Diskussion:Basiswechsel (Vektorraum)

Ist der Basiswechsel nicht insbesondere auch ein Automorphismus? Das könnte ein ganz brauchbarer Hinweis sein, vor allem um dieses gegen verschiedene andere Abbildungen zwischen Vektorräumen abzugrenzen!

Ist ein Basiswechsel denn eine Abbildung?

Ja. Bei Basiswechseln handelt es sich um eine spezielle Form von lineare Abbildungen, sogenannten Automorphismen. --Latency 14:14, 6. Aug. 2010 (CEST)

Ich kann verstehen, dass man einen Basiswechsel durch eine Abbildung beschreiben kann. Aber zunächst ist es keine Abbildung. Wer soll denn auf wen abgebildet werden? -- Digamma 17:55, 6. Aug. 2010 (CEST)

Ein Vektor zur alten Basis wird auf seine Repräsentation zur neuen Basis abgebildet. --Latency 10:30, 7. Aug. 2010 (CEST)

Das kann man machen. Das steckt aber in dem Begriff nicht drin. Wenn ich z.B. das Verhalten der Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung unter Basiswechsel anschaue, dann bedeutet "Basiswechsel" eben a priori nur: Ich betrachte die Matrixdarstellung der Abbildung bezüglich einer neuen Basis, und untersuche, wie sich die Matrixdarstellung beim Übergang von der alten in die neue Basis ändert. Ich kann dazu hilfsweise eine Abbildung benutzen, die die Vektoren der alten Basis auf die der neuen abbildet, muss es aber nicht. -- Digamma 21:23, 7. Aug. 2010 (CEST)

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"Die Transformationsmatrix $T_{B'}^{B}$ ist identisch mit der Matrix $M_{B}^{B'}(id)$ der Identitätsabbildung bei Verwendung unterschiedlicher Basen."

Laut Fischer(S.156) ist $M_{B}^{B'}(id)$ identisch mit $T_{B}^{B'}$

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Beispiel

vielleicht ist es etwas ungünstig das Beispiel so zu wählen, das die Matrix für die Basis c symetrisch ist. (nicht signierter Beitrag von 141.3.208.224 (Diskussion) 20:19, 13. Sep. 2010 (CEST))

Da ist m.E. noch ein Fehler im Beispiel. Die im Beispiel angegebene Gleichung $x_{j}=a_{1j}x_{1}'+a_{2j}x_{2}'+a_{3j}x_{3}'$ sollte durch $b_{j}=a_{1j}b_{1}'+a_{2j}b_{2}'+a_{3j}b_{3}'$ ersetzt werden. Denn die drei linearen Gleichungssysteme müssen aufgrund der Beziehung $b_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}b_{i}{}'$ gelöst werden.--Solinvictus2000 (Diskussion) 22:53, 21. Mai 2023 (CEST)

Ich schau mir das bei Gelegenheit genauer an. --Digamma (Diskussion) 22:31, 23. Mai 2023 (CEST)

Richtung des Basiswechsels

Also vielleicht stehe ich gerade aufm Schlauch, aber ist die Transformationsmatrix nicht genau in die "andere Richtung" gegeben? Also anstatt:

$T_{B'}^{B}={\begin{pmatrix}a_{1}\dots a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

sollte es heißen:

$T_{B}^{B'}={\begin{pmatrix}a_{1}\dots a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\dots &a_{nn}\end{pmatrix}}$

Zumindest entspricht das dann der Einführung mittels Linearkombinationen der Basisvektoren. Oder sehe ich das falsch? 88.76.33.85 16:00, 23. Sep. 2007 (CEST)

Wie andere schon richtig festgestellt haben, ist die Richtung des Basiswechsels falsch herum gewesen. Die Basisvektoren der neuen Basis müssen als Linearkombination der alten Basisvektoren dargestellt werden, um die Trafomatrix von B nach B' zu bekommen. Habe das korrigiert. 132.187.253.28 10:36, 6. Dez. 2011 (CET)

Das angegebene Verfahren zur Berechnung der Transformationsmatrix war schon richtig. Bitte dazu z.B. das als Literatur angegebene Buch von Fischer lesen oder noch besser einfach das im Artikel aufgeführte Beispiel nachvollziehen. -- HilberTraum 11:29, 6. Dez. 2011 (CET)

