Diskussion:Differenzenquotient

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Einwände gegen Definition und Varianten

So, wie die Definition dasteht, ist "der" Differenzenquotient einer Funktion tatsächlich unterbestimmt. Vorausgesetzt wird nur f, in die definierenden Formel aber gehen dann noch Größen x1, x2 ein, über die in den Voraussetzungen überhaupt nichts gesagt wird. Dahinter liegt offen die Tatsache, daß eine Funktion typischerweise eben nicht einen Differenzialquotienten hat, sondern deren beliebig viele, zu jedem Wertpaar der unabhängigen Variablen einen. Also sollte man von einem Differenzenquotienten zu einer Funktion und zu den zwei Stützstellen x0, x1 sprechen. Denn von der Wahl dieser hängt dessen numerischer Wert ja schließlich ab. (Die Definition als Funktional auf (K->K) x K x K sollte man wohl aus Verständlichkeitsgründen besser meiden.)

Im weiteren, wo die Rede dann auf die Varianten kommt, zeigt sich eine damit einhergehende Unbestimmtheit: Es ist ja nicht der Differenzenquotient eine Näherung für die Ableitung(sfunktion), sondern der Differenzenquotient (grob gesagt:) "an" oder "bei" einer Stelle der Funktion eine Näherung für die Ableitung an eben der Stelle. Denn, um im Beispiel der quadratischen Parabel und bei konkreten Werten zu bleiben, (4*4-3*3)/(4-3) ist sicher keine sehr taugliche Näherung für die Steigung der Parabel etwa an der Stelle -3. Vonnöten ist also, dass eine der Stützstellen des Differenzenquotienten in der Nähe des Argumentes der Ableitungsfunktion liegt, für das sie die Ableitung approximieren soll, und die andere nicht sehr weit davon ab.

Dann kann man übrigens auch die derzeit nur zirkulär und also gar nicht motivierten Bezeichnungen "Vorwärts"- und "Rückwärts"-Differenzenquotient besser veranschaulichen: Im einen Fall liegt die lexikalisch erste Stützstelle, das "Spielbein", auf der - so man im Reellen bleibt - reellen Achse rechts von der zweiten, im Nenner subtrahierten Stützstelle, dem "Standbein", also nach vorwärts, im anderen links von der zweiten, also nach rückwärts. Kurz gesagt: Wenn man die eine Stützstelle mit ihrem Funktionswert als den Punkt auffasst, für den der Differenzenquotient genommen wird ("Standbein"), dann ist die entsprechende Sekante im Falle "vorwärts" nach rechts an sie angeschlagen , im Falle "rückwärts" nach links an sie angeschlagen. Leider läßt sich hier, wie mir zumindest scheint, eine Asymmetrie in der Behandlung beider Stützstellen nicht vermeiden, die beim zentralen Differenzialquotienten dann stört oder doch Umstände macht.

Passende Formulierungen für den Artikel, die die genannten Problem ausräumen würden, ohne in präzise Unverständlichkeit zu verfallen, sind mir leider bis anhin nicht eingefallen, sonst hätte ich schon korrigiert. Ich hatte überlegt, dass man den Differenzenquotienten auch als (f(x+h1)-f(x+h2))/(h1-h2) mit "kleinen" und verschiedenen h1, h2 einführen könnte; das wäre aber nicht gerade der übliche Weg und brächte also wohl die Leser ins Schleudern. Obwohl die Methode bei der Erledigung der Varianten durchaus hilfreich wäre: Den Vorwärts-Differenzenquotient erhielte man durch Spezialisierung auf h1 := h, h2 := 0, den Rückwärts-Differenzenquotient durch h1 := 0, h2 := -h, den zentralen durch h1 = +h/2, h2 = -h/2.

Vielleicht findet ja jemand anderes taugliche Formulierungen, um die genannten Unzulänglichkeiten zu beheben ? -- Silvicola 20:09, 4. Mär. 2008 (CET)

Unklare Formulierung

Im Artikel heisst es

 Die ${\mathcal {O}}$-Konstante ist dabei abhängig von $x$.

Beim Landau-Symbol von einer Konstante zu sprechen, macht fuer mich keinen Sinn. 92.225.45.95 14:02, 13. Jun. 2010 (CEST)

Notation

Sowohl $\varphi [x_{1};x_{0}]=...$ als auch $\Delta y/\Delta x$ behindern die Darstellung interessanter Eigenschaften, z.B. wie sich der Operator auf das punktweise Produkt von zwei Funktionen auswirkt.

Wie wäre es mit soetwas wie $(\Delta _{h}f)(x):={f(x+h)-f(x) \over h}$ etc.? Eine Gleichung wie $\Delta _{h}(fg)=(\Delta _{h}f)g+f(\Delta _{h}g)+(\Delta _{h}f)(\Delta _{h}g)$ würde dann schön, lesbar und unzweideutig sein. --Daniel5Ko 21:40, 17. Jun. 2010 (CEST)

Ein falsches "nicht"?

In diesem Absatz zum zentralen Differenzenquotienten:

Wird der zentrale Differenzenquotient in eine Differenzialgleichung eingesetzt, handelt es sich nicht um einen arithmetischen Mittelwert zweier Verfahren. Die hohe Genauigkeit der Annäherung an eine analytische Funktion steigt nicht mit fallendem Wert von h sondern mit dem Quadrat des fallenden Wertes von h.

Ist das "nicht" an dieser Stelle richtig? Mir kommt es falsch vor, bin mir aber nicht sicher.

Eukalyptus würfel (Diskussion) 12:20, 15. Feb. 2023 (CET)