Diskussion:Erzeugende Funktion

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Fehler

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter der erzeugenden Funktion einer Folge an eine Funktion, deren Werte als formale Potenzreihe darstellbar sind.

Erzeugende Funktionen sind doch keine Funktion im formalen Sinn, sondern eine andere Schreibweise für unendliche Folgen; nämlich als formale Potenzreihe bzw. unendliches Polynom. Also formale Potenzreihe= erzeugende Funktion! (nicht signierter Beitrag von 92.229.15.162 (Diskussion) 17:27, 18. Jan. 2012 (CET))

Stimmt, das stand da ursprünglich auch. Ich habe es wiederhergestellt. --84.130.176.131 18:13, 18. Jan. 2012 (CET)

Die Auffassung als Funktion dient zumindest dazu, durch Angabe eines formalen Parameters die richtige Interpretation festzulegen. Beispiel:

$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}z^{3k}$

Kodiert man damit nun die Folge $(1,z^{3},z^{6},z^{9},\ldots )$ oder die Folge $(1,0,0,x,0,0,x^{2},0,0,x^{3},\ldots )$? Oder vielleicht gar 'ne ganz andere? Klar: je nach Wunsch.

Durch Davorschreiben von $x\mapsto$ bzw. $z\mapsto$ kann man eine der beiden Interpretationen auswählen. Der Summenausdruck allein (und der stand mal allein da) reicht jedenfalls nicht.

Und da sehe ich den entscheidenden Unterschied: Um zu wissen, über welche Folge man mit Hilfe von Potenzreihen irgendwas ermittelt hat, braucht man einen formalen Parameter. Zum Herumrechnen mit formalen Potenzreihen nicht. Also z.B. kann man $\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}y^{2k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}x^{2k}y^{k}\right)$ ausrechnen, in dem Sinne, dass für alle Produkte von Potenzen von x und y der Koeffizient ermittelbar ist. Dabei ist völlig unerheblich, ob die Eingabekoeffizienten aus Folgen entstanden sind, oder nicht, und ob die Ausgabekoeffizienten, und wie genau, wieder als Folgen interpretiert werden. --Daniel5Ko 19:54, 18. Jan. 2012 (CET)

Aber es werden nicht die Werte der erzeugenden Funktion als formale Potenzreihe dargestellt, sondern die Werte der Folge. --84.130.176.131 20:03, 18. Jan. 2012 (CET)

Was heißt denn "dargestellt"? Fakt ist: die Werte der Folge treten als Koeffizienten auf. Der Funktionswert der erzeugenden Funktion für $(a_{k})_{k}$ an der Stelle $x$ existiert vielleicht für konkrete x als Zahl, vielleicht auch nicht, ist aber auf jeden Fall $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}$. Natürlich haben wir oft keine richtige Funktion, aber der Variablenbindungscharakter der Funktionsdefinition-durch-Zuordnungsvorschrift ist notwendig, damit wir wissen/festlegen können, welche Folge denn gemeint ist. (Siehe obiges $\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}z^{3k}$) --Daniel5Ko 21:08, 18. Jan. 2012 (CET)

Wir diskutieren aber schon über diese Änderung, bei der ich das "darstellbar" entfernt und nicht etwa eingefügt habe, und nicht über meinen Diskussionsbeitrag (mit dem ich wenigstens dem "dargestellt" einen Sinn geben wollte), oder? Jedenfalls werden nicht die Werte der erzeugenden Funktion als formale Potenzreihe dargestellt, die kann man nicht einmal immer sinnvoll definieren. Der Einleitungssatz war, wie er da stand, klar verunglückt. Punkt. --84.130.176.131 21:33, 18. Jan. 2012 (CET)

Ich stimme jedoch zu, dass der Satz verunglückt war. Aus meiner Sicht geht's jetzt darum, dass die Behauptung, eine erzeugende Funktion sei eine formale Potenzreihe, nicht ausreicht. Die Bindung, die durch die Zuordnungsvorschrift hergestellt wird, ist wichtig. Nun ist leider die Übersetzung von $f\colon x\mapsto {\text{foo}}$ nach deutsch "f ist an der Stelle x foo". Bessere Idee? --Daniel5Ko 22:19, 18. Jan. 2012 (CET)

Der Artikel ist auf einem schlechten Niveau, da stimme ich zu. Der Fall mit mehreren Variablen sollte behandelt werden und auch andere Verallgemeinerungen (nicht nur exponentiell und Dirichlet). Wilfs generatingfunctionology ist ja online verfügbar, falls jemand Zeit hat, die essentiellen Fakten zu extrahieren, exakte Definitionen findet man dort ab Kapitel 2. Bereits im Lexikonformat (aber leider nicht gerade vorbildlich) sind MathWorld und die EoM, und auch dem englischen Wikipedia-Artikel kann man Anregungen entnehmen. --84.130.156.176 12:04, 19. Jan. 2012 (CET)

Die 'Dirichlet-erzeugende Funktion einer Folge' gehört nicht hier

Siehe hier. Die Reihe ${\textstyle \,\sum _{n=1}^{\infty }(s\mapsto {\frac {a_{n}}{n^{s}}})\,}$ ist keine 'formale Potenzreihe' (Einleitung, Satz 1).  Eine Exponentialfunktion ist keine Potenzfunktion.

Siehe WPen und WPfr. --Hesselp (Diskussion) 12:44, 7. Jul. 2021 (CEST) (gesperrt für ANR)