Diskussion:Erste Fundamentalform

Müssen E, F, G streng kleiner 0 sein? Dann würde das untere Beispiel nicht stimmig sein. Kenne mich mit der Materie (leider) nicht weiter aus.

Weiterhin ist immer von Koeffizienten die Rede, aber nirgendwo steht genau, wie diese Koeffizienten dann "zusammengebaut" werden. Es steht nur wieder eine Formel im Beispiel. --84.179.255.32 05:05, 24. Nov. 2006 (CET)

seltsame Koeffizienten-Namen?

Bei "Definition und Eigenschaften" ist sowohl von "( u, v )" die Rede, als auch von u1 und u2, bzw. ui und uj.

Wieso die Unterscheidung?

Frag ich mich auch

u,v in U Teilmenge von R^2 und w1,w2 in R^2 ? (nicht signierter Beitrag von 95.88.150.22 (Diskussion) 23:24, 6. Okt. 2016 (CEST))

Die erste Fundamentalform definiert für jeden Punkt der Fläche, das heißt, für jedes Parameterpaar $(u,v)$ des Parameterbereichs $U$ eine quadratische Form. Diese quadratische Form ist für Vektoren des $\mathbb {R} ^{2}$ (anschaulich: Für Tangentialvektoren der Fläche) definiert.

Ausführlich (das heißt, wenn man die Abhängigkeit von $(u,v)$ explizit macht) müsste man schreiben:

$I(u,v)\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,\ (w_{1},w_{2})\mapsto E(u,v)\,w_{1}^{2}+2F(u,v)\,w_{1}w_{2}+G(u,v)\,w_{2}^{2}$

Ich hoffe, dass es dies verständlich macht. --Digamma (Diskussion) 06:37, 7. Okt. 2016 (CEST)

Vielen Dank! Ich habe es verstanden. $E,F,G$ erhalten $\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)$ als parameter und $w_{1},w_{2}$ sind ${\dot {\varphi }}_{1}(t),{\dot {\varphi }}_{2}(t)$, wenn $\varphi _{1}(t),\varphi _{2}(t)$ eine Kurve auf der Fläche beschreiben. (nicht signierter Beitrag von 37.9.184.200 (Diskussion) 11:41, 7. Okt. 2016 (CEST))

Genauso ist es. Was meinst du, sollte man im Artikel die Parameter (u,v) wie in meiner Erklärung hier ergänzen, damit das verständlicher ist? --Digamma (Diskussion) 12:45, 7. Okt. 2016 (CEST)

Linienelement

Ich wünsche mir für diesen Artikel ein klarer Unterscheidung zwischen Linienelement und metrischen Tensor.

Differentiale

Ich habe mal die Differentiale aus der Definition herausgenommen, damit auch ein Mathematiker etwas versteht, und die erste Fundamentalform als quadratische Form (im Sinne der linearen Algebra) definiert.

Eine Frage zur Notation: Die Bezeichnung einer Fläche bzw. ihrer Parametrisierung durch ein $\mathbf {a}$ ist mir noch nicht begegnet. Welcher Autor handhabt das so? --Digamma 18:26, 29. Mai 2010 (CEST)

Partielle Ableitungen oder Tangenten?

"Dabei sind die Vektoren ... die ersten partiellen Ableitungen nach den Parametern ..."

Eine partielle Ableitung ist ein Skalar. Hier sind aber offenbar Tangenten, also Vektoren, gemeint.

--Felix Tritschler (Diskussion) 14:19, 6. Aug. 2020 (CEST)

X(u,v) ist hier ein von u und v abhängige vektorielle Funktion (Ortsvektor eines Punktes im Raum). Deren partielle Ableitungen sind dann wieder Vektoren, auch wenn hier keine Pfeile benutzt werden. --Ag2gaeh (Diskussion) 16:17, 6. Aug. 2020 (CEST)