Diskussion:Auerbachbasis

Quelle ?

Kennt jemand eine Quelle, in der der Begriff Auerbachbasis vorkommt? Ich will hier nicht mit einer Quellendiskussion nerven, es geht mir nur darum, dass ich selbst einen Link auf diesen Artikel in Basis (Vektorraum) eingefügt habe, ohne je von dem Wort gehört zu haben!

Ich würde die Diskussion zu diesem Thema gerne in Diskussion:Basis (Vektorraum)#Auerbachbasis führen, weil sie dort angefangen hat. --KleinKlio 14:15, 3. Okt 2006 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 10:55, 26. Dez. 2015 (CET)

Orthogonalität im (Prä-)Hilbertraum

Mir ist die Bemerkung zur Orthogonalität zu ungenau, ich weiß aber nicht, wie ich das besser formulieren soll. Wenn man Auerbachbasis auf hilberträumisch übersetzt, bedeutet das nämlich, dass es eine andere Basis $C=\{c_{1},\dots ,c_{n}\}$ in $X$ gibt, so dass die Orthogonalitätsbedingung $\langle c_{i},b_{j}\rangle =\delta _{ij}$ erfüllt ist. Die Vektoren aus der zweiten Basis identifiziert man per $\langle c_{i},\cdot \rangle =f_{i}(\cdot )$ mit den Funktionalen aus der Definition. Dass B jetzt notwendigerweise eine Orthogonalbasis ist, seh ich noch nicht. -R. Möws 00:40, 4. Okt 2006 (CEST)

Den Abschnitt

Die Auerbachbasis hat gewisse Ähnlichkeiten zu orthogonalen Basen, da $f_{i}(b_{j})=\delta _{ij}$ gewissermaßen dem Skalarprodukt $\langle f_{i},b_{j}\rangle =\delta _{ij}$ entspricht.

habe ich aus obigen Gründen erstmal aus dem Artikel genommen. --R. Möws 13:39, 5. Okt 2006 (CEST)

Auerbachbasis für unendlichdimesionale Vektorräume

Mir ist aus diesem Artikel nicht klar, was eine Auerbachbasis ist. Erstens deutet der Artikel an, dass eine solche Basis endlich sein muss, spricht aber dann auch (implizit) unendlichdimensionale Räume an. Weiters sollte klargestellt werden, in welchem Sinn eine Auerbachbasis tatsächlich eine Basis ist -- erzeugt sie durch Linearkombinationen den ganzen Raum, oder (so vermute ich eher) einen dichten Teilraum? (Im Endlichdimensionalen ist das natürlich egal.) --Wuzel 10:44, 4. Okt 2006 (CEST)

Der Einwand ist völlig gerechtfertigt.

Meine vorliegende Quelle (Dirk Werner) definiert Auerbachbasis nur für endlichdimensionale Vektorräume. Die vorliegende Definition klappt natürlich auch nur für endlichdimensionale VRe. Weil der Artikel nicht nur andeutet, dass es endlich viele Vektoren sind, sondern es sogar sagt. Bei unendlichdimensionalen Vektorräumen könnte es ja sogar schwer werden, die Basisvektoren durchzuzählen und dem (diskreten) Kroneker-Delta einen Sinn zu geben. Dann ist es wohl nötig, den Artikel noch zu überarbeiten.

Die spannende Frage ist also: Gibt es eine Formulierung des Begriffes in der Sprache der unendlichdimensionalen Vektorräume? --R. Möws 10:55, 4. Okt 2006 (CEST)

Diese Frage wird von dem Paper (http://www.iam.unibe.ch/~halbeis/publications/pdf/metal.pdf) mit ja beantwortet, allerdings kommt diese Formulierung ganz ohne den Dualraum aus, was also erst mal eine andere Herangehensweise als die in der vorliegenden Definition ist. Ich werde jetzt erstmal einen ungenauen Hinweis anbringen, dass man den Begriff der Auerbachbasis auch für unendlichdimensionale Banchräume formulieren kann; die Definition da aber anders aussieht. -- R. Möws 13:21, 5. Okt 2006 (CEST)

Ich habe den Artikel jetzt neu geschrieben, auf Basis der oben verlinkten Arbeit von Baroszynski et al. (Die ursprüngliche Definition ohne die Normierungsbedingung war falsch. Wenn nämlich {x_1,...x_n} Basis eines Vektorraums ist, gibt es natürlich immer lineare Funktionale f_i, die f_i(x_j) = delta_ij erfüllen -- auf eine Basis kann man ja den Wert eines Funktionals beliebig vorschreiben.) --Wuzel 15:24, 5. Okt 2006 (CEST)