Re: Richtung des Basiswechsels

Ich sehe das mit der Richtung genauso. In der Notation wie sie oben bei der Linearkombination der alten Basisvektoren zu den neuen steht, gibt die Matrix $T_{B'}^{B}$ die Transformation von B' nach B an. Ich schlage daher vor bei der Linearkombination die Indizes der $a_{ij}$ in $a_{ji}$ zu ändern:

$b_{i}'=a_{1i}b_{1}+a_{2i}b_{2}+\dots +a_{ni}b_{n}={\begin{pmatrix}a_{1i}\dots a_{ni}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{i}^{T}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

Dann stimmt es im ersten Satz unter "Transformationsmatrix" auch mit den Spaltenvektoren. Wobei ich mich noch Frage, ob es sinnvoll ist die $b_{i}$ in einen Spaltenvektor zu schreiben. Das verleitet dazu zu denken, es handle sich um Zahlen. Dabei sind es ja (Basis-)Vektoren. Vielleicht also lieber so:

$b_{i}'=a_{1i}b_{1}+a_{2i}b_{2}+\dots +a_{ni}b_{n}=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}b_{j}$

Basiswechsel

Soweit ich weiß ist die quadratische Matrix $T_{B}^{B'}$ nur die Transformationsmatrix bzgl. anderer Koordinaten. Es gilt $M_{B}^{B'}(id_{v})=T_{B}^{B'}$. Die Transformationmatrix einer beliebigen Linearen Abbildung ist nur als sonderfall Quadratisch. Siehe Gerd Fischer S.156 15.Auflage. Ich schlage vor diesen Artikel dementsprechend zu Korregieren.

Anwendungen

Was gibt es für tolle, offensichtliche Anwendungen eines Basiswechsels?

-- Ein gutes Beispiel hierfür ist zum Beispiel die Lorentz oder Galileitransformation. Dort wird sie mit Ko- und Kontravarianten Matrizen beschrieben. Anwendungen sind zum Beispiel: - Wechsel von einem ruhenden in ein bewegtes Koordinatensystem - kovariante Maxwellgleichungen --Ad.Astra! :-) 14:06, 28. Jan. 2009 (CET)

Hab jetzt mal eine mathematische Anwendung hinzugefügt. Habe noch überlegt hinzuzufügen wie man anhand einer Drehmatrix mit Hilfe von Basiswechseln den Drehwinkel der Matrix ermittelt. Aber das ist vielleicht als anschauliches Beispiel besser geeignet. --Latency 17:24, 3. Sep. 2009 (CEST)

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Transformationsmatrix

In der Einleitung wird geschrieben: Weiter kann jeder Basisvektor $b'_{i}$ der neuen Basis $B'$ als Linearkombination von Basisvektoren $b_{i}$ der ursprünglichen Basis $B$ dargestellt werden:

$b_{i}'=a_{i1}b_{1}+a_{i2}b_{2}+\dots +a_{in}b_{n}={\begin{pmatrix}a_{i1}\dots a_{in}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}$

Weiter unten steht dann, dass genau diese Koeffizienten in die Transformationsmatrix eingetragen werden. Muss das nicht genau umgekehrt gehen. Eig. muss man doch jeden Basisvektor $b_{i}$ als Linearkombination der Basisvektoren $b'_{i}$ darstellen. Also :$b_{i}=a_{i1}b_{1}'+a_{i2}b_{2}'+\dots +a_{in}b_{n}'$ -- 88.68.207.201 23:41, 15. Mär. 2010 (CET)

Bei Basiswechseln handelt es sich um Automorphismen. Sprich sie funktionieren in beide Richtungen, dementsprechend lassen sich auch zwei Matrizen für den jeweiligen Wechsel angeben. Einzig die Koeffizienten $a_{i1},\ldots ,a_{in}$ müssen unterschiedlich gewählt werden. --Latency 11:45, 16. Mär. 2010 (CET)

