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[[Diskussion:Fünfzehneck/Archiv/ab 2015#Thema 1]]
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https://de.wikipedia.org/wiki/Diskussion:F%C3%BCnfzehneck/Archiv/ab_2015#Thema_1
sin
12
∘
=
1
8
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle \sin 12^{\circ }={\frac {1}{8}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)}
csc
12
∘
=
1
2
(
10
+
2
5
+
3
+
15
)
{\displaystyle \csc 12^{\circ }={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}\right)}
erhält man etwas einfachere Formeln (nur noch zwei Wurzeln untereinander!) für Seitenlänge, Inkreisradius und Flächeninhalt:
a
=
1
4
R
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle a={\frac {1}{4}}R\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)}
r
=
1
4
a
(
10
+
2
5
+
3
+
15
)
{\displaystyle r={\frac {1}{4}}a\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}\right)}
A
=
15
8
a
2
(
10
+
2
5
+
3
+
15
)
{\displaystyle A={\frac {15}{8}}a^{2}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}\right)}
--178.7.183.129 12:11, 14. Apr. 2018 (CEST)
4 Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebenem Umkreis 5 Konstruktion mit Zirkel und Lineal bei gegebener Seitenlänge Petrus3743 (Diskussion ) 18:10, 14. Apr. 2018 (CEST)
sin
12
∘
{\displaystyle \sin 12^{\circ }}
Teil 5 (Konstruktion bei gegebener Seitenlänge) muss, soweit ich es überblicke, nicht verändert werden. --178.10.113.212 10:00, 16. Apr. 2018 (CEST)
obiger Tabelle angegebene Formel
a
=
1
4
⋅
R
⋅
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle a={\frac {1}{4}}\cdot R\cdot \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)}
Berechnungsskizze für Seitenlänge a
(
1
)
{\displaystyle {\mathsf {(1)}}}
Rechtwinkliges Dreieck
M
H
E
2
{\displaystyle MHE_{2}}
(
1.1
)
A
M
¯
=
M
E
1
¯
=
R
{\displaystyle {\mathsf {(1.1)}}\;{\overline {AM}}={\overline {ME_{1}}}=R}
(
1.2
)
M
E
2
¯
=
R
{\displaystyle {\mathsf {(1.2)}}\;{\overline {ME_{2}}}=R}
(
1.3
)
∠
H
M
E
2
=
1
2
⋅
μ
=
12
∘
{\displaystyle {\mathsf {(1.3)}}\;\angle {HME_{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mu =12^{\circ }}
Zur Berechnung der Seitenlänge benötigt man den Wert von
sin
(
12
∘
)
{\displaystyle \sin \left(12^{\circ }\right)}
Additionstheoreme berechnen lässt:
(
2
)
{\displaystyle {\mathsf {(2)}}}
sin
(
12
∘
)
{\displaystyle \sin \left(12^{\circ }\right)}
sin
(
12
∘
)
=
sin
(
30
∘
−
18
∘
)
=
sin
(
30
∘
)
⋅
cos
(
18
∘
)
−
cos
(
30
∘
)
⋅
sin
(
18
∘
)
=
1
2
⋅
1
4
2
⋅
(
5
+
5
)
−
1
2
3
⋅
1
4
⋅
(
5
−
1
)
=
1
8
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin \left(12^{\circ }\right)&=\sin \left(30^{\circ }-18^{\circ }\right)\\&=\sin \left(30^{\circ }\right)\cdot \cos \left(18^{\circ }\right)-\cos \left(30^{\circ }\right)\cdot \sin \left(18^{\circ }\right)\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot (5+{\sqrt {5}})}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\cdot {\frac {1}{4}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\\&={\frac {1}{8}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\end{aligned}}}
(
3
)
{\displaystyle {\mathsf {(3)}}}
a
{\displaystyle a}
a
=
2
⋅
R
⋅
sin
(
12
∘
)
=
2
⋅
R
⋅
1
8
⋅
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
=
1
4
⋅
R
⋅
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=2\cdot R\cdot \sin \left(12^{\circ }\right)\\&=2\cdot R\cdot {\frac {1}{8}}\cdot \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\cdot R\cdot \left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\end{aligned}}}
Mein Vorschlag:Berechnung der Seitenlänge mit dem Vermerk in der Zusammenfassung siehe Diskussion:Fünfzehneck ein.
Solltest du deine beiden Versionen nicht zurücksetzen können, dann kann ich das übernehmen und anschließend gleich deine neue Version "sichten".
