Diskussion:Dualität (Logik)

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Zum Bearbeitungsvorgang [1]: Als De Morgansche Gesetze bezeichnet man nicht nur die aussagenlogischen Tautologien $(P\land Q)\leftrightarrow \neg (\neg P\land \neg Q)$, sondern auch das darunterliegende Strukturgesetz der Booleschen Algebra – aber es stimmt natürlich, nicht nur die De Morganschen Gesetze drücken Dualität von Aussagen, in denen nur Konjunktionen, Negationen und Disjunktionen vorkommen, aus. Viele Grüße, --GottschallCh 12:32, 8. Jul. 2008 (CEST)

syntaktische Definition

Die syntaktische Definition ist gut, enthält aber im Hinblick auf einen "schlanken" Aufbau der Logik auch einige Schwächen:

1. In ihr fehlt der wesentliche Aspekt der Dualität, nämlich die Strukturverwandtschaft von Verknüpfungen. Man fragt sich nach der Motivation dieser Definition.

2. Sie kommt spät, d.h. sie enthält als Voraussetzung viele Definitionen und Gesetze der Logik, die zum Verständnis von Dualität nötig sind und nicht umgekehrt, wie es eigentlich sein sollte. (Z.B. Normalformen, Umformungsgesetze usw.)

3. Sie enthält im Wesentlichen schon das 1. Dualitätsgesetz und die anderen sind mit ihr nicht so klar im steten Bewusstsein struktureller Analogie nachzuvollziehen.

Dagegen hat die erste Definition über die Wahrheitstabellen von Verknüpfungen - die ja keinesfalls bloß heuristisch und daher weniger exakt ist; denn die Junktoren selbst werden ja auch über W.-Tabellen definiert - den großen Vorteil, dass sie schon früh an den Wurzeln der Logik steht und sofort den Blick für Strukturanalogien schärft. Mit ihr und den fünf Gesetzen lassen sich die Dualitätsprobleme der Aussagenlogik "schlank" und ohne großen Aufwand bewältigen. Diesen Weg geht auch Willard v. O. Quine in seinem Buch "Grundzüge der Logik" S.93 ff.

Ich schlage vor, die erste Definition zu übernehmen und die syntaktische Definition als Konsequenz zu den Normalformen aufzuführen. Viele Grüße. --Reiner Winter 10:02, 9. Jul. 2008 (CEST)

Die Definition über Wahrheitstafeln wollte ich keinesfalls in den Hintergrund drängen; im Gegenteil, ich habe sie ja sogar zur Hauptdefinition gleich am Artikelanfang gemacht, weil ich sie eingängiger fand und im Endeffekt auch für Laien leichter verständlich als die ursprüngliche Formulierung in der Einleitung. Die syntaktische Definition wollte ich nur hinzufügen (aus verschiedenen Gründen, s.u.) und nicht in den Vordergrund rücken. Ich hätte überhaupt nichts dagegen, den Abschnitt "Definition" wieder einzuführen und darin beide Definitionen zu nennen; das war auch meine ursprüngliche Absicht, bloß ist jede Formulierung, die mir eingefallen wäre, zu einer reinen Wiederholung der Hauptdefinition geworden. Da habe ich es dann gelassen und den Abschnitt "Syntaktische Definition" genannt, aber - wie gesagt - als Alternative zur Hauptdefinition, nicht als in irgendeiner Weise bevorzugt gedacht. Ich denke aber auch weiter nach, ob ich die semantische Definition irgendwie unter eine gemeinsame Überschrift "Definition" bekomme, ohne die Einleitung bloß zu wiederholen.

Priorität würde ich keine behaupten, auch nicht im Artikel. Insoweit ich mich ohne Nachsehen an Einführungstexte erinnere, definieren viele syntaktisch und untersuchen dann erst die Eigenschaften - aber die Autor(inn)en hatten natürlich etwas im Sinn, als sie diese und keine andere Definition lieferten.