Genau diese Koeffizienten meine ich. Im zweiten Abschnitt "Transformationsmatrix" ist von der Matrix $T_{B'}^{B}$ die Rede, und nicht von der Matrix $T_{B}^{B'}$. Weiter steht dann: "Die [...] Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach B'[...] erhält man mit den obigen Vektoren ai als Spaltenvektoren." Wobei :${\begin{pmatrix}a_{i1}\dots a_{in}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=a_{i1}b_{1}+a_{i2}b_{2}+\dots +a_{in}b_{n}=b_{i}'$. Wenn aber die Matrix $T_{B'}^{B}$ gemeint ist, dann muss doch ${\begin{pmatrix}a_{i1}\dots a_{in}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}'\\\vdots \\b_{n}'\end{pmatrix}}=a_{i1}b_{1}'+a_{i2}b_{2}'+\dots +a_{in}b_{n}'=b_{i}$ sein? --88.68.207.201 13:14, 16. Mär. 2010 (CET)

Generell gilt $b'=T_{B'}^{B}b$ du kannst also einen Vektor zur Basis $B$ durch Multiplikation mit der Matrix $T_{B'}^{B}$ zur Basis $B'$ darstellen kannst. Würde man beispielsweise den ersten kanonischen Basisvektor bzgl. der Basis $B$ betrachten so würde dies folgendes ergeben

$b'_{i}={\begin{pmatrix}a_{i1}\dots a_{in}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}=a_{i1}$

du würdest die $i$-te Komponente der ersten Spalte von $T_{B'}^{B}$ erhalten. Dein erster kanonischer Basisvektor bzgl $B$ besitzt also bzgl $B'$ die Gestalt ${\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}}$. Dein Vorschlag hingegen beschreibt einen Wechsel in umgekehrte Richtung. --Latency 21:59, 16. Mär. 2010 (CET)

Konventionen

Ich möchte den Artikel überarbeiten. Da ich aber außer einem alten Vorlesungsskript keine Literatur da habe (und die Vorlesung damals keiner Konvention aus einem gängigen Lehrbuch folgt), bin ich mir unsicher bei den Bezeichnungen. Ist $T_{B'}^{B}$ die gängige Bezeichnung für die Matrix, die die Vektoren der neuen Basis B' als Linearkombination der Vektoren aus B darstellt? Gibt es andere Konventionen? -- Digamma 15:09, 11. Feb. 2011 (CET)

Ich habe den Artikel mal überarbeitet. Bei den Konventionen habe ich mich im Wesentlichen an das in der Literaturliste angegebene Buch von Gerd Fischer gehalten. Damit dürfte der Großteil der obigen Diskussionsbeiträge erledigt sein.

Noch nicht überarbeitet sind der Abschnitt über Anwendungen und das Beispiel. Diagonal- oder sonstige Normalform für Abbildungsmatrizen zu finden, ist natürlich eine der Hauptaufgaben des Basiswechsels. So wie der Abschnitt bis jetzt formuliert ist, fehlt aber einiges.

Das Beispiel passt, so wie es jetzt formuliert ist, nicht zur Terminologie des Artikels und ist auch sonst nicht ganz koscher. Es müsste gründlich überarbeitet oder durch ein anderes Beispiel ersetzt werden. -- Digamma 17:38, 13. Feb. 2011 (CET)

Bezeichnung Transformationsmatrix vs. Basiswechselmatrix

Meiner Meinung nach ist die Bezeichnung Transformationswechsel verbreiteter und entspricht auch der angegebenen Literatur von Fischer. Wenn niemand was dagegen hat, würde ich gerne den Artikel entsprechend anpassen und nur auf die alternative Bezeichnung verweisen.--Flegmon 14:36, 10. Mai 2011 (CEST)

Ich möchte widersprechen. Denn "Transformationsmatrix" drückt nicht wirklich aus, was gemeint ist. Eine Transformation kann auch eine lineare Abbildung sein, eine Transformationsmatrix könnte deshalb auch die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung sein. KönntestDu bitte noch andere Literatur zu Rate ziehen? -- Digamma 21:21, 10. Mai 2011 (CEST)

