Diskussion:Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl

Zum Beweis

Die Multiplikation in (*) scheint mir etwas naiv. Ist das wirklich ein moderner, strenger Beweis? --Marc van Woerkom 11:53, 21. Jan 2005 (CET)

Selbstverständlich ist das ein strenger Beweis. Ich habe bewusst den anschaulichsten Beweis genommen, der mir bekannt ist. Auch eine unendliche Reihe lässt sich mit einem Faktor multiplizieren. -- Wladyslaw 19:14, 21. Jan 2005 (CET)

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ich bin 16 und wollte mal umher schauen. Kann mir mal jemand sagen was das Ausrufezeichen heißen soll?

Bitte Danke.

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Danke hat sich erledigt

Kleine Ungenauigkeit

Der Beweis geht mit der Forderung q > 1 davon aus, dass man bereits gezeigt hat dass e nicht natuerlich ist. Das sollte man entweder erwaehnen, extra beweisen (z.B. aehnlich wie der Schluss) oder z.B. q > 1 nicht fordern, den ersten summanden nur als <= 1/2 abschaetzen, der zweite ist in jedem Fall strikt kleiner 1/4 --Evil K 17:56, 23. Aug 2005 (CEST)

Ich habe es ein wenig umformuliert. Zufrieden? --NeoUrfahraner 10:01, 24. Aug 2005 (CEST)

Ja, das ist gut so. War ohnehin nicht soo wichtig. -- Evil K 18:01, 26. Aug 2005 (CEST)

Vorschlag den Beweis zu verkürzen

Ich meine zum guten Stil gehört es möglichst kurz und pregnant zu fomulieren.

Der Leser hat einen focusierteren Überblick wenn er nur das Wesentliche und Nötig(st)e sieht. Fragt sich nur was wesentlich ist? (Ansichtssage)

Welcher Kompromiss zwischen Ausführlichkeit und Kurze/Wurze nun der bessere ist darüber läßt sich streiten. Ich habe schon mal den Versuch unternommen einen Beweis besonders ausführlich aufzuschreiben in dem ich ausschließlich winzig kleine (triviale) Schritte verwendete. Die Idee dabei war dass auch ein mathematisch Unbedarfer den Text so Schritt für Schritt nachvollziehen kann.

ABER: Dabei wurde der Beweis extrem länglich und somit völlig unübersichtlich. Ich verlor die Lust am lesen schnell weil er viele überflüßige und theatralische Wortspenden enthielt (inhaltsloser, redundanter Pippifax). Macht man hingegen zu große Schritte so ist der Gedankengang des Autors für den Leser womöglich nicht nachfollziehbar. In einem Buch von Jänich steht sinngemäß: "Was der eine Autor auf einer Seite schreibt das schreibt ein anderer eleganter Autor in einer Zeile. Aber wenn der Leser die Seite in 5 Minuten gelesen und verstanden hat, für die eine Zeile zum Verständnis aber mehr als eine Stunde benötigt so was das dann vielleicht doch nicht ganz die Form Eleganz die sich der Leser erhoffte. Es hängt also immer davon ab für wen man schreibt."

Für wen ich bei Wikipedia schreibe weiß ich nicht. Beim bisherigen Beweis habe ich den Eindruck dass er für Laien geschrieben ist. Ich möchte ihn daher komprimieren.

Zu meiner (wie ich hoffe konstruktiven) Kritik:

Der Beweis fängt mit dem Stichwort "Annahme" an. Aber unmittelbar danach steht keine Annahme. Dafür steht weiter unten nochmals "Wir nehmen nun an, ..."

Die schablonenhafen Stichwörter Annahme, Widerspruch und Schluß wurde ich weglassen.

Dann steht da $e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$ sei eine von L.Euler stammende Reihenentwicklung. Das ist zwar eine Reihe aber doch keine Reihenentwicklung denn es ist ja keine Funktion die von Variablen abhängt. Ich bezweifle schon sehr dass diese Reihe von L.Euler stammt, wenn auch die Zahl e nach ihm benannt ist. So kann man das nicht sagen, denke ich. Ich wurde deswegen auch diesen Satz ausradieren.

$e=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...$ hat wie mir scheint zu viele ausgeschriebene Folgeglieder. Schreibt man $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...,n-3,n-2,n-1,n\}$ so ist der inhaltliche Nährwert auch nicht größer als wenn man einfach nur $\{1,...,n\}$ schreibt. Ich wurde hier keine Folgeglieder mit der unexakten Pünktchenschreibweise auflisten sondern einfach nur symbolische Summenschreibweise verwenden. Wenn dem Leser die symbolische Summenschreibweise nicht geläufig ist dann sollte er erst das lernen bevor er sich über denn Irrationalitätsbeweis von e hermacht. Zwischen q! und e steht ein Malpunkt. Unnötige Multiplikationszeichen wurde ich prinzipiell vermeiden weil es hier ein Textzeichen ist das genausoviele Inhalt hat wie wenn man es nicht schreibt.