Wie es historisch aussieht, habe ich leider momentan zu wenig Zeit, selbst nachzusehen, aber wenn ich mich richtig erinnere, dann geht das Konzept der dualen Aussagen auf Schröder zurück. Damit wäre es dann wohl vor einer klaren Herausbildung Syntax/Semantik. ...irgendwann muss ich es wirklich nachschlagen, denn das wäre schon schön, die originäre Quelle nennen zu können.

Zu Punkt (1): Ich finde, über den Sinn sagt die Einleitung ohnedies schon genug (zumindest habe ich keine Information entfernt, ich habe nur Text an den Artikelanfang verschoben). Im Zusammenhang damit aber auch, sowie zu Punkt (3): Strukturell (rein algebraisch) gelten die Dualitätsgesetze ohnedies, dazu braucht es gar nicht erst Logik oder Semantik. Wenn man es von dieser Seite her betrachtet, dann ist es eine interessante Eigenschaft (z.B. der Booleschen Algebra), dass, wenn eine Formel herleitbar ist, auch ihre duale Formel herleitbar ist.

Generell, was den Sinn einer Festlegung betrifft, gefällt mir eine Zweiteilung "Definition" - "Eigenschaften" (wie sie jetzt ohnedies vorliegt) ganz gut. Die Definition(en) geben an, worum es sich handelt, und aus den Eigenschaften kann man ablesen, wozu es gut ist (und wenn man es bei einem Thema nicht kann, dann bedarf es noch eines dritten Abschnittes wie "Anwendunge" o.ä.)

Aber genug geschrieben, ich möchte nicht zu langatmig antworten. Ich plane jedenfalls ganz aktiv, ein wenig Begriffsgeschichte zu betreiben, und überlege im Übrigen, ob sich die Einleitung in einer Weise verkürzen lässt, dass sich ihr Gehalt wieder in "Definition" verschieben lässt und dass man sich dennoch etwas darunter vorstellen kann.

Viele Grüße, --GottschallCh 22:44, 9. Jul. 2008 (CEST)

Einleitung überarbeiten

Aus den verschiedenen Versuchen, die Einleitung sprachlich duchsichtiger und doch korrekt zu formulieren, schließe ich, dass die Formulierung mit Wahrheitstabellen nicht der „günstigste“ Weg ist. Für den „normalen“ Leser stellt sich außerdem die Frage, wie man zu so einer Begriffsbildung kommt, denn das wird ja nicht erklärt.

Ich selbst würde vorschlagen, dass man den einfacheren Weg wählt: „Die Implikation $B\rightarrow A$ wird als duale Aussage zu $A\rightarrow B$ bezeichnet. “ Danach würde ich kurz auf die Konsequenzen für $\land$ und $\lor$ eingehen und die Wahrheitstabellen erst im formal durchgeführten Teil unterbringen. So sehr sie für den Logiker einfach und grundlegend sind, für die berühmte „Oma“ sind sie es nicht. Ich finde, wenigstens die Einleitung sollte auch bei Artikeln aus Logik und Mathematik noch so weit verständlich sein, wie dies unter den Umständen möglich ist.

Falls sich nicht begründeter Widerspruch erhebt, werde ich das demnächst durchführen.

Hallo mini-floh, mir als Logiker aus der Philosophie war der begriff ohnehon eher fremd - daher hatte ich die Einleitung auf die aktuelle Version gekürzt, jede Änderung aber dennoch begrüßt. Kannst du dem Artikel vielleicht ein Vollprogramm verpassen? LG -- Leif Czerny 10:01, 28. Mär. 2013 (CET)

Hatte ich sowieso so halb vor, da ich im Augenblick an dem Artikel über „Dualität (Verbandstheorie)“ arbeite. Also: für demnächst vorgemerkt. LG--Mini-floh (Diskussion) 10:33, 28. Mär. 2013 (CET)

Widersprüche

Das was hier steht scheint nicht mit der vl zusammenzupassen die ich gerade höre. Das Problem bezieht sich nur auf den einleitungsteil, es ist also vielleicht ein sprachliches / ein formulierungsproblem?

1.) In der klassischen Aussagenlogik bezeichnet man zwei Aussagen als dual zueinander, die für jede Belegung der atomaren Aussagen entgegengesetzte Wahrheitswerte aufweisen.

