Diskussion:Archimedisches Axiom

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Vorschlag: keine Logik, dafür Algebra (wg. archimedischen Beträgen).--Gunther 18:34, 3. Mär 2005 (CET)

A.A. vs Supremum-Axiom

Da hat jemand einen "Beweis" hinzugefügt, was bei einem Axiom doch recht stutzig macht. Nun will er in diesem Beweis das arch. Axiom aus einem "Supremums Axiom" beweisen. Ich kenne "Supremumsaxiom" nur als eine äquivalente Formulierung des Vollständigkeitsaxioms, aus dem a) nicht das archimedische Axiom folgt b) enstprechend auch nichts entfernt verwandtes zu dem, was jetzt in dem Artikel steht. Ich glaube, der User hat hier eher eine äquivalente Formulierung des archimedischen Axioms benutzt und dieses damit aus sich selbst heraus bewiesen. Sollte niemand anderer Meinung sein, würde ich den Abschnitt entfernen. --Chef Diskussion 16:14, 11. Mai 2005 (CEST)

Das Supremumsaxiom besagt, dass jede nach oben beschränkte Menge ein Supremum, d.h. eine kleinste obere Schranke besitzt. Gezeigt wird, dass zu jedem x>0 die Menge \{nx\} nach oben unbeschränkt ist: Wäre y_0 das Supremum, so gäbe es ein m, so dass mx>y_0-x ist (ansonsten wäre y_0-x eine obere Schranke). Also wäre (m+1)x>y_0, Widerspruch. Das Supremumsaxiom ist wohl deshalb relevant, weil man Fälle wie {}^*\mathbb R ausschließen muss?--Gunther 16:35, 11. Mai 2005 (CEST)

OK, ich denke, ich verstehe es jetzt und habe etwas ergänzt; dabei auch eine Ungleichung verschärft. Bitte nochmal drübersehen. --Chef Diskussion 17:38, 11. Mai 2005 (CEST)

Die Argumentation scheint mir noch nicht schlüssig, weil bei reelle Zahl#Axiomatische Einführung der reellen Zahlen die Ordnungsvollständigkeit (d.h. die Existenz eines Supremums) als konstituierend dargestellt wird, während sie bei archimedisches Axiom nur als weitere Möglichkeit bezeichnet wird. Die Phrasen "es wird es oft..." und "Man kann allerdings auch..." müssten, um die Sache durchsichtig zu machen, dem Sinne nach vertauscht werden. -- Peter Steinberg

Mir sind nur zwei Möglichkeiten bekannt, die reellen Zahlen einzuführen: entweder als ordnungsvollständigen Körper oder als Vervollständigung der rationalen Zahlen. In beiden Fällen ist das archimedische Axiom Folge, nicht Voraussetzung. Wann braucht man es überhaupt als Axiom (außer evtl. in der Geometrie)?--Gunther 00:14, 12. Mai 2005 (CEST)

Nicht gut zu lesen

Gegenannahme: Es gibt ein y > 0, so dass nx\leq y für alle natürlichen Zahlen n.

Dann ist y eine obere Schranke für nx. Aus dem Supremumsaxiom folgt die Existenz einer kleinsten oberen Schranke y0. Dann ist aber auch y0 − x eine obere Schranke (wenn nx\leq y_0 für alle natürlichen Zahlen n, so gilt sicher auch nx\leq y_0-x für alle natürlichen Zahlen n). Wegen y0 − x < y0, ist y0 keine kleinste obere Schranke. Dies ist ein Widerspruch. Also muss die Gegenannahme falsch sein und die Behauptung ist bewiesen.

besser wäre:

Gegenannahme: Es gibt ein y > 0, so dass nx\leq y für alle natürlichen Zahlen n.

Dann ist y eine obere Schranke für nx. Aus dem Supremumsaxiom folgt die Existenz einer kleinsten oberen Schranke y0. Aus der Annahme folgt, dass auch y0 − x eine obere Schranke ist (denn wenn nx\leq y_0 für alle natürlichen Zahlen n, so gilt sicher auch (n+1)x\leq y_0 für alle natürlichen Zahlen n). Wegen y0 − x < y0, ist y0 keine kleinste obere Schranke. Dies ist ein Widerspruch. Also muss die Gegenannahme falsch sein und die Behauptung ist bewiesen.

Nota bene: Die Natur von n bleibt in diesem Beweis im Dunkeln. Ist n eine natürliche Zahl? Gibt es ein n als natürliche Zahl überhaupt, wenn man von allen! natürlichen Zahlen redet? Macht es dann Sinn von n+1 zu reden?

Man sieht, auch solche "trivialen" Beweise reißen manchmal böse Löcher in Argumentation. (nicht signierter Beitrag von 62.143.164.18 (Diskussion) 12:22, 24. Aug. 2011 (CEST))

Satz von Hölder

Warum heißt der so? Bzw., ist das die gängige Bezeichnung?? (Wer Hölder war, konnte ich ja nachschlagen) (nicht signierter Beitrag von 87.79.225.214 (Diskussion) 23:40, 6. Feb. 2012 (CET))

Leider steht darüber überhaupt nichts in der von mir angegebenen Literaturangabe (Kurosch). Dort heißt es lapidar "Satz von Hölder: jede archimedisch ... ". --Joachim Mohr 09:08, 7. Feb. 2012 (CET)

Das ist einige gängige Bezeichnung, auch wenn es mehr Sätze von Hölder gibt. Zum Beispiel Farb, Franks Group actions on one-manifolds II, Extensioins of Hölder´s theorem, 2001, pdf. Es gibt aber zwei bekannte Mathematiker namens Hölder (Ernst und Otto), hier Otto Hölder gemeint.--Claude J (Diskussion) 09:24, 19. Sep. 2012 (CEST)

Nichtarchimedische Geometrie

Wäre eigentlich sinnvoll das hier einzubauen, oder jedenfalls zu erwähnen.--Claude J (Diskussion) 09:24, 19. Sep. 2012 (CEST)