Danke. Sieht gut aus. Die Normierungsbedingung hatte ich übersehen. --R. Möws 16:24, 5. Okt 2006 (CEST)

Die Bedingungen 1. und 2. in Auerbachbasis#Äquivalente Definitionen bedeuten doch wohl in beliebigdimensionalen Räumen "Basis" (1. = Erzeugendensystem, 2.= minimal) oder stehe ich jetzt grad total auf dem Schlauch? --KleinKlio 21:26, 5. Okt 2006 (CEST)

Sorry, bin vom Schlauch ein Stück runter, [] heißt hier lineare Hülle + Abschlussoperator ??? Dann wärs mir auch klar. --21:29, 5. Okt 2006 (CEST)

Ganz vom Schlauch runter. Oben wird [] erklärt. Text statt Abkürzung fände ich hier (als Amateur in FA) besser. --KleinKlio 21:32, 5. Okt 2006 (CEST)

In der jetzigen Fassung widerspricht mein Verweissatz in Basis (Vektorraum)#Auerbachbasen diesem Artikel hier. Wär schön, wenn einer der jetzt anscheinend eingelesenen Leute ihn updaten oder rausschmeißen würde. :-) --KleinKlio 21:36, 5. Okt 2006 (CEST) --KleinKlio 21:45, 5. Okt 2006 (CEST) P.S. zur Klarstellung: Mit Rausschmeißen meinte ich meinen Satz. Das mache ich jetzt erst mal, sollte ja nichts mutwillig Falsches in diesem doch recht wichtigen Grundlagenartikel stehen. --KleinKlio 21:45, 5. Okt 2006 (CEST)

Alternative Definition

Noch eine Anmerkung: Bei der äquivalenten Definition ist (2) überflüssig, und ich denke, die Normierungsbedingungen sollten etwas symmetrischer formuliert sein, also $\|x\|=1$ auf derselben Ebene wie $\|f_{x}\|=1$ und $f_{x}(x)=1$ erwähnt werden, denn nur zusammen ergeben sie die Eigenschaft $d(x,\ker f_{x})=\|x\|$.--Gunther 21:38, 5. Okt 2006 (CEST)

Eigenschaft (2) stellt doch die lineare Unabhängigkeit sicher, die m.E. sonst nirgendwo auftaucht

Ich werde die Normierungsbedingung als Punkt (3) einfügen. Punkt (4) sollte sich am besten weiterhin mit den Dualraumelementen beschäftigen, und nicht noch auf die Normiertheit der Basisvektoren eingehen müssen. Schwebte dir so eine Art von Gleichberechtigung vor, Gunther? --R. Möws 12:37, 6. Okt 2006 (CEST)

Ja, diese Bedingungen sind ja symmetrisch zwischen Raum und Dualraum (vgl. Begriff "biorthogonales System" im fraglichen Paper).

Die topologische lineare Unabhängigkeit folgt daraus, dass $f_{a}|_{[A\setminus \{a\}]}=0$ und $f_{a}(a)\neq 0$ ist.--Gunther 12:43, 6. Okt 2006 (CEST)

Richtig. Ich hatte diese Bedingung ("minimal system") wohl nur hirnlos aus dem Paper abgeschrieben. --Wuzel 12:45, 6. Okt 2006 (CEST)

P.S. Eine andere Möglichkeit wäre natürlich $f_{a}(b)=\delta _{ab}\cdot \|b\|\cdot \|f_{a}\|$, allerdings muss man dann noch ausschließen, dass die a oder f null sind.--Gunther 12:46, 6. Okt 2006 (CEST)

PS: Alternativ dazu könnte man die Normierungsbedingung für die a's und f_a's auch als Punkt 4 an den Schluss stellen. In der Form: "# Es gilt für alle $a\in A$ die Normierungsbedingung $\|a\|=\|f_{a}\|=1$"

Ich würde trotz der Redundanz Bedingung (2) der Eingänglichkeit halber stehen lassen, und darauf hinweisen, dass sie sogar aus der momentanen (4) folgt. (immer diese Bearbeitungskonfikte...)

Die normierte Variante finde ich bedeutend eleganter. Ich weiß nicht, on man nicht-normierte Auerbachbasen so oft braucht, als dass es den technischen Aufwand gerechtfertigt. -- R. Möws 12:53, 6. Okt 2006 (CEST)