Diskussion:Diagonalmatrix

zur Nullmatrix bei "Spezielle Diagonalmatrizen"

Ich würde sagen, es ist falsch, wenn man sagt, dass allgemein die Nullmatrix ein Spezialfall der Diagonalmatrix ist. Das klingt, als wäre jede Nullmatrix ein Spezialfall einer zugehörigen Diagonalmatrix, was aber nicht der Fall ist. Eine Nullmatrix impliziert nunmal nicht, dass eine Matrix quadratisch sein muss, was für eine Diagonalmatrix allerdings vorgeschrieben, bzw. notwendig ist.

Ich würde deswegen diesen Spezialfall außer Acht lassen oder schreiben, dass die Spezialfälle quadratische Nullmatrizen sind!!!

Gruß

Benjamin S.

Verständis

Ich glaube es ist sinnvoller den Artikel noch einmal zu überarbeiten. Da viele Studenten mit Artikeln von Wikipedia lernen, wäre es sinnvoller man würde den Artikel ein wenig auffüllen, zum besseren Verständnis. Auch wenn darunter die mathematische Eleganz etwas leidet. Das sollten die Verfassen von mathematischen Atikeln bei Wikipedia bedenken. Leider wird das oft vergessen. (nicht signierter Beitrag von 88.74.220.236 (Diskussion) 18:58, 29. Jun. 2011 (CEST))

Beispiel

Ein etwas weniger triviales Beispiel wäre vielleicht erhellend. 2nd lotgh 22:01, 22. Feb. 2007 (CET)

Diagonalmatrizen sind nun mal so einfach gestrickt. Das macht sie ja so beliebt und deshalb wird es auch kein komplizierteres Beispiel geben. --Stefan Birkner 23:05, 22. Feb. 2007 (CET)

Dann sollte ein zusätzliches Beispiel angegeben werden, in dem eine Diagonalmatrix diagonalisiert wird, die nicht schon in Diagonalform ist. (nicht signierter Beitrag von 92.73.217.78 (Diskussion) 22:03, 26. Sep. 2010 (CEST))

Ich finde das Beispiel auch sinnlos. Viel hilfreicher wäre ein Beispiel WIE man eine Matrix diagonalisiert. (nicht signierter Beitrag von 134.60.83.75 (Diskussion) 17:10, 20. Sep. 2013 (CEST))

Abschnitt „Beispiel“

Hallo Stefan, Du hast mein Beispiel für die Diagonalisierung einer Matrix ohne größere Erläuterung gelöscht. Ich finde, das ist kein guter Stil. Du hättest die Änderung auch zuerst auf der Diskussionsseite von Diagonalmatrix zur Diskussion stellen lassen können. Ich fände es gut, wenn Du nun hier oder auf der Diskussionseite Diagonalmatrix, nun Argumente bringst, wieso das Beispiel unnötig ist. Meiner Meinung nach ist es hilfreich für den Leser, das nicht nur der Algorithmus der Diagonalisierung angegeben wird, sondern auch ein Beispiel, mit dem man seine eigene Rechnung überprüfen kann. Ich denke, man kann diskutieren, ob es eine 5x5 Matrix sein muss, oder ob nicht eine kleine Matrix besser wäre. Mein Beispiel stammt übrigens aus Übergangsmatrix. OlafsWissen 08:57, 25. Apr. 2007 (CEST)

Ich habe nicht die Zeit jeden Revert, den ich durchführe, erst auf der Diskussionseite zu besprechen. Außerdem würde ich so den Überblick verlieren.

Dein Beispiel erklärt so gut wie gar nichts. Es zeigt, dass eine (unnötig große) Matrix diagonalisierbar ist. Warum ist sie das? Woher stammt die Matrix $S$? Ich habe nichts gegen Beispiele, aber mich stören diese dahingeworfenen Dinger. Wer ein Beispiel einfügen will, soll sich doch bitte vorher dazu Gedanken machen. Insbesondere soll er sich überlegen, was er damit zeigen will. --Stefan Birkner 10:22, 25. Apr. 2007 (CEST)

Hallo Stefan, Dein erster Satz klingt einfach nur arrogant. Ich hoffe, Du hast das anders gemeint. Die Zeit von Anderen ist nicht kostbar?