Wo ist der unterschied zur negation? Seien A, B formeln der aussagenlogik (zusammengesetzte aussagen), sodass für jede belegung, B den entgegengesetzten wahrheitswert hat, wie A. Dann ist B doch äquivalent zu "nicht A".

2.)Umgekehrt haben duale genau denselben Wahrheitswert, wenn die in ihnen vorkommenden atomaren Aussagen im entgegengesetzten Wahrheitswerten belegt werden.'

Laut der syntaktischen definition unten im artikel ist 'x oder y' dual zu 'x und y'.

Belegung 1: x=1, y=1 eingesetzt in 'x und y' ergibt '1 und 1' (wahr)

Belegung 1': x=0, y=0, (belegt variablen entgegengesetzt), eingesetzt in die duale von 'x und y', nämlich 'x oder y', ergibt '0 oder 0' (falsch)

Laut 2.) müsste der gleiche wahrheitswert herauskommen. (nicht signierter Beitrag von 188.102.52.6 (Diskussion) 21:13, 3. Apr. 2013 (CEST))

Das ist gerade das Problem, das ich angehen möchte (vgl. „den Abschnitt Einleitung überarbeiten“), denn ich denke, dass die Formulierung der Einleitung tatsächlich eigentlich inkorrekt ist und nur mit viele „gutem Willen“ als mit der späteren (korrekten) Definition vereinbar angesehen werden kann. Dabei habe ich bisher keine Formulierung gefunden, die die Wahrheitswerte verwendet und gleichzeitig korrekt und einsichtig ist. Deshalb habe ich ja auch vorgeschlagen, die Einleitung völlig neu zu schreiben. Dein Einwand bestätigt mich da.

Natürlich könnte man auch, wie das im Artikel Dualität (Mathematik) impliziert ist, die Negation als „eine Art Dualität“ ansehen, aber dann muss man das so sagen und trotzdem noch getrennt halten, damit der Leser nicht verwirrt ist. Und wozu soll das in diesem Fall gut sein, wenn man das völlig ausreichende Wort „Negation“ dafür schon hat? Wir machen hier ja nicht „Dualitätstheorie“.--Mini-floh (Diskussion) 21:56, 3. Apr. 2013 (CEST)

Mit Dualität ist doch offenbar eine Relation zwischen Aussagen gemeint, während die Negation ein einstelliger Satzoperator ist. zudem ist die Negation von p->q doch nach der vorgegebenen Definition nicht die duale Aussage zu p->q, sondern die duale Aussage wäre q->p. Die Reduktion der Dualität auf "ist äquivalent zur Negation" gilt also nur für atomare Sätze.-- Leif Czerny 09:40, 4. Apr. 2013 (CEST)

Ich muss mich zunächst entschuldigen für meine Formulierung, das war eine der „Mathematiker-Schlampereien“. Da man normalerweise einstellige Funktionen/Operatoren mit zweistelligen, linksvollständigen, rechtseindeutigen Relationen (tolle Wortbildung, aber nicht von mir) identifiziert, macht man da oft auch beim Reden keinen Unterschied. Natürlich hätte ich genauer sagen müssen: die durch die Negation induzierte Relation.

In dem Mathematikartikel ging es um Mengen, d.h. es spielen Äquivalenzklassen von Aussagen eine Rolle und man kann die Komplement-/Negations-Bildung als eine umkehrbar-eindeutige Zuordnung zwischen jeweils zwei Mengen/Satzklassen verstehen. Diese ist natürlich (auch für atomare Aussagen) nicht mit der Dualität im Sinn dieses Artikels identisch.

Beide haben aber einige Gemeinsamkeiten, die man axiomatisch etwas so ausdrücken würde ($d$ als Symbol für einen Operator, der jeder Formel ihre duale Formel zuordnet):

1. $d\left(d(\varphi )\right)=\varphi$
2. $d(\varphi \land \psi )=d(\varphi )\lor d(\psi )$
3. $d(\varphi \lor \psi )=d(\varphi )\land d(\psi )$

und eventuell noch weitere Gemeinsamkeiten. Nennt man so etwas einen Dualitäts-Operator, dann fällt auch die Negation darunter.

Der Autor des Dualität (Mathematik)-Artikels hat anscheinend etwa so gedacht. Deshalb steht dort: „Eine Dualität, die nicht mit diesem Wort bezeichnet wird, ist die Bildung des Komplementes einer Menge“ und deshalb meine Nebenbemerkung. Aber das gehört eben nicht hier her.

Etwas damit zusammenhängend ist aber: Der Begriff „duale Formel“ gehört zwar innerhalb der Mathematik im Zusammenhang von Verbandstheorie, Boolesche Algebra etc seit längerem zum Standard, aber in der Logik anscheinend nicht. Er wird dort z.T. auch anders verwendet! Und das gibt natürlich jede Menge Verwirrungen. --Mini-floh (Diskussion) 21:10, 5. Apr. 2013 (CEST)

Verstehe ich nicht. Was ist an diesen Axiomen ( Symmetrie und Distributivität) so besonders?-- Leif Czerny 22:19, 5. Apr. 2013 (CEST)

Das Besondere ist, dass es sich gewissermaßen um „duale Distributivität“ handelt. Bei einem normalen D-Gesetz würden links und rechts vom Gleichheitszeichen die gleichen Operatoren vorkommen, also $n(\varphi \land \psi )=n(\varphi )\land n(\psi )$ in der zweiten Zeile (n für normal) und duale Form in der dritten. Die erste Zeile besagt nicht nur, dass die Operation symmetrisch ist, sondern dass sie involutorisch ist: zweimalige Anwendung führt zum Ausgangspunkt zurück.--Mini-floh (Diskussion) 18:09, 6. Apr. 2013 (CEST)

Wieder was gelernt! Die umkehrung der operatoren bei der Distribution entspricht den deMorganschen Gesetzen für die Negation?-- Leif Czerny 23:13, 6. Apr. 2013 (CEST)

Genau! Ersetzt man den Operator d durch die Negation, dann stehen die beiden deMorganschen Gesetze da. Ersetzt man sie durch „duale Formel“, dann sind es die Regeln aus dem Artikel. --Mini-floh (Diskussion) 09:08, 7. Apr. 2013 (CEST)

Einleitung

Was war der Grund, aus dem die Einleitung in http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dualität_(Logik)&oldid=116016256 falsch sei? (Gegenbeispiel?).46.115.90.120 (21:55, 4. Apr. 2013 (CEST), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Es wirkt ein bisschen bemüht, zunächst die "Dualen Belegungen" einzuführen.-- Leif Czerny 22:17, 4. Apr. 2013 (CEST)

Der Haupteinwand ist: „Dualität“ wird in der Logik als syntaktischer Begriff verwendet. Man sieht das an dem geforderten „Gegenbeispiel“: die Formeln $\varphi \land \psi$ und $(\varphi \lor \psi )\land (\xi \lor \neg \xi )$ werden nicht als dual zueinander betrachtet. Nach der dort gegebenen Definition (und freilich auch nach der jetzigen) müssten sie das aber sein.

Ich weise dabei darauf hin, dass ich für $\xi$ eine beliebig komplizierte Formel hätte einsetzen können, so dass die Struktur völlig undurchsichtig geworden wäre. Der übliche Sprachgebrauch ist: die zweite Formel „ist zur zur dualen Formel der ersten (logisch) äquivalent“. Eine Definition, die semantisch mit Belegungen anfängt, wird immer in diese Schwierigkeiten kommen.

Hinzu kommt, dass der Begriff duale Belegung als Theoriefindung zu betrachten ist. Insbesondere für atomare Formeln ist er zudem zumindest undurchsichtig: im normalen Gebrauch des Wortes „dual“ ist die duale Formel einer atomaren Formel sie selbst. Die duale Belegung soll aber hier gerade der entgegengesetzte Wahrheitswert sein.--Mini-floh (Diskussion) 09:31, 5. Apr. 2013 (CEST)