$a+bx+cx^{2}$ ist doch kompakter hingeschrieben als $a\cdot x^{0}+b\cdot x^{1}+c\cdot x^{2}$.

Dass $2<e<3$ ist trägt zum Beweis nicht wesentlich bei (naja, vielleicht weil man später q>1 vorraussetzt). Das $e\approx 2.718...$ ist sollte man wissen bevor man sich dessen Irrationalitätbeweis ansieht.

"Wir nehmen nun an, die reelle Eulersche Zahl e sei rational..." hat nicht mehr Inhalt als "Wäre $e\in \mathbb {Q}$ ..." (ist doch kompakter, oder?)

"Wir multiplizieren die Reihenentwicklung mit q!, womit wir diese neue Reihe erhalten."

Diese Wortspende scheint mir verzichtbar. Beides sehe ich ja. Der Leser sieht vor seinem inneren Auge dass q!e eine natürliche Zahl ist. Er braucht sich nur e durch ${\frac {p}{q}}$ ersetzt denken und q! ist offenbar durch q teilbar. Darauf würde ich nicht explizit hinweisen und dann auch noch mit dem Zusatz dass es sich um die Linke Seite handelt. So viele Gleichungen gibt es nicht dass man sie extra mit $(*)$ versehen müsste und auf links- und rechtsseitige Terme hinweisen müsste. Dass eine Summe von endl. vielen natürlichen Zahlen wieder eine natürliche Zahl ist oder dass es keine natürliche Zahl echt zwischen 0 und 1 gibt sind ebenfalls Tautologien die sich der aufmerksame Leser selber denken soll. Den doppeltdoppeltgemoppelten Schluß kann man sich denken. Aus dem Widerspruch folgt trivialer und kanonischer Weiser der Schluß $e\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ (gesprochen: e ist irrational) und das heißt e ist irrational, ja.

Würd' mich über eine Rückmeldung auf meine Verbessungsvorschläge freuen.

Gruß Tobi

Zitat: Beim bisherigen Beweis habe ich den Eindruck dass er für Laien geschrieben ist. Das hast Du richtig bemerkt. Experten wie Du brauchen nicht in der Wikipedia nachsehen, die haben den Beweis sowieso zur Gänze vor ihrem inneren Auge. Zielgruppe dieses Beweises in der Wikipedia sind mathematisch interessierten Laien; es ist natürlich schwierig, für diese das richtige Mittelmaß zwischen Ausführlichkeit und Prägnanz zu finden, dass der Beweis extrem länglich und somit völlig unübersichtlich ist, würde ich jedenfalls nicht sagen. Details (z.B. wo jetzt "Annahme" stehen soll) kann man aber von mir aus durchaus ändern. --NeoUrfahraner 13:46, 16. Feb 2006 (CET)

Ich kann den Vorschlägen von Tobi nichts abgewinnen. Das Potential zu kürzen ist groß, aber ich glaube darunter leidet die allgemeine Verständlichkeit, besonders bei mathematisch nicht so versierten Lesern. Natürlich kann man sich auch die Erklärungen bei den einzelnen Schritten sparen und sie einfach ausführen. Aber wie wirkt ein Artikel, der nur aus mathematischen Zeichen besteht? --Wladyslaw 14:53, 24. Apr 2006 (CEST)

Schliesse mich NeoUrfahraner an. Der Beweis ist ausführlich, aber nicht zu ausführlich. ja, es werden manche Aussagen, die im Beweis in Formeln stehen, in Worten wiederholt. Das ist aber meiner Meinung (und Erfahrung) nach gerade für mathematische Laien/mathematische Anfänger sehr nützlich und macht den Beweis in meinen Augen besser, nicht schlechter. Unübersichtlich finde ich den Beweis auch nicht, gerade dank der Zwischenüberschriften und der vielen Kommentare. Wo genau jetzt "Annahme" steht, darüber lässt es sich reden -- aber ich bin gegen eine Verkürzung des Beweises in der Form, wie Tobi sie vorgeschlagen hat. --Credner 17:48, 27. Mai 2006 (CEST)

Blos nicht kürzen! Laien und Nicht-Mathematiker gibt es in der Wikipedia, mich eingeschlossen viele. Wenn es heißt der Artikel ist für Laien geschrieben, ist dies eigentlich ein Lob. Mathematiker brauchen den Artikel nicht um das zu verstehen (was selbst so schwer genug ist...) Gruß --Christoph Radtke 19:46, 20. Mär. 2007 (CET)

Beweis nicht ganz korrekt

Man braucht, denke ich, schon, dass q > 1 ist, denn man zeigt hier ja, dass für die zweite Teilsumme alle Glieder < sind als die Geometrische Summe über 1/2^i. Das heißt allerdings nicht, dass die Grenzwerte auch < sind, sondern sie können auch <= sein. Bsp: a_n = 1/(n+1) ; b_n = 1/n a_n < b_n für alle n. Der Grenzwert ist allerdings beidesmal 0 und somit gleich.

Ich ändere den Beweis so um, dass M mit der Geometrischen Reihe über 1/3^i abgeschätzt wird.

Matthias