Diskussion:Euler-Charakteristik

Die Hauptvermutung der Topologie ist falsch

"Eine wichtige Beobachtung ist, dass die gegebene Definition unabhängig vom gewählten Dreiecksgitter ist. Dies lässt sich zeigen, indem man zu einer gemeinsamen Verfeinerung gegebener Gitter übergeht, ohne dass sich die Euler-Charakteristik dabei ändert." Unser LA-Prof hat uns gestern erzählt, dass diese Vermutung widerlegt wurde. Hier eine Quelle, die ich auf die Schnelle gefunden habe: http://beplitt.sdf-eu.org/vortr/milnor.pdf Könnte das vielleicht einer verbessern, der sich damit auskennt? Es gibt anscheinend einen anderen Beweis. 91.44.217.124 16:04, 23. Dez. 2009 (CET)

Siehe Dennis Sullivan, Andrew Casson.--Claude J 11:13, 2. Aug. 2010 (CEST)

Möglicherweise lässt sich das nicht mehr auf diese Weise zeigen, wenn die Hauptvermutung widerlegt ist, die Gültigkeit der Invarianz der Charakteristik unter Homöomorphie bleibt aber bestehen. Ein alternativer Beweis findet sich zum Beispiel hier: https://caj.informatik.uni-jena.de/caj/file/details/id/-7245673068057479458 Dort wird die Größe als alterniernede Summe über die Dimension der Homologiegruppen definiert - was sofort die Homöomorphieinvarianz liefert - der Zusammenhang mit den simplizialen Komplexen wird dann erst nachträglich über die Lefschetz-Zahlen hergestellt. Dieser Zugang ist zwar leider deutlich weniger anschaulich, m.M.n. aber wegen seiner größeren Allgemeinheit zu bevorzugen.

-- 86.56.98.22 01:47, 24. Mai 2012 (CEST)

Euler-Charakteristik für nicht-geschlossene Flächen?

Die Definition über eine Triangulierung macht für nicht-geschlossene Flächen (wie den R²) in dieser Form keinen Sinn. Daher habe ich die Definition entsprechend geändert und das Beispiel R² gelöscht.

Man kann natürlich die Euler-Charakteristik von R² einfach als 2 definieren, aber was ist dann mit anderen nicht-kompakten Flächen? Ein-Punkt-Kompaktifizierung wäre wohl möglich, aber vielleicht zu kompliziert zum hier erklären. Mir fällt auch kein Beispiel ein, wo man das wirklich braucht. --Yonatan 19:47, 24. Jan 2005 (CET)

Solange Homologietheorie bzw. Kohomologie nicht weiter ist, kann man höchstens noch die Definition über Zellenzerlegung angeben. Ist aber vielleicht wirklich momentan verzichtbar.--Gunther 23:59, 1. Mär 2005 (CET)

Gilt die angegebene Defition nur für geschlossene Flächen? Was ist mit berandeten Flächen ? --Jakob Kröker , 01:11, 18. Aug 2009 (ohne Benutzername signierter Beitrag von 77.24.78.73 (Diskussion | Beiträge) )

Eulerscher Polyedersatz

Bei der Projektion muss man noch darauf achten, dass der Mittelpunkt der Sphäre im Inneren des Polyeders liegt. Vielleicht doch besser anschaulich formulieren, a la "Oberfläche des Polyeders mit der Sphäre identifizieren"?--Gunther 23:48, 1. Mär 2005 (CET)

Geschlecht 1?

Also, irgendwas passt hier nicht: Das Geschlecht ist als ganzzahlige Größe definiert, und es gilt χ = 2 - 2g. Dann kann die projektive Ebene nicht Euler-Charakteristik 1 haben. Bin leider nicht vom Fach und habe deshalb keine Ahnung, welche der Aussagen korrigiert werden muss, kann das bitte irgendwer tun, der mehr Ahnung hat als ich? --Glotzfrosch 07:54, 22. Mai 2006 (CEST)

Ich hab es korrigiert. Die Formel gilt nur für orientierbare Flächen und der RP^2 ist nicht orientierbar. --Cardano 14:56, 24. Sep 2006 (CEST)