\kappa$ $x\notin C_{\mathcal {H}}(f(\lambda ))$. Somit unter Verwendung der Induktivität $x\notin C_{\mathcal {H}}(f(\kappa ))=C_{\mathcal {H}}(F)$. Fertig. Verfahren Schmidt und Cohn da anders? Mir scheint dagegen dieser Hilfssatz nicht wirklich erwähnenswert, da es ein völlig harmloses Korollar aus üblichen mengentheoretischen Ergebnissen ist. --Chricho ¹ ² ³ 21:04, 31. Jan. 2013 (CET)

Burris und Sankappanavar setzen folgendes einfach als „Ergebnis der Mengenlehre“ voraus: „A result of set theory says that K is closed under unions of chains iff K is closed under unions of upward directed families of sets.“[1] (ein anderer Hilfssatz, nicht mehr oder weniger erstaunlich als der im Artikel, sollte man meines Erachtens genauso wenig betonen) --Chricho ¹ ² ³ 21:55, 31. Jan. 2013 (CET)

Anmerkung zu dem Hilfssatz: Ich halte den Hilfssatz allein deswegen für erwähnenswert, weil Jürgen Schmidt selbst ihn als wesentlichen Punkt im Beweis herausstellt; also allein aus historischen Gründen. Sicher: Der Beweis ist wirklich nicht schwierig, wenn man sich mit unendlichen Mengen auskennt.Schojoha (Diskussion) 23:38, 31. Jan. 2013 (CET)