Diskussion:Diskrete Metrik

Definition

Die Definition ist sehr unpräzise formuliert!

Es wurde keine Vorschrift für eine Metrik definiert, sonder gesagt "wir wollen eine Metrik, und die soll erfüllen d(x,y)=1 für x ungleich y. wie muss diese metrik aussehen?"

Eine korrekte Definitin würde sagen "Es gilt d(x,y)=1 für x ungleich y und d(x,y)=0 für x=y." Dann kann man die Axiome nachprüfen und zeigen, dass es sich tatsächlich um eine Metrik handelt.

Bitte in Zukunft beim Erstellen von neuen Artikeln besser recherchieren! (nicht signierter Beitrag von 89.12.242.56 (Diskussion) 16:54, 21. Nov. 2010 (CET))

Der Artikel kann eigentlich in den Artikel Diskrete Topologie vollständig subsumiert werden

In den anderen Sprachen z.B. enwiki, frwiki, eswiki, itwiki und sogar ein bisschen in dewiki ist das so. Tatsächlich ist das spezifisch Metrische an der Diskreten Metrik nichts Großartiges. Auf jeden Fall lässt sich die Diskrete Topologie immer von der Diskreten Metrik induzieren. Umgekehrt ist es ein kleines bisschen schwieriger: Es gibt Metriken, die nicht die Diskrete Metrik sind und doch die Diskrete Topologie induzieren. Das lässt sich aber leicht in den einen Artikel einbauen.

Was meint Ihr dazu? --Nomen4Omen (Diskussion) 20:28, 20. Dez. 2019 (CET)

Die nachfolgende Diskussion fand ursprünglich in Benutzer Diskussion:Nomen4Omen unter dem Titel

Link auf Diskrete Topologie#Diskrete Metriken

statt:

Hallo,

warum änderst Du viele Links von Diskrete Metrik auf Diskrete Topologie#Diskrete Metriken um? Grüße--18:20, 1. Jan. 2020 (CET) (unvollständig signierter Beitrag von Christian1985 (Diskussion | Beiträge) )

Wie in der Disku propagiert, werde ich Diskrete Metrik zu einer Weiterleitung dorthin abändern. Gründe:

1. In der Literatur ist die genannte Diskrete Metrik nur eine unter vielen Metriken, die alle die (eine!) Diskrete Topologie induzieren.
2. Obwohl das Ergebnis immer die Diskrete Topologie ist, können sich die Metriken bzgl. Cauchy-Folge und Vollständigkeit ganz schön unterscheiden.
3. Diese Differenzierung hat völlig gefehlt.
4. Sie ist im neuen Artikel besser unterzubringen.
5. Viele Metriken machen einen irre äquivalenten Eindruck, z.B. wenn die 1 durch π ersetzt wird. Ich kenne aber keinen Äquivalenzbegriff bei Metriken.

--Nomen4Omen (Diskussion) 18:36, 1. Jan. 2020 (CET)

Okay, aber dann brauchst Du ja nich alle Links anfassen. Es würde ja reichen, Diskrete Topologie als Weiterleitung einzurichten. Dann würden auch alle Links treffen. So muss man viele Links anpassen, wenn man mal die Überschrift des Linkziels Diskrete Topologie#Diskrete Metriken ändert. Grüße --Christian1985 (Disk) 18:47, 1. Jan. 2020 (CET)

Du sagst, dass eine Kette von Weiterleitungen funktioniert?

Wär nicht schlecht!

Dennoch habe ich auch sonst ggf. Kleinigkeiten in den Artikeln geändert.

--Nomen4Omen (Diskussion) 18:52, 1. Jan. 2020 (CET)

Die Regel lautet, man soll genau zielen. Das heißt, wenn tatsächlich die diskrete Metrik (und nicht die davon induzierte Topologie) gemeint ist, dann soll auch auf die Weiterleitung verlinkt werden.