Nun zu Deinen Argumenten: Ja, nun das Beispiel erklärte nicht viel. Meiner Meinung nach war es aber besser als kein Beispiel. Aber an ihm konnte man obige Diagonalisierung, Eigenwerte und Eigenräume berechnen, gut selber überprüfen. Ich finde, die wikipedia lebt auch von "dahingeworfenen Dingern" und nicht nur von gleich zu Beginn perfekten Abschnitten, sie wächst organisch.

Ich stelle den Abschnitt nun hier rein, wenn ihn jemand wieder einbauen oder ein- und ausbauen will, ist gut, wenn nicht, auch.

Vielleicht überträgt ja auch jemand die Beispiele aus der französischen Wikipedia? Für mich ist die Diskussion damit zu Ende.

Die Matrix $A={\begin{pmatrix}0&0&1/4&0&0\\0&0&1/4&0&0\\1/2&1&0&1/2&0\\0&0&1/4&0&0\\1/2&0&1/4&1/2&1\end{pmatrix}}$ ist diagonalisierbar mit

$D_{A}=diag(0,1,{\frac {\sqrt {2}}{2}},-{\frac {\sqrt {2}}{2}},0)$

und

$S={\begin{pmatrix}-1/4&0&1/8&1/8&-1\\-1/4&0&1/8&1/8&0\\0&0&1/4{\sqrt {2}}&-1/4{\sqrt {2}}&0\\3/4&01/8&1/8&1\\-1/4&1&-3/8-1/4{\sqrt {2}}&-3/8+1/4{\sqrt {2}}&0\end{pmatrix}}.$

Tschuldigung Stefan, aber mal ganz ehrlich.. wie kaputt kann man sein? Da macht sich jemand die Muehe ein zugegebenermassen mittelgutes Beispiel zu erstellen [Beachte: Ausbaufaehigkeit] und du loescht das mal eben so weil es dir halt nicht gefaellt, und begruenden tust du es nicht, weil du eben keine Lust und Zeit dazu hast? Merkst du was? *zwinker* Vandalen gehoeren mEn von einer freien Enzyklopaedie ferngehalten, wenn jeder so handeln wuerde und in jedem Artikel alle "unfertigen" Bausteine entfernen wuerde, waere Wikipedia irgendwann _leer_. Bitte mitdenken. --85.216.123.71 13:04, 16. Sep. 2007 (CEST)

Das Beispiel ist ziemlich unsinnig, weil man das nicht in halbwegs akzeptabler Zeit nachrechnen kann und damit ist es für den Leser nutzlos. Lernen tut man bei so einer Rechnerei sowieso nichts. Ausbaufähig ist das Beispiel auch nicht (oder willst du eine 8x8-Matrix drausmachen ;)). Wenn man dazu ein Beispiel angeben will, dann vielleicht 2x2 oder 3x3. --Floklk 17:21, 16. Sep. 2007 (CEST)

"Falls das gelingt, gilt..." Dann kommen falsche Formeln, S und das S^(-1) sind vertauscht.

Das aktuelle Beispiel im Artikel ist jedenfalls an Trivialität nicht zu überbieten... --χario 20:36, 18. Sep. 2014 (CEST)

Ja, das stimmt. Das Problem ist aber eher, dass hier Diagonalmatrizen und Diagonalisierung zusammen behandelt werden. An dieser Stelle würde man ein Beispiel einer Diagonalisierung erwarten. Aber meiner Meinung nach sollte die Diagonalisierung von Matrizen ein eigener Artikel sein. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 21:26, 18. Sep. 2014 (CEST) Hab als kleine Maßnahme das Beispiel mal nach vorn gezogen, da passt es besser. -- HilberTraum ⟨d, m⟩ 21:34, 18. Sep. 2014 (CEST)

Diagonalisierung

Bei der Diagonalisierung stimmt meines Erachtens die letzte Formel nicht, da bei

$S=\{E(\lambda _{1}),...,E(\lambda _{n})\}$

die $E(\lambda _{i})$ als Eigenräume definiert sind. Ich glaube hier waren die Basisvektoren der entsprechenden Eigenräume gemeint, oder? Und ist es sinnvoll, noch die unitäre Diagonalisierung zu erwähnen, als Spezialfall bspw? --Fador 20:03, 9. Okt. 2008 (CEST)

Abschnitt "Diagonalisierung" verwirrt.

Wie die kürzlich von Benutzer:P. Birken rückgängiggemachte, und zuvor von mir gesichtete ( :/ ) Änderung bezeugt, scheint der Abschnitt "Diagonalisierung" zu verwirren. Wahrscheinlich, weil sie nur Rechenschritte, und diese nicht gut genug motiviert, angibt.

Daher hier mal eine Idee, wie's richtig sein könnte:

• D soll eine Diagonalmatrix sein. Daher sind Einheitsvektoren $e_{i}$ sofort Eigenvektoren von D, und zwar zum Eigenwert $\lambda _{i}$, der der i-te Eintrag in der Diagonalen von D ist.
• Es soll ein invertierbares S geben, sodass $SDS^{-1}=A$, denn wir wollen mit D ja A darstellen. Dies ist gleichbedeutend mit $SD=AS$.
• Wegen $De_{i}=\lambda _{i}e_{i}$ haben wir $AS(e_{i})=SD(e_{i})=\lambda _{i}S(e_{i})$. D.h., $\lambda _{i}$ muss auch Eigenwert von A sein, mit $S(e_{i})$ als einen Eigenvektor.
• Damit wir tatsächlich ganz A mit D nachbilden können, muss S dimensionserhaltend sein. Die Bilder von S der e_i unter S also linear unabhängig voneinander.
• Was ist denn nun eigentlich die Basis B?? (Diese Frage und die Nichtangabe einer Antwort im Artikel hat mich zum Sichten geführt, da dies zu fehlen schien.) Antwort: Völlig Wurscht, Hauptsache ist, unter Abbildung mit S kommen linear unabhängige Eigenvektoren von A 'raus. Gewissermaßen stehen die Basiselemente (via den Isomorphismus S) für die Eigenvektoren von A und sind in S (wenn man es als Matrix auffasst) als Spalten kodiert.

Ich weiß, das steht nach 10-mal lesen und 2 A4-Seiten Rechnerei mit Zettel und Stift tatsächlich alles im Artikel. Aber eben irgendwie manchmal rückwärts und Ergebnisse hervorgreifend. Mal schauen, ob ich eine bessere Formulierung finde... vielleicht basierend auf obigen Überlegungen. Feedback willkommen. --Daniel5Ko 22:29, 10. Okt. 2010 (CEST)

Als ich die Änderung rückgängig gemacht habe, ist mir auch aufgefallen, dass das mit der Basis B nicht besonders gut erklärt ist. Ich habe das mit der Basis aus Eigenvektoren konkretisiert. Grundsätzlich ist der Abschnitt total überarbeitungswüdig: Wie ich Eigenwerte und Eigenvektoren berechne, hat mit dem Konzept der Diagonalisierung ja nur am Rande zu tun. Deswegen wäre etwas wie Du es anregst, also mehr in die Richtung, "warum Eigenwerte und Eigenvektoren", viel besser. --P. Birken 19:23, 11. Okt. 2010 (CEST)

Okay. Danke für's Feedback. Dann werd' ich nun mit etwas mehr Elan mal versuchen, eine gute Darstellung zu finden / zu generieren. :) --Daniel5Ko 19:59, 11. Okt. 2010 (CEST)

Ansatz

Ich habe vor den ganzen Abschnitt "Diagonalisierbarkeit" mit Ausnahme des Unterabschnitts "Simultane Diagonalisierung" mit ungefähr dem folgenden zu ersetzen (ein wenig mehr ausformuliert, und mit Rausschmiss einiger Wiederholungen, wo dies geht):

Gegeben: Lineare Abbildung $A:X\to X$, wobei $X$ ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist.

