Diskussion:Cantors erstes Diagonalargument

Höhe eines Polynoms

Im Abschnitt zu den algebraischen Zahlen wird die Höhe eines Polynoms als Summe der Absolutbeträge der Koeffizienten und der Exponenten definiert. Mir war bisher als Definition die Summe der Absolutbeträge der Koeffizienten und des Grades bekannt. Für den Beweis spielt das keine Rolle, trotzdem würde mich interessieren welche Definition die übliche(re) ist, und gegebenenfalls den Artikel zu ändern.--132.230.1.28 10:54, 18. Okt. 2007 (CEST)

"Diagonalargument"

Gibt es in der Literatur einen Beleg dafür, dass dieses Argument "Diagonalargument" heißt? Ich kenne den Namen nur für das "zweite Diagonalargument". Für das erste sind die "Diagonalen" ja auch in keiner Weise wesentlich. Man könnte die rationalen Zahlen genausogut in Wegen, die nur waagrecht und senkrecht verlaufen, abzählen. --Digamma 18:36, 11. Dez. 2007 (CET)

Würde man in waagerechten oder senkrechten Wegen beginnen abzuzählen, käme man nie mehr aus dem ersten waagerechten bzw.senkrechten Weg heraus. Es ist absolut erforderlich, den Cantorschen Diagonalweg zu beschreiten. --Wikilaser (Diskussion) 11:46, 24. Mai 2012 (CEST)

Natürlich kann man nicht immer nur geradeaus waagrecht oder senkrecht gehen. Man kann aber Wege "über Eck" gehen: In der n-ten Zeile bis zum n-ten Eintrag waagrecht, danach senkrecht nach oben. Ich versuche das mal mit ASCII-Grafik zu illustrieren:

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Dies ist z. B. auch der übliche Weg, wenn man beweist, dass für jede Kardinalzahl $\kappa$ das kartesische Produkt $\kappa \times \kappa$ gleichmächtig zu $\kappa$ ist. Der Weg "über Eck" (bzw. eine leichte Abwandlung davon) funktioniert nämlich auch für transfinite Ordinalzahlen, der "Diagonalweg" nicht.

Deine Antwort beantwortet außerdem nicht die Frage. Diese lautet ja nicht, ob man das Verfahren zu recht das "erste Diagonalargument" nennen kann oder könnte, sondern ob es in der Literatur tatsächlich so heißt. Die Wikipedia will und soll ja keine neuen Begriffe erfinden, sondern nur die tatsächlich üblichen benutzen. Ich kenne aus dem Studium unter der Bezeichnung "Cantorsches Diagonalargument" nur das, welches hier "Cantors zweites Diagonalargument" genannt wird. Ein Grund warum ich beim "ersten" an der Bezeichnung zweifle: Als "Diagonale" bezeichnet man eigentlich nur eine schräge Linie, die in einer Ecke beginnt. In diesem Sinn sind die schrägen Linien in dem Cantorschen Abzählverfahren (ist eigentlich belegt, dass Cantor tatsächlich dieses Verfahren benutzt hat?) keine Diagonalen. --Digamma (Diskussion) 20:00, 24. Mai 2012 (CEST)

Ergänzung: Weder in der englischen noch in der französischen Wikipedia wird diese Verfahre hier "Diagonalverfahren" oder "Diagonalargument" genannt. Der Name wird nur für das "zweite" Diagonalverfahren benutzt. --Digamma (Diskussion) 20:09, 24. Mai 2012 (CEST)

Die Bezeichnung Diagonalverfahren/Diagonalmethode findet sich z.B. bei Wittgenstein - Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik Teil II (1938). (nicht signierter Beitrag von 37.24.211.35 (Diskussion) 10:30, 17. Aug. 2019 (CEST))

Danke. Hättest du ein genauers Zitat (wörtliche Formulierung, Seitenzahl). Bist du sicher, dass es nicht um das sogenannte Zweite Diagonalargument geht? --Digamma (Diskussion) 11:26, 17. Aug. 2019 (CEST)

Algebraische Zahlen

Gibt es einen Grund dafür, dass die algebraischen Zahlen in diesem Artikel auftauchen. Natürlich sind sie wichtig und natürlich sind sie abzählbar. Aber dies hat doch mit dem Argument, um das es hier gehen soll, nichts zu tun, oder? --Cosine 18:47, 26. Mär. 2009 (CET)

Verdeutlichung der Bijektion

Im Abschnitt über das Diagonalargument heisst es:

Durch das Überspringen kürzbarer Brüche liegt für jede positive rationale Zahl genau ein Repräsentant (der nicht mehr kürzbare Bruch) in dieser Abzählung, wodurch die gewünschte Bijektion hergestellt ist.