Inhaltlich: Hat die genannte "diskrete Topologie" tatsächlich eine eigenständige Bedeutung, außer der, dass sie die diskrete Topologie erzeugt? Und heißt sie tatsächlich so? Dann sollte man den Artikel belassen. --Digamma (Diskussion) 19:00, 1. Jan. 2020 (CET)

Nach Durchlesen des Weiterleitungsziels: Ich würde den Artikel Diskrete Metrik belassen und die Inhalte aus Diskrete Topologie#Diskrete Metriken dort einfügen. Eigentlich aus genau den Gründen, die du oben anführst, um die Weiterleitung zu begründen. --Digamma (Diskussion) 19:05, 1. Jan. 2020 (CET)

1. Die diskrete Metrik kann nicht gemeint sein, weil es die eine nicht gibt.
2. Es gibt zwar die vielfach erwähnte (kanonische(?)) (und triviale!) mit der 1, zu der es aber unendlich viele (?)äquivalente(?) z.B. die mit π gibt.
3. Den Punkt Deines Satzes »Inhaltlich: Hat die genannte "diskrete Topologie" tatsächlich eine eigenständige Bedeutung, außer der, dass sie die diskrete Topologie erzeugt? Und heißt sie tatsächlich so?« erfasse ich nicht. Natürlich hat die »diskrete Topologie eine eigenständige Bedeutung«! Und sie heißt tatsächlich so.
4. Die triviale diskrete Metrik mit der 1 (die wie die mit π die diskrete Topologie induziert) hat keine wirklich eigenständige Bedeutung. Sie ist aber die einzige, auf die sich sie dewiki-Artikel beziehen – und wohl auch die wichtigste.
5. Die anderen europäischen Wikis haben keinen Artikel "Diskrete Metrik" und alles Inhaltliche z.B. in en:Discrete space.
6. Jeder, der zu diesem zwar letztlich trivialen, aber halt doch von der Literatur vernachlässigten Thema Belege findet, sei aufgerufen, die Belege beizubringen.

--Nomen4Omen (Diskussion) 19:46, 1. Jan. 2020 (CET)

Sorry, ich habe mich sinnentstellend vertippt. Ich meinte: "Hat die genannte "diskrete Metrik" tatsächlich eine eigenständige Bedeutung, außer der, dass sie die diskrete Topologie erzeugt?".

Wenn ich den Abschnitt "Diskrete Metriken" in "Diskrete Topologie" richtig verstehe, gibt es doch über diese (und sogenannte "gleichmäßig diskrete Metriken" einiges zu sagen, was nicht die Topologie, sondern die Metrik betrifft, zum Beispiel die Aussagen über Cauchyfolgen. Das rechtfertigt für mich einen eigenen Artikel, den man "Diskrete Metriken" (Plural) nennen könnte. Regel ist hier aber, dass Lemmata im Singular stehen sollen, deshalb sollte es bei "Diskrete Metrik" bleiben. Der Artikel sollte aber nicht die diskrete Metrik behandeln, sondern diskrete Metriken (insbesondere gleichmäßig diskrete Metriken) im Überblick. --Digamma (Diskussion) 20:01, 1. Jan. 2020 (CET)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ Ich glaube, über den technischen Inhalt sind wir uns hochgradig einig. Jedoch gibt es genau über die "gleichmäßig diskreten Metriken" ziemlich wenig zu sagen, obwohl es außerordentlich viele von ihnen geben mag – mit Metrikaxiomen, die möglicherweise außerordentlich schwer nachzuweisen sind. (Und doch kommt es NUR auf die von ihnen induzierte Topologie an!) Die einzigen interessanten diskreten Metriken sind m.E. die nicht-gleichmäßig diskreten. (Die aber bspw. in dewiki nie gemeint waren.) Leider ist das Thema "diskrete Metriken" von der Literatur nach meiner (sicherlich unzureichenden) Beobachtung sträflich vernachlässigt.

Es sieht so aus, als ob eine Metrik genau dann diskret genannt wird, wenn sie die diskrete Topologie induziert – so sehr, dass die beiden Begriffe sogar identifiziert werden. Und das, obwohl es dann viele nicht unwesentlich verschiedene diskrete Metriken gibt, z.B. auch die nicht-gleichmäßig diskreten.

Angesichts dieses Tohuwabohus plädiere ich, was die Darstellung angeht, dafür, den Begriff der "diskreten Metrik" deutlich herunterzuhängen (und in einen anderen Artikel einzubetten), als ihn zu einem eigenständigen Artikel zu machen, von dem natürlicherweise Präzision in der Begrifflichkeit von "diskrete Metrik" erwartet wird. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:30, 1. Jan. 2020 (CET)

OK, das klingt überzeugend. Gruß, --Digamma (Diskussion) 21:18, 1. Jan. 2020 (CET)

@Nomen4Omen, Digamma: Hier wird behauptet, dass jede Metrik, die die diskrete Topologie induziert, "Diskrete Metrik" genannt wird. Das ist jedoch falsch: Betrachte zum Beispiel die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der Standardmetrik $d(x,y)=|x-y|$. Diese Metrik erzeugt die diskrete Topologie, wird aber nirgends als diskrete Metrik bezeichnet.

Oder betrachten wir in $\mathbb {Z} ^{n}$ die über die Maximumsnorm definierte Metrik: $d(x,y)=\max _{i=1,...,n}\{|x_{i}-y_{i}|\}$. Auch diese induziert die diskrete Topologie, aber wird nicht als diskrete Metrik bezeichnet.

Ein Blick in die Fachliteratur zeigt, dass tatsächlich nur die Metrik als diskrete Metrik bezeichnet wird, die entweder den Abstand 0 oder 1 hat:

• Guido Walz: Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Eif, Seite 435
• Wolfgang Walter: Analysis, Seite 14
• Thomas Bauer: Verständnisaufgaben zur Analysis 1 und 2, Seite 56
• Peter J. Pahl, Rudolf Damrath: Mathematische Grundlagen der Ingenieurinformatik, Seite 184
• Gerd Baron, Peter Kirschenhofer: Einführung in die Mathematik für Informatiker, Band 1, Seite 173

Dafür, dass andere Metriken auch "Diskrete Metrik" genannt werden, gibt es jedoch keine Belege.

Weiterleitung

Die Diskrete Metrik spielt in der Topologie eine untergeordnete Rolle. Die Diskrete Metrik wird eher in der Analysis oder in der Informatik verwendet. Von daher halte ich es für unglücklich, die Diskrete Metrik in einem Topologie-Artikel unterzubringen. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 16:57, 5. Jan. 2020 (CET)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ @Eulenspiegel1:
Ich bin tief beeindruckt von deinen Recherchefähigkeiten. Dass du in so kurzer Zeit 5 einschlägige Nachschlagewerke ausfindig gemacht hast und dazuhin deutsche und im Internet zugreifbare – alle Achtung! Damit bist du der weiter oben angesprochene Beibringer von Belegen. Du kannst aus den Zitaten einen Artikel des Namens "Diskrete Metrik" machen und die Sache ist erledigt.

Du sagst auch: "... die ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der Standardmetrik ... wird aber nirgends als diskrete Metrik bezeichnet." Oder "... $\mathbb {Z} ^{n}$ mit der Maximumsnorm ... induziert die diskrete Topologie, aber wird nicht als diskrete Metrik bezeichnet." Da könnte man einwenden: Es steht jetzt nicht da, weil es sowieso klar ist, dass die erwähnte Metrik den Raum zu einem diskreten macht, und es sind ja fast keine anderen Metriken vorstellbar, so dass man ihr auch kein Adjektiv verpassen muss. M.a.W.: Dass eine Aussage irgendwo nicht ausgesprochen ist, ist kein massiver Beleg dafür, dass sie nirgendwo ausgesprochen (oder impliziert?) ist.

Andererseits kommt mir die Beleglage (deine Auswahl) so eindeutig nun auch wieder nicht vor:

• Zwar kann man Baron/Kirschenhofer als glasklar eindeutig auffassen:
        "Diese Metrik ... heißt die diskrete Metrik auf X."
  (Das ist übrigens die beste Quelle für deinen Zweck.)
• Ähnlich eindeutig ist Bauer mit der Überschrift "Die diskrete Metrik" und dann (nicht ganz so glasklar) "... kann man "die diskrete Metrik definieren ..."
• Bei Walter heißt es aber nur:
        "Auf jeder Menge X lässt sich die durch ... (Formel) ... definierte diskrete Metrik einführen."
  Da könnte es auch noch anders definierte diskrete Metriken geben.
• Walz schreibt:
        "Die Abbidung d ist dann eine Metrik auf X und wird als diskrete Metrik bezeichnet. X heißt dann diskreter metrischer Raum."
  Beidesmal fehlt der bestimmte Artikel.
• Ähnlich Pahl/Damrath, die schreiben:
        "... heißt eine diskrete Metrik ..."
  Das ist stärker als der nachfolgende Satz:
        "Die diskrete Metrik besitzt also ...",
  weil man dieses "Die" auch als "Diese" lesen kann. Mit dem "eine" ist m.E. angedeutet, dass sie auch andere diskrete Metriken für möglich halten.

Für deinen Zweck kannst du m.E. fast jeden der Belege nehmen oder alle zusammen – und den Artikel sehr kurz halten.

Nun kommt aber das 10-jährige Bürschchen und fragt: Demnach wäre also die Metrik:

$d_{2}(x,y):={\begin{cases}0&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x=y\\2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ x\neq y\end{cases}}$

keine diskrete Metrik. Wir hatten doch neulich den Begriff der Ähnlichkeit. Wenn ich bei einem $d_{2}$-Raum aus der halben Entfernung kucke, dann hat derselbe Gegenstand plötzlich die diskrete Metrik oder was?

Die Frage ist vielleicht: Wieviel darf das Bürschchen selber denken, ohne der WP:TF schuldig gesprochen zu werden?

Noch was, du schreibst:
      "Die Diskrete Metrik wird eher in der Analysis oder in der Informatik verwendet."
Da hast du dich aber verraten!! Also denkst du doch an andere Varianten. Denn: Die (von dir als einzige zugelassene) diskrete Metrik ist zu überhaupt nichts gut. Sie hat nicht den geringsten erkennbaren praktischen Nutzen – nicht in der Analysis oder in der Informatik – nicht einmal in der Kombinatorik. Das einzige was sie tut: Sie füllt eine theoretische Lücke.

PS: enwiki und frwiki scheinen mir in dieser Sache einen etwas weiteren Horizont zu haben. In en:Discrete space#Definitions findet sich: "A metric space $(E,d)$ is said to be uniformly discrete if there exists a "packing radius" $r>0$ such that, for any $x,y\in E$, one has either $x=y$ or $d(x,y)>r$." en:Uniformly discrete set leitet weiter zu Delone set, wo in en:Delone set#Definitions vom "infimum of distances" die Rede ist.