Gesucht: Eine umkehrbare lineare Abbildung $S:K^{n}\to X$ und eine Diagonalmatrix $D$, die eine Abbildung $K^{n}\to K^{n}$ beschreibt, sodass $AS=SD:K^{n}\to X$.

[Wir tun mal so, als hätten wir S und D mit den geforderten Eigenschaften schon, und schauen, was sich daraus ableiten lässt. Dies ergibt notwendige Bedingungen für ihre Existenz:]

Ist $D$ eine Diagonalmatrix $\mathrm {\mathop {diag} } (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$, so sind die kanonischen Basisvektoren $e_{i}$ von $K^{n}$ Eigenvektoren von $D$ zum Eigenwert $\lambda _{i}$. Aus $AS=SD$ und der Linearität von $S$ folgt, dass die $S(e_{i})$ Eigenvektoren von $A$ zum Eigenwert $\lambda _{i}$ sind. Da $S$ umkehrbar sein soll, ist $(S(e_{1}),\ldots ,S(e_{n}))$ zudem linear unabhängig.

Eine notwendige Bedingung für die Diagonalisierbarkeit von $A$ ist also, dass es in $X$ $n$ linear unabhängige Eigenvektoren von $A$ gibt [a.k.a. Es gibt für $X$ eine Basis aus Eigenvektoren bezüglich $A$]. Diese Bedingung ist aber auch bereits hinreichend, denn aus $n$ linear unabhängigen Eigenvektoren $v_{i}$ von $A$ und ihren Eigenwerten $\lambda _{i}$ lassen sich ein $D$ und ein $S$, welche den Forderungen genügen, direkt konstruieren: $D:=\mathrm {\mathop {diag} } (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})$, und $S(e_{i}):=v_{i}$ [der "Rest" von S ergibt sich natürlich aus dessen Linearität. Erwähnenswert?].

Zur Ermittlung von Eigenwerten und Eigenvektoren siehe [woanders, zum Beispiel Eigenwertproblem ].

Das "wie" würde also durch ein "warum" ersetzt werden. Gedanken, Meinungen, Vorschläge? Glaubt jemand, ich würde zu viel 'rausschmeißen? Sind grobe Fehler drin? --Daniel5Ko 20:12, 12. Okt. 2010 (CEST)

Ich finde das schlüssig. Viele Grüße --P. Birken 19:37, 18. Okt. 2010 (CEST)

Habe zufällig die Seite gefunden und mir ist auch aufgefallen, dass dieser Abschnitt so nichts taugt. Daniel5Ko, ich finde deinen Vorschlag auch gut. Es wäre noch ganz gut, wenn gesagt würde, dass die Aussage Spektralsatz heißt und der Artikel verlinkt wird. --Christian1985 (Diskussion) 14:56, 22. Jun. 2011 (CEST)

Erstmal vorweg: Teilweise habe ich die angekündigte Änderung ja vorgenommen (vergangenen Oktober). Vor allem habe ich weniger gelöscht als angekündigt und bin eher dabei geblieben, A als Matrix zu sehen, denn als lineare Abbildung.

Wenn dir obiges gefällt, übernimm ruhig mehr davon in den Artikel! :)

Zum Spektralsatz: Hmm, der benötigt doch ein Skalarprodukt, um überhaupt ausgedrückt werden zu können. Außerdem folgt aus Diagonalisierbarkeit nicht unbedingt Normalität. Gibt's den Satz auch in einer Version ohne Forderung nach Orthogonalität und Normiertheit der Basen? --Daniel5Ko 18:37, 22. Jun. 2011 (CEST)

Geometrische Vielfachheit der Eigenwerte vs. algebraischen Vielfachheit

Im Artikel steht "Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit", ich verstehe nicht, warum das so kompliziert ausgedrückt wird. Könnte man nicht sagen "Ist die Algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts größer als 1, ist die Matrix nicht diagonalisierbar"? Fakt ist doch, dass ich pro Eigenwert einen linear unabhängigen Eigenvektor(raum) bekomme, somit erhalte ich mit identischen Eigenwerten keine neuen Eigenvektorräume. Ich traue mich nur nicht, es zu ändern, weil sich der Autor ja etwas dabei gedacht haben könnte. Nur was? --F GX 13:44, 20. Jul. 2011 (CEST)

Hallo, die Einheitsmatrix ist doch diagonalisierbar und die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 1 ist gleich dem Rang der Matrix. Oder übersehe ich da etwas? --Christian1985 (Diskussion) 13:48, 20. Jul. 2011 (CEST)

Du bekommst für jedes Element aus einer Menge von linear unabhängigen Eigenvektoren jeweils einen eindimensionalen Eigenraum.