Ich bin kein Mathematiker und verstehe es deshalb vielleicht falsch, aber es ist doch so gemeint, dass man nun jedem der folgenden Elemente

0, 1, -1, 1/2, -1/2, 2, -2, 3, -3, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, 2/3, -2/3, ...

Ein Element der natürlichen Zahlen "zur Seite" stellen könnte. Wäre der Beweis nicht etwas anschaulicher, wenn noch eine zweite Zeile mit natürlichen Zahlen darunter einfegügt würde? --Cysez 13:55, 3. Dez. 2009 (CET)

Ja. -- Digamma 15:38, 28. Jul. 2010 (CEST)

Link zum englischen Artikel?

Macht es Sinn den en:Pairing Function als den englischen Artiekl anzugeben? --Grüße, Mekeor. 22:13, 2. Aug. 2012 (CEST)

Problem: en:Pairing function hat schon einen deutschen Partner, nämlich Cantorsche Paarungsfunktion. --Digamma (Diskussion) 22:21, 2. Aug. 2012 (CEST)

Löschen

Es ist keine Literatur angegeben. Deshalb ist nicht abgrenzbar, worum es hier überhaupt gehen soll. Wenn man nach der Einleitung geht, geht es um überhaupt nichts konkretes. Erst recht geht es um nichts, was man als "Diagonalargument" bezeichnen sollte oder könnte. Die größten Abschnitte heißen "Vorgehen bei Cantors erstem Diagonalargument" und "Verallgemeinerung des ersten Cantorschen Diagonalargumentes". Von den Namen her gehört der zweitgenannte nicht unbedingt hierhin und der erstgenannte will scheinbar konkretisieren oder genauer darstellen, was das "Diagonalargument" eigentlich ist. Er spricht dann aber nur ganz speziell von der Abzählbarkeit von $\mathbb {Q} ^{+}$. Da aufgrund der wahrscheinlichen Irrelevanz des zweitgenannten Abschnitts der erstgenannte den Haupteil des Artkel darstellt, ist es nachvollziehbar, dass eine IP kürzlich dachte, es ginge um die Abzählbarkeit des positiven rationalen Zahlen.

Konkret ist es wohl so: Die Abzählbarkeit von $\mathbb {Q} ^{+}$ ist ein simples Korollar von der von $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$. Letzteres wird in Cantorsche Paarungsfunktion halbwegs vernünftig dargelegt. (Der Teilsatz ", die auf dem Diagonalargument von Cantor basiert." in der dortigen Einleitung passt jedoch nur sehr schlecht, da hier nichts wirklich passendes steht).

Fazit: Wir haben hier unter dem Namen und mit der Einleitung keinen sinnvollen Inhalt. Einige Links (längst nicht alle) auf diesen Artikel wollen irgendeinen Beweis der Abzählbarkeit von $\mathbb {Q}$ oder $\mathbb {Q} ^{+}$ referenzieren. Die würden wahrscheinlich richtigerweise auf einen Artikel zeigen, der gerade das explizit als Gegenstand hat. Die Ergänzung der IP würde dort hineinpassen. Alle anderen Links hierher sind Kandidaten dafür, auf Cantorsche Paarungsfunktion umgebogen zu werden. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:43, 13. Aug. 2017 (CEST)

Ich bin auch für Löschen falls eine Quellenangabe unterbleibt. Ein solche Zig Zag Nummerierung der rationalen Zahlen folgt nicht aus "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen". Dort werden die algebraischen Zahlen nach N = n - 1 + |a_0| + .. + |a_n| stratifiziert, was algemeiner als die Rationalzahlen ist aber auch nicht den Zig Zag Spezialfall der rationalen Zahlen ergibt. Janburse (Diskussion) 01:34, 24. Aug. 2018 (CEST)

Ich habe zwar keinen Beleg das dies Tatsächlich als Cantors erstes Diagonalargument bennant ist, für das Verfahren selbst allerdings schon: David Foster Wallace, Die Entdeckung des Unendlichen, ISBN 978-3-492-25493-9, auf S.320-322 wird es beschrieben. --2003:DA:9F05:A00:D1E7:5473:6137:7C9C 23:19, 5. Nov. 2023 (CET)