Wie oben schon gesagt, finde ich die (dt) Literatur unbefriedigend in dieser Sache. Als Begründung für diesen Mangel könnte ich mir vorstellen, dass die Asse nicht so gerne Banalitäten von sich geben.
Aber jetzt mal ehrlich: Warum bloß ...
      ... soll man nicht einen WP-Bericht von der Banalität der diskreten Metrik verfassen?
Ich meinerseits plädiere jedoch (wie in einem Beitrag weiter oben) dafür, den Begriff der "diskreten Metrik" deutlich herunterzuhängen (und in einen anderen Artikel einzubetten), als ihn zu einem eigenständigen Artikel zu machen, von dem naturgemäß Präzision in der Begrifflichkeit "diskrete Metrik" erwartet wird. --Nomen4Omen (Diskussion) 16:24, 6. Jan. 2020 (CET)

Das "10-jährige Bürschchen" verwendet eine Metrik, die sich im Maßstab 1:2 von der Diskreten Metrik unterscheidet. Sicherlich, in der Topologie sind Maßstäbe nicht weiter wichtig. Außerhalb der Topologie sind Maßstäbe jedoch enorm wichtig: Wenn du mal navigierst, wirst du feststellen, welchen großen Unterschied es macht, wenn man den falschen Maßstab verwendet.

Auch in der Architektur ist der richtige Maßstab wichtig: Wenn der Auftraggeber von dir ein Haus zum wohnen haben möchte und du ihm dieses Haus im Puppenhaus-Größe baust, kannst du dich nicht damit herausreden, dass das Haus ja ähnlich ist. Er will kein Haus, das ähnlich ist, er will genau das gewünschte Haus.

Auch bei der Produktion von Maschinenteilen kann es zu Fehlern kommen, wenn die Maßeinheit nicht richtig angegeben wird: Der europäische Zulieferer produziert die Einheiten im metrischen System, der amerikanische Zulieferer im amerikanischen System. Die Teile der beiden Zulieferer sind zwar ähnlich, aber dennoch inkompatibel, da der Maßstab nicht stimmt.

In der Informatik werden Pseudometriken verwendet, um zu definieren, ob zwei Teile als identisch gelten. Es können zwar Differenzen auftreten, wenn diese aber gering genug sind, werden sie als Lesefehler aufgefasst und die beiden Teile werden trotz Lesefehler als identisch angesehen. Die Diskrete Metrik ist dabei das strengste Maß, bei dem keine Lesefehler toleriert werden. Hier werden zwei Sachen als unterschiedlich angesehen, wenn sie sich auch nur in einer Kleinigkeit unterscheiden. Abstände zwischen 0 und 1 werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass die beiden gemessenen Sachen unterschiedlich sind. Das heißt, bei der folgenden Metrik würde man ein komplett anderes Ergebnis als bei der Diskreten Metrik erhalten:

$d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{falls }}x=y\\0,5&{\text{falls }}x\neq y.\end{cases}}$

In dieser Metrik werden alle Sachen mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% als identisch betrachtet, egal wieviele und welche Unterschiede gemessen wurden.

Englische Version

Auch in der englischen Version wird zwischen "diskreter Raum" (discrete space), "diskreter Menge" (discrete set), "diskreter Topologie" (discrete topology) und "Diskreter Metrik" (discrete metric) unterschieden.

Wie ich oben schonmal gesagt habe: $\mathbb {Z} ^{d}$ ist ein diskreter Raum. Es ist sogar ein gleichmäßig diskreter Raum. Aber die dazugehörige Metrik ist keine diskrete Metrik. Und erst recht keine "gleichmäßig diskrete Metrik": Diesen Begriff gibt es nicht.

Es geht in deinem Link auch um "delone sets", also "Delone-Mengen" und nicht um "delone metrics" bzw. "Delone-Metriken".

Französische Version

Auch in der französischen Version wird zwischen "ensemble discret" (diskrete Menge), "espace discret" (diskreter Raum) und "metrique discret" (Diskrete Metrik) unterschieden. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 21:30, 6. Jan. 2020 (CET)

Also mir scheint, du unterstellst mir, dass ich nicht weiß, dass $1\neq 2.$ Da brauchst du wirklich keine Angst zu haben.

Und wo habe ich gesagt, dass Maßstäbe egal sind? Ich habe keine Ahnung, wie du darauf kommst, mich belehren zu müssen, dass es "bei der Produktion von Maschinenteilen kann es zu Fehlern kommen (kann), wenn die Maßeinheit nicht richtig angegeben wird."