Ok hab ich gemacht, im Lineare Algebra Buch von Bosch wird (auch) Basiswechselmatrix benutzt. Damit hat sich mein Beitrag erledigt, tut mir leid. Schönen Gruß.--Flegmon 13:25, 11. Mai 2011 (CEST)

Es gibt keinen Grund, sich zu entschuldigen. Vermutlich hast du recht, dass "Transformationsmatrix" häufiger ist. Ich möchte kurz erklären, warum ich "Basiswechselmatrix" bevorzuge. Der Ausdruck "Transformtion" bezieht sich auf die Koordinaten. Wie ändern sich die Koordinaten eines Punkts, wenn man eine andere Basis wählt. Man kann darauf den Schwerpunkt der Betrachtung richten. Üblicher ist in der linearen Algebra aber, dass man primär die Basen anschaut, nicht die Koordinaten. Deshalb "Basiswechsel" statt "Koordinatentransformation" und "Basiswechselmatrix" statt "Transformationsmatrix". Auch Abbildungsmatrizen beschreibt man zunächst darüber, wie Basen abgebildet werden. Erst danach leitet man her, wie die Matrix auf die Koordinaten wirkt. Gruß, -- Digamma 19:19, 11. Mai 2011 (CEST)

PS: Ich habe den Artikel vor einiger Zeit gründlich überarbeitet, habe aber außer den Vorlesungsskripten aus meinem Studium keine Literatur zur Hand gehabt, auch nicht den angeführten Fischer.

Transformationsmatrix ist falsch

Hallo,

ich mache die Aufgabe zum 3ten mal, jedes mal mit einem anderen Verfahren und jedes mal kommt eine andere Transformationsmatrix heraus, als sie hier steht.

--80.152.247.28 09:25, 28. Aug. 2012 (CEST)

Manche Autoren bezeichnen auch die Inverse der hier genannten Matrix als Transformationsmatrix. --Digamma (Diskussion) 10:10, 28. Aug. 2012 (CEST)

dann sollte man es vllt dazu schreiben oder? Der Basiswechsel findet von$B$nach$C$ statt, also ist $T:B->C$

$B\cdot T=C$ damit ist $T=B^{-1}\cdot C$

Als Transformation habe ich also:

$T={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}2&-2&-2\\1&-4&-1\\-1&7&4\end{pmatrix}}$

das ist genau die Transformation von $B$ nach $C$

im Beitrag angegeben ist die Inverse Matrix und beschreibt den wechsel von $C$ nach $B$ --Seyphedias (Diskussion) 10:43, 28. Aug. 2012 (CEST)

Welches Lehrbuch verwendet denn diese andere Bezeichnung? Momentan ist ja Gerd Fischer als Literatur angegeben und der macht es so. Das scheint mir auch sinnvoll: Um die Koordinaten eines Vektors bzgl. der neuen Basis zu bekommen, multipliziert man die Transformationsmatrix mit den Koordinaten bzgl. der alten Basis. Anders herum erschiene mir es sehr unnatürlich. -- HilberTraum (Diskussion) 20:37, 28. Aug. 2012 (CEST)

Bezieht ihr euch auf das angegebene Beispiel? Da liegt noch einiges im Argen, da würde ich nicht meine Hand für ins Feuer legen. Aber der theoretische Teil darüber sollte korrekt sein. --Digamma (Diskussion) 21:40, 28. Aug. 2012 (CEST)

An der Formulierungen und Bezeichnungen im Beispiel könnte man noch etwas tun, aber die Rechnung an sich habe ich überprüft, die sollte passen. -- HilberTraum (Diskussion) 22:18, 28. Aug. 2012 (CEST)

DAnke. --Digamma (Diskussion) 07:42, 29. Aug. 2012 (CEST)

Bezeichnungen

Erst man vielen Dank an HilberTraum für die Überarbeitung des Beispiels. Es ist jetzt viel besser.