Nun sind einige dieser Eigenräume Eigenräume zum gleichen Eigenwert und spannen zusammen einen mehrdimensionalen Eigenraum zu diesem Eigenwert auf.

Die maximalen Eigenräume pro Eigenwert (das sind dann übrigens die Eigenräume der Abbildung zum jeweiligen Eigenwert) sind jedoch für Diagonalisierbarkeitsbetrachtungen relativ uninteressant. Insbesondere bedeutet das Vorhandensein von mehrdimensionalen Eigenräumen nicht, dass eine Matrix nicht diagonalisierbar ist. Wichtig sind die Eigenvektoren. --Daniel5Ko 15:17, 20. Jul. 2011 (CEST)

Überarbeitungsvorschläge

Hier einige Überarbeitungsvorschläge. Da es etwas mehr ist, wollte ich sie zunächst zur Diskussion stellen.

• Artikel sollte aufgeteilt werden. Eigener Artikel "Diagonalisierbarkeit" (vor Jahren schon weiter oben von Benutzer:HilberTraum vorgeschlagen), vielleicht auch "Skalarmatrizen"
• Einleitung sollte kurz und präzise sein. Die Skalarmatrizen müssen dort meiner Meinung nach noch nicht auftauchen, der zweite wirre Satz sollte auch ganz raus.
• Warum werden hier Matrizen mit Einträgen aus einem Körper betrachtet? Es spricht wohl nichts dagegen einen Ring zu nehmen und an den wenigen Stellen, wo man wirklich einen Körper haben will, darauf hinzuweisen.
• Das Beispiel ist nicht sehr erhellend. Vielleicht sollten man einige Gegenbeispiele angeben, die man vielleicht intuitiv auch Diagonalmatrizen nennen würde etwa eine Antidiagonalmatrix, Bandmatrix, Blockdiagonalmatrix, oder eine rechteckige "Diagonalmatrix"
• Zu den besonderen Diagonalmatrizen würden die Skalarmatrizen gehören, es sollte erwähnt werden, dass die invertierbaren Skalarmatrizen das Zentrum der allgemeinen linearen Gruppe bilden
• Für reelle Diagonalmatrizen auch Selbstadjungiertheit und Normalität erwähnen
• Invertierbare Diagonalmatrizen als Gruppe isomorph zu algebraischem Torus, außerdem Diagonalmatrizen als kommutative Unteralgebra des Matrizenrings
• Verallgemeinerungen wie Bandmatrizen, Obere- untere Dreiecksmatrizen, rechteckige "Diagonalmatrizen". Außerdem Verallgemeinerungen nicht nur als "siehe auch" sondern zumindest jeweils einen Satz dazu und unter die Unterschrift "Verallgemeinerung"

Soweit zu "Diagonalmatrix" für den neuen Artikel zur Diagonalisierbarkeit, gäbe es wohl auch noch einiges zu sagen. Wenn sich in den nächsten Tagen kein Widerspruch regt, werde ich die vorgeschlagenen Änderungen durchführen. Für die Aufteilung der Artikel bräuchte ich allerdings Unterstützung, da ich dies noch nie gemacht habe. Gruß--SigmaB (Diskussion) 17:02, 15. Jan. 2017 (CET)

