Diskussion:Fakultät (Mathematik)

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Bilder

habe mal das Bild Datei:Gammafunktion.png gegen Tex-Code ausgetauscht. --Emp 15:36, 26. Jan 2003 (CET)

Primorial (Primfakultät??)

Wie nennt man eigentlich en:primorial, also das Produkt der Primzahlen statt aller Zahlen, z.B. 2*3*5*7*11, auf deutsch?

Das Wort 'primorial' wurde von H. Dubner (http://primes.utm.edu/references/refs.cgi?author=Dubner) als Kombination aus den Worten 'prime' und 'factorial' eingeführt.

Im Deutschen läßt man es entweder so stehen oder versucht das Analogon zu bauen aus 'Primzahl' und 'Fakultät', also etwa 'Primfakultät'. In meinen Ohren klingt 'Primfakultät' in einem deutschen Text besser als 'primorial'. Testsatz: "Wann ist die Primfakultät eine Primzahl?" Antwort: Nie, außer 2#. Aber 2 ist ja sowieso so'ne seltsame Primzahl...

Als Zeichen für die Primfakultät hat sich (an Stelle von '!') das Zeichen '#' eingebürgert. Beispiel: 7# + 1 ist eine Primzahl und 42209# + 1 auch.

Es gibt auch Zahlen k, so dass sowohl k! + 1 als auch k# + 1 Primzahlen sind. k = 11 ist so eine, allerdings nicht die kleinste dieser Art. Stellt sich also die Frage, für welche k dann (k! + 1)# + 1 prim ist ;)

Nennen wir eine Primzahl p eine Wilsonsche Primzahl, wenn es ein k gibt mit p = k! + 1, dann heißt die Frage also: Wann ist der Nachfolger der Primfakultät einer Wilsonschen Primzahl prim?

Und nu? Wer schreibt den Artikel über die Primfakultät?

Bevor es keine Belege für Eure obigen Namensüberlegungen gibt, bitte keiner (WP:WWNI Punkt 2).--Gunther 21:27, 23. Jul 2005 (CEST)

Hmm, also zu (WP Punkt 2), Zitat: Wikipedia dient nicht der Theoriefindung, sondern der Theoriedarstellung. In ihr sollten weder neue Theorien, Modelle, Konzepte, Methoden aufgestellt noch neue Begriffe etabliert werden. Ebenso unerwünscht sind nicht nachprüfbare Aussagen. Ziel des Enzyklopädieprojektes ist die Zusammenstellung bekannten Wissens.

Die Theorie von 2*3*5*7*..*p muss nicht erst erfunden werden :-)) Sie ist nicht neu, noch ist der Begriff neu, der dieses besonders einfache Primzahlenprodukt begleitet, wie ja auch die oben angegebene englische Schwesterseite bestätigt. Es geht hier allein um einen Namen, und um die Frage, ob man den von H. Dubner frisch erfundenen englischen Kunstnamen in einer deutschsprachigen Enzyklopädie verwenden soll oder besser eine deutsche Transkription von diesem. Funktion oder function? Mathematik oder mathematics? Primzahl oder prime? Fakultät oder factorial? Was meinst du denn zu dieser Frage, um die es allein geht, Gunther?

Wenn es einen Artikel gibt, dann hat der einen Namen (Lemma), und wir behaupten implizit, dass der Begriff diesen Namen hat. Diese Behauptung muss irgendwo belegt sein. Wenn es kein übliches Wort für einen Begriff gibt, dann hat das meistens einen Grund, nämlich dass niemand den Begriff benutzt.--Gunther 22:37, 25. Jul 2005 (CEST)

Verstehe ich dich richtig: Primzahlen gibt es, und primes gibt es, Fakultät gibt es, und factorial gibt es, Primfakultät gibt es nicht, primorial gibt es. Und warum gibt es primorial? Weil dem guten H. Dubner kein Gunther über den Weg lief, der ihm sagte, dass es das gar nicht gibt. Richtig?

Alternativvorschlag: Wir nennen den Begriff "Blubdiblub". Das hat (bis auf etymologische Feinheiten) dieselbe Berechtigung wie "Primfakultät", es sei denn, Du machst Dir die Mühe, eine Referenz für "Primfakultät" aufzutreiben. Wenn es keine deutschen Bücher gibt, die diesen Begriff verwenden, dann ist er nicht wichtig genug, um hier bekannt gemacht zu werden.--Gunther 23:48, 25. Jul 2005 (CEST)

Ok., ich bitte möglichst viele Leser ihre Meinung beizutragen, ob der Begriff "Blubdiblub" (bis auf etymologische Feinheiten) dieselbe Berechtigung wie "Primfakultät" als Überschrift für einen Artikel hat, den die englische Schwesterseite http://en.wikipedia.org/wiki/Primorial Primorial nennt.

Es geht nicht um eine Abstimmung, sondern um Belege. Solange Du keine hast, haben wir beide gleich viele.--Gunther 00:44, 26. Jul 2005 (CEST)

Doch, doch. Es könnte ja eventuell belegen, dass du hier, aus irgendwelchen Gründen, an die Grenze deines Verständnisses des Sachverhaltes oder solch einfacher Begriffe wie Übersetzung gestossen bist. Dies könnte dann hier vertane Energien zu konstruktiven Beiträgen auf den Inhaltsseiten umlenken.

Mathematische Fachbegriffe werden nicht einfach 1:1 übersetzt. Und ja, auch ich finde diese Diskussion überflüssig. Lass' Dich nicht davon abhalten, einen Artikel anzulegen, man kann diese Frage auch in einer Löschdiskussion klären, siehe z.B. Wikipedia:Löschkandidaten/15. Juli 2005#Sekundzahl.--Gunther 01:22, 26. Jul 2005 (CEST)

Du könntest Dich übrigens an Arbol01 wenden, der kümmert sich um den entsprechenden Abschnitt in Primzahl, aber IIRC kennt er auch keine deutschsprachige Referenz.--Gunther 02:39, 26. Jul 2005 (CEