Diskussion:Dirichlet-Funktion

Wie kann man die Funktion D(x) durch das bestimmte Integral $D=\int _{0}^{\infty }sin(t)/t\,\mathrm {d} t$ darstellen, das ja schließlich keine unabhängige Variable aufweist? --Montauk 18:11, 2. Jun 2005 (CEST)

sehe ich genauso, macht wahrscheinlich irgendwie Sinn, soll aber klar definiert werden, wenn überhaupt

Anwendung?

Vielleicht könnte noch in den Artikel, wozu man die Funktion benutzt. Ich kann mich noch dunkel erinnern, in einer Mathe-Vorlesung davon gehört zu haben, aber an die Anwendung kann ich mich nicht erinnern... Oder ist die Funktion eher ein "Proof of Concept"? --xeper nuqneH? 13:42, 13. Jul 2005 (CEST)

Einfache Funktion

"eine einfache Funktion ist, also eine Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt, die noch dazu nichtnegativ sind" -- das "also" ist falsch, nur endlich viele Werte anzunehmen, ist nicht hinreichend für die Meßbarkeit der Funktion und damit nicht hinreichend dafür, eine einfache Funktion zu sein. Jede Indikatorfunktion einer nicht-meßbaren Menge nimmt nur endlich viele Werte an, ist aber nicht meßbar und damit keine einfache Funktion. --80.218.54.83 00:13, 5. Dez. 2007 (CET)

Graph

Ein entsprechender Graph wäre nicht schlecht zur Veranschaulichung der Funktion.--Der Spion 23:28, 1. Mär. 2011 (CET)

Ein Graph der Dirichlet-Funktion sähe nicht viel anders aus als zwei waagerechte Linien bei y=0 und bei y=1. Die obere bestünde aus Punkten, die untere aus ziemlich kurzen offenen Intervallen... Da ist nicht viel zu sehen. Anders verhielte es sich, wenn man z.B. für rationale Zahlen als Funktionswert nicht 1 nimmt, sondern, falls die rationale Zahl $a/b$ ist, mit teilerfremden ganzen a, b, dann $1/b$. Siehe verlinkten mathworld-Artikel. --Daniel5Ko 00:24, 2. Mär. 2011 (CET)

Das sähe vernünftig begrapht (nach unten jeweils alles auszumalen wie in der Abbildung im mathworld-Artikel ist falsch) ungefähr so aus:

Das Quadrat rundherum ist das von (0,0) bis (1,1). Funktionswerte von irrationalen x sind nicht eingezeichnet, weil die ja eh 0 sind. Die rationalen Zahlen, zu denen Funktionswerte eingezeichnet worden sind, ergaben sich aus dem Stern-Brocot-Baum bis zu einer bestimmten Tiefe. Verbesserungsvorschläge, außer sowas naheliegendes wie geeignete Beschriftung etc.? --Daniel5Ko 02:05, 2. Mär. 2011 (CET)

(Un-)stetigkeit

Mir ist nicht klar, wie die Funktion an JEDER Stelle unstetig sein kann: Es gibt abzählbar unendlich viele Stellen, an denen die Funktion den Wert 1 annimmt. Es gibt aber überabzählbar unendlich viele Stellen, an denen die Funktion den Wert 0 annimmt. Wenn eine überabzählbar unendliche Menge (nämlich ganz R) in abzählbar unendliche viele Teilmengen zerfällt (nämlich an den rationalen Stellen), bleiben diese Teilmengen ja ebenfalls überabzählbar unendlich. Wie können sie da nicht zusammenhängend sein? Selbst wenn man das nicht konkret angeben kann. Oder anders gesagt: wenn IMMER zwischen zwei irrationalen Zahlen mindestens eine rationale Zahl liegt, dann müssten doch beide Unendlichkeiten gleichmächtig sein und nicht eine abzählbar, die andere aber überabzählbar sein können? Vielleicht kann das noch im Artikel erläutert werden.--93.245.105.180 12:05, 16. Feb. 2021 (CET)

Ich glaube nicht, dass dies in diesen Artikel passt, da es eine ganz andere Fehlvorstellung betrifft. Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegen überabzählbar unendlich viele andere reelle Zahlen und insbesondere unendlich viele rationale Zahlen. Daher funktioniert eine Aufteilung, so wie du sie beschreibst, nicht. Bei Unendlichkeiten gehen gerne mal Vorstellungen kapput.

Man kann jede relle Zahl durch rationale Zahlen approximieren zum Beispiel über die Dezimaldarstellung, man nimmt immer eine eine Stelle mehr dazu, dann kommt man immer genauer dran. (Oder man nimmt direkt die Konstrunktion der reellen Zahlen über Cauchy-Folgen). Das zeigt schon die Unstetigkeit nach dem Folgenkriterium.

Dass es zwischen zwei irrationalen Zahlen immer eine rationale Zahl gibt, kann man recht leicht sehen: Man nimmt sich die Dezimaldarstellung der beiden Zahlen, also z.B. 0,8125318135454... und 0,8125318136551... . Man hat irgendwo den ersten Unterschied zwischen den Darstellungen, sonst wären die Zahlen gleich. Dort schneitet man die Dezimaldarstellung der betragsmäßig größere Zahl ab. In diesem Fall also 0,8125318136. Diese Zahl ist rational und liegt zwischen den beiden irrationalen.--LamaMaddam (Diskussion) 10:37, 14. Mai 2021 (CEST)