Nicht alles, was möglich ist, ist auch sinnvoll. Natürlich kann man Diagonalmatrizen über beliebigen Ringen betrachten statt über Körpern. Wir sollten uns aber an die Definitionen halten, die in den verbreiteten Lehrbüchern zur Linearen Algebra vorkommen. Die Frage ist m.E. eher, ob es für den hier nachschlagenden Anwender nicht schon zu allgemein ist, von beliebigen Körpern zu reden und ob man nicht erstmal mit reellen/komplexen Zahlen anfangen und erst weiter unten zur allgemeinen Definition über Körpern kommen sollte. Diagonalmatrizen sind nicht nur ein Thema der Algebra, der Artikel wird auch von Ingenieuren, Physikern, Numerikern gelesen werden.--Pugo (Diskussion) 19:37, 15. Jan. 2017 (CET)

Ich denke fast alle Personen, die wissen was ein Körper ist, wissen auch, was ein Ring ist. Insbesondere tun das alle Physiker und Numeriker, die ich kenne. Wer eine Lineare Algebra Vorlesung besucht, wird ohne den Begriff Ring (z.B. Polynomring, Endomorphismenring) nicht auskommen. Bei Ingenieuren kenne ich mich nicht aus. Außerdem werden ähnlich grundlegende Objekte (etwa Reguläre Matrix) zwangsweise auch über Ringen betrachtet. Vielleicht sollte man, wie von @부고: vorgeschlagen, eine Abstufung vornehmen, sodass auch dem Leser, der weder Körper noch Ringe kennt, klar ist, was gemeint ist. Vielleicht kann zumindest das auch durch das Beispiel geleistet werden. Da dies der einzige Einspruch war, würde ich nun nochmal ein paar Tage warten und dann die Bearbeitung durchführen.--SigmaB (Diskussion) 09:07, 21. Jan. 2017 (CET)

Diagonalisierbarkeit auszulagern und Skalarmatrizen in den Beispiele-Abschnitt auszulagern ist sicher sinnvoll. Einen Abschnitt mit "Gegenbeispielen" finde ich aber überflüssig. Allenfalls könnte man die unter "Siehe auch" erwähnen.--Pugo (Diskussion) 21:20, 15. Jan. 2017 (CET)

Es mag sein, dass das Beispiel nicht sehr erhellend ist, aber es gibt nun einmal keine "komplizierten" Diagonalmatrizen und es geht einfach nur darum, ein explizites Beispiel hinzuschreiben für einen Leser, der lieber Zahlen als Variablen liest.--Pugo (Diskussion) 21:22, 15. Jan. 2017 (CET)

Zum algebraischen Torus: das würde dann in einen zu schreibenden Abschnitt über die Gruppe der invertierbaren Diagonalmatrizen gehören.--Pugo (Diskussion) 21:25, 15. Jan. 2017 (CET)

Diagonalisierbarkeit habe ich jetzt ausgelagert. Für Skalarmatrix braucht es vielleicht keinen eigenen Artikel, die kann man einfach als Beispiel aufführen. Für algebraischer Torus braucht es zunächst auch keinen eigenen Artikel, wenn man nur einen Abschnitt über invertierbare Diagonalmatrizen schreiben will. (Es sei denn, man will noch mehr über den algebraischen Torus schreiben.) Zum grundsätzlichen Aufbau des Artikels, also ob man Ringe, Körper oder zunächst nur reelle Zahlen betrachtet, sollte man schauen, was die gebräuchlichen LA-Lehrbücher machen und sich daran orientieren.--Pugo (Diskussion) 06:47, 3. Feb. 2017 (CET)

Diagonalmatrizen sind selbstadjungiert?

Im Artikel steht derzeit unter Eigenschaften von Diagonalmatrizen:

Diagonalmatrizen sind selbstadjungiert.

Im Falle von Matrizen über dem Körper der komplexen Zahlen stimmt das m. E. doch nur für den Fall, dass sämtliche Diagonalelemente reell sind. Im allgemeinen jedoch nicht. Oder habe ich da etwas übersehen? Gzim75 (Diskussion) 13:40, 24. Feb. 2020 (CET)

Du hast Recht. --Digamma (Diskussion) 19:32, 24. Feb. 2020 (CET)

Habe mal "mit reellen Einträgen" ergänzt. Damit müsste es richtig sein. --Digamma (Diskussion) 19:35, 24. Feb. 2020 (CET)