Was bleibt sind die unterschiedlichen Bezeichnungen im Beispiel und im theoretischen Teil darüber. Oben heißen die Basen $B$ und $B'$, im Beispiel $B$ und $C$. Oben heißen die Koordinaten $x_{i}$ und $x_{i}'$, unten $\beta _{i}$ und $\gamma _{i}$. Oben heißen die Einträge der Transformationsmatrix $a_{ij}$, im Beispiel $T_{ij}$. Ich möchte die gerne vereinheitliche, bin mir aber unsicher, auf welche Form. Wenn man im theoretischen Teil die Bezeichnungen der Basen ändert, muss man außerdem die Bilder mit den Diagrammen ändern (was für den Urheber aber kein großes Problem sein sollte). --Digamma (Diskussion) 15:48, 29. Aug. 2012 (CEST)

Als ich die Bilder erstellt habe, war ich der Ansicht, dass man nicht einmal zu versuchen braucht, ohne Unterstützung durch entsprechende LaTeX-Packages wie xy solche Diagramme als <math>-"Formel" hinzuschreiben.

Inzwischen denke ich jedoch: Wenn man nur Rechtecke braucht, und die Beschriftungen der senkrechten Pfeile nicht zu breit werden, geht's doch gut genug, in dem Sinne, dass der LaTeX-Quellcode einigermaßen lesbar ist, und das graphische Ergebnis wie etwa

${\begin{matrix}V&{\xrightarrow {\quad \operatorname {id} _{V}\quad }}&V&{\xrightarrow {\quad \;f\quad \;}}&W&{\xrightarrow {\quad \operatorname {id} _{W}\quad }}&\!\!\!W\\\!\!\!\!\!\!B'{\Bigg \uparrow }&&\!\!\!\!\!B{\Bigg \uparrow }&&\!\!\!\!C{\Bigg \uparrow }&&{\Bigg \uparrow }C'\\K^{n}&{\xrightarrow[{\quad T_{B}^{B'}\quad }]{}}&K^{n}&{\xrightarrow[{\quad M_{C}^{B}(f)\quad }]{}}&K^{m}&{\xrightarrow[{\quad T_{C'}^{C}\quad }]{}}&\!\!K^{m}\end{matrix}}$

auch nicht direkt zum aus-dem-Fenster-Springen anregt. Um die jetzt angedachten und künftige Änderungen zu erleichtern, sollte man wohl besser auf so etwas umstellen. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:59, 29. Aug. 2012 (CEST)

Danke für die Info. \xrightarrow kannte ich noch nicht. Die \!\!\!\!\!\! gefallen mir nicht so ganz, aber man kann die senkrechten Pfeile ja auch (wie den hintersten) rechts beschriften.

Die Tatsache, dass man es beim Basiswechsel bei linearen Abbildungen mit jeweils 2 Basen im Bild und im Urbild zu tun hat, spricht für mich dagegen, die Basen beim Basiswechsel wie im Beispiel mit B und C zu bezeichnen. Was meinst du zu den Bezeichnungen? --Digamma (Diskussion) 22:55, 29. Aug. 2012 (CEST)

Hmm, oben und im Beispiel ist es ja so, dass die Basisvektoren auch Namen bekommen, und die orientieren sich am Namen der Basis. Würden die Basen B₁ und B₂ heißen, hätte man zwei Indizes an den Namen der Basisvektoren. Unschön. B und B' ist wahrscheinlich das beste, was man machen kann, wenn beide "[irgendwas-mit-]B" heißen sollen.

Wenn man es mit mehreren Vektorräumen gleichzeitig zu tun hat, die nicht alle "V" heißen, können die Namen der für sie verwendeten Basen auch im Alphabet weiterrücken, finde ich. Um zu sehen, wie das in etwa aussehen würde, habe ich das Diagramm in meinem vorigen Beitrag mal an diese halbskizzierte Konvention angepasst.

Ob die Koordinaten beim Wechsel von B nach B' nun $\beta _{i}$ und $\beta '_{i}$ heißen, oder auch $x_{i}$ und $x'_{i}$, ist mir eigentlich egal. Griechische Buchstaben verschrecken vielleicht mehr Leser... --Daniel5Ko (Diskussion) 00:43, 30. Aug. 2012 (CEST)

+1: Hab das Beispiel an den Rest angepasst. -- HilberTraum (Diskussion) 13:42, 30. Aug. 2012 (CEST)

Super. --Digamma (Diskussion) 14:36, 30. Aug. 2012 (CEST)