Die Frage ist doch, ob die obige $d_{2}$ eine diskrete Metrik ist! In allen deinen Belegen kommt diese Metrik nicht vor. Du sagst oben sogar ausdrücklich: dass "tatsächlich nur die Metrik als diskrete Metrik bezeichnet wird, die entweder den Abstand 0 oder 1 hat".

Also nochmal: Ist für dich die obige Metrik $d_{2}$ eine diskrete Metrik ?

--Nomen4Omen (Diskussion) 22:47, 6. Jan. 2020 (CET)

Du hast oben die Metrik $d_{2}$ eingeführt und tust so, als sei das die gleiche Metrik, weil sich nur der Maßstab geändert hat, aber Ähnlichkeit gilt.

In all meinen Beispielen habe ich dir gezeigt, was passieren kann, wenn sich der Maßstab ändert und die Ähnlichkeit erhalten bleibt.

Nein, $d_{2}$ ist keine Diskrete Metrik. Das habe ich dir doch oben schonmal gesagt: Es ist eine Metrik, die im Maßstab 1:2 von der Diskreten Metrik abweicht. Auch in der englischsprachigen Literatur ist $d_{2}$ keine Diskrete Metrik. Der dazugehörige Raum ist ein diskreter Raum, aber sie ist keine Diskrete Metrik. --Eulenspiegel1 (Diskussion) 23:01, 6. Jan. 2020 (CET)

┌────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────┘ @Eulenspiegel1:
Nein, du hattest nicht gesagt, dass $d_{2}$ "keine Diskrete Metrik" ist. Du hattest gesagt, dass es "eine Metrik, die sich im Maßstab 1:2 von der Diskreten Metrik unterscheidet," ist. Das ist nicht dasselbe! Denn sie könnte sich zwar im Maßstab 1:2 von einer (einmaligen, kanonischen oder herausgehobenen, also bspw. deiner) Diskreten Metrik unterscheiden (was extra so gemacht ist und ein Blinder schon mit dem Stock sieht!) und trotzdem eine (nicht so kanonische und popligere, aber dennoch) diskrete Metrik sein. Wenn du nämlich in bezug auf die Diskrete Metrik derart pingelig bist, dann muss ich in bezug auf die Fragestellung resp. Formulierung ganz genau sein.

Aber jetzt hast du es gesagt und auch: "Der dazugehörige Raum ist ein diskreter Raum, aber sie ist keine Diskrete Metrik." (Sehr merkwürdigerweise sagst du hier "ein diskreter Raum", obwohl es auf einer gegebenen Trägermenge nur einen einzigen diskreten Raum gibt, nämlich den, dessen Topologie die Potenzmenge ist. Seltsam, dass du hier den unbestimmten Artikel nimmst, wo du bei Diskrete Metrik so streng auf dem bestimmten Artikel bestehst.) In meinem Sprachverständnis bedeutet dies (und ich präpariere das jetzt ein bisschen heraus): $d_{2}$ ist eine Metrik, die nicht diskret ist (und schon gar nicht die eine einzig wahre diskrete), aber als solche (nicht-diskrete) Metrik den (topologisch bis auf Homöomorphie eindeutig bestimmten) diskreten Raum induziert.

Wenn das deine Überzeugung ist, dann MUSST du UNBEDINGT einen klärenden und separaten Artikel für deine "Diskrete Metrik" schreiben. Denn eine präzisere und simplere Definition kann es nicht geben.

Ob du Metriken wie $d_{2}$ dabei erwähnst und was für ein Adjektiv für die dann passt, und ob überhaupt eines, musst du dabei ja nicht angeben. Nicht-diskret ist ja spezifisch genug. --Nomen4Omen (Diskussion) 12:56, 7. Jan. 2020 (CET)