Ich habe in der gesamten Berechnung und in den Größen (gleiche Schreibweise ...) die Malpunkte gesetzt, daher auch in diesem Absatz. Mit Gruß Petrus3743 (Diskussion ) 16:27, 16. Apr. 2018 (CEST)
cos
(
18
∘
)
{\displaystyle \cos \left(18^{\circ }\right)}
sin
(
18
∘
)
{\displaystyle \sin \left(18^{\circ }\right)}
Petrus3743 (Diskussion ) 16:45, 16. Apr. 2018 (CEST) erledigt Erledigt Petrus3743 (Diskussion ) 17:01, 16. Apr. 2018 (CEST)
sin
(
18
∘
)
{\displaystyle \sin(18^{\circ })}
cos
(
18
∘
)
{\displaystyle \cos(18^{\circ })}
178.10.113.212 17:16, 16. Apr. 2018 (CEST) Bei Vereinfachungen bzw. Änderungen der Formeln in den Größen , bitte unbedingt auch in Mathematische Zusammenhänge die Beschreibung / Herleitung die entsprechenden Absätze anpassen. --Petrus3743 (Diskussion ) 17:56, 16. Apr. 2018 (CEST) Inkreisradius
r
{\displaystyle r}
r
=
1
4
⋅
a
⋅
(
10
+
2
⋅
5
+
15
+
3
)
{\displaystyle r={\frac {1}{4}}\cdot a\cdot \left({\sqrt {10+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)}
Flächeninhalts „Zusammen mit dem oben hergeleiteten Ausdruck für r folgt daraus ” genutzt wird. Gruß Petrus3743 (Diskussion ) 13:34, 17. Apr. 2018 (CEST) erledigt Erledigt Petrus3743 (Diskussion ) 01:06, 18. Apr. 2018 (CEST)
cot
(
12
∘
)
=
…
{\displaystyle \cot(12^{\circ })=\ldots }
188.104.92.21 12:54, 21. Apr. 2018 (CEST) Petrus3743 (Diskussion ) 13:23, 21. Apr. 2018 (CEST) Petrus3743 (Diskussion ) 15:09, 22. Apr. 2018 (CEST)
cot
(
12
∘
)
{\displaystyle \cot(12^{\circ })}
Vorbemerkung: Die im Folgenden hergeleitete Beziehung lässt sich zur Umformung von Rechenausdrücken verwenden.
10
+
2
5
=
(
5
−
1
)
5
+
2
5
(
∗
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}&=({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\quad (*)\end{aligned}}}
(
5
−
1
)
5
+
2
5
=
(
5
−
1
)
2
(
5
+
2
5
)
=
(
5
−
2
5
+
1
)
(
5
+
2
5
)
=
(
6
−
2
5
)
(
5
+
2
5
)
=
30
+
12
5
−
10
5
−
20
=
10
+
2
5
{\displaystyle {\begin{aligned}({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}&={\sqrt {({\sqrt {5}}-1)^{2}\,(5+2{\sqrt {5}})}}\\&={\sqrt {(5-2{\sqrt {5}}+1)\,(5+2{\sqrt {5}})}}\\&={\sqrt {(6-2{\sqrt {5}})\,(5+2{\sqrt {5}})}}\\&={\sqrt {30+12{\sqrt {5}}-10{\sqrt {5}}-20}}\\&={\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\end{aligned}}}
sin
12
∘
=
1
8
(
10
+
2
5
+
3
−
15
)
=
1
8
(
(
5
−
1
)
5
+
2
5
−
3
(
5
−
1
)
)
(nach (*))
=
1
8
(
5
−
1
)
(
5
+
2
5
−
3
)
cos
12
∘
=
1
8
(
30
+
6
5
+
5
−
1
)
=
1
8
(
3
10
+
2
5
+
5
−
1
)
=
1
8
(
3
(
5
−
1
)
5
+
2
5
+
(
5
−
1
)
)
(nach (*))
=
1
8
(
5
−
1
)
(
3
5
+
2
5
+
1
)
=
1
8
(
5
−
1
)
(
15
+
6
5
+
1
)
cot
12
∘
=
cos
12
∘
sin
12
∘
=
1
8
(
5
−
1
)
(
15
+
6
5
+
1
)
1
8
(
5
−
1
)
(
5
+
2
5
−
3
)
=
15
+
6
5
+
1
5
+
2
5
−
3
=
(
15
+
6
5
+
1
)
(
5
+
2
5
+
3
)
(
5
+
2
5
−
3
)
(
5
+
2
5
+
3
)
=
(
3
5
+
2
5
+
1
)
(
5
+
2
5
+
3
)
5
+
2
5
−
3
=
3
(
5
+
2
5
)
+
3
5
+
2
5
+
5
+
2
5
+
3
2
+
2
5
=
5
3
+
2
15
+
4
5
+
2
5
+
3
2
(
5
+
1
)
=
6
3
+
2
15
+
4
5
+
2
5
2
(
5
+
1
)
=
3
3
+
15
+
2
5
+
2
5
5
+
1
=
(
3
3
+
15
+
2
5
+
2
5
)
(
5
−
1
)
(
5
+
1
)
(
5
−
1
)
=
3
15
−
3
3
+
5
3
−
15
+
2
5
+
2
5
(
5
−
1
)
5
−
1
=
2
15
+
2
3
+
2
5
+
2
5
(
5
−
1
)
4
=
15
+
3
+
10
+
2
5
2
(nach (*))
=
1
2
(
10
+
2
5
+
15
+
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 12^{\circ }&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\&={\frac {1}{8}}\,\left(({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\,({\sqrt {5}}-1)\right)\qquad {\mbox{(nach (*))}}\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)\\[2ex]\cos 12^{\circ }&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {3}}\,({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)\right)\qquad {\mbox{(nach (*))}}\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1\right)\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1\right)\\[2ex]\cot 12^{\circ }&={\frac {\cos 12^{\circ }}{\sin 12^{\circ }}}\\&={\frac {{\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1\right)}{{\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)}}\\&={\frac {{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1}{{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}}}\\&={\frac {\left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1\right)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)}{\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)}}\\&={\frac {\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1\right)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)}{5+2{\sqrt {5}}-3}}\\&={\frac {{\sqrt {3}}\,(5+2{\sqrt {5}})+3{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}}{2+2{\sqrt {5}}}}\\&={\frac {5{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}+4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}}{2\,({\sqrt {5}}+1)}}\\&={\frac {6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}+4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2\,({\sqrt {5}}+1)}}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{{\sqrt {5}}+1}}\\&={\frac {\left(3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+2\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\,({\sqrt {5}}-1)}{({\sqrt {5}}+1)\,({\sqrt {5}}-1)}}\\&={\frac {3{\sqrt {15}}-3{\sqrt {3}}+5{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {5}}-1)}{5-1}}\\&={\frac {2{\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {5}}-1)}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\qquad {\mbox{(nach (*))}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}
--188.104.92.21 13:42, 21. Apr. 2018 (CEST)
Petrus3743 (Diskussion ) 14:43, 21. Apr. 2018 (CEST) 188.104.92.21 15:58, 21. Apr. 2018 (CEST) Petrus3743 (Diskussion ) 17:02, 21. Apr. 2018 (CEST) erledigt Erledigt Petrus3743 (Diskussion ) 14:17, 22. Apr. 2018 (CEST) Petrus3743 (Diskussion ) 15:09, 22. Apr. 2018 (CEST) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin 12^{\circ }&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right)\\&={\frac {1}{8}}\,\left(({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\,({\sqrt {5}}-1)\right)\qquad {\mbox{(nach (*))}}\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)\\[2ex]\cos 12^{\circ }&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {30+6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1\right)\\&={\frac {1}{8}}\,\left({\sqrt {3}}\,({\sqrt {5}}-1)\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+({\sqrt {5}}-1)\right)\qquad {\mbox{(nach (*))}}\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1\right)\\&={\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1\right)\\[2ex]\cot 12^{\circ }&={\frac {\cos 12^{\circ }}{\sin 12^{\circ }}}\\&={\frac {{\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1\right)}{{\frac {1}{8}}\,({\sqrt {5}}-1)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)}}\\&={\frac {{\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1}{{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}}}\\&={\frac {\left({\sqrt {15+6{\sqrt {5}}}}+1\right)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)}{\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {3}}\right)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)}}\\&={\frac {\left({\sqrt {3}}\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+1\right)\,\left({\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)}{5+2{\sqrt {5}}-3}}\\&={\frac {{\sqrt {3}}\,(5+2{\sqrt {5}})+3{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}}{2+2{\sqrt {5}}}}\\&={\frac {5{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}+4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}}{2\,({\sqrt {5}}+1)}}\\&={\frac {6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {15}}+4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{2\,({\sqrt {5}}+1)}}\\&={\frac {3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}{{\sqrt {5}}+1}}\\&={\frac {\left(3{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}+2\,{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)\,({\sqrt {5}}-1)}{({\sqrt {5}}+1)\,({\sqrt {5}}-1)}}\\&={\frac {3{\sqrt {15}}-3{\sqrt {3}}+5{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {5}}-1)}{5-1}}\\&={\frac {2{\sqrt {15}}+2{\sqrt {3}}+2{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,({\sqrt {5}}-1)}{4}}\\&={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}{2}}\qquad {\mbox{(nach (*))}}\\&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/532c8a0727c9c5e77cae9490ebd4410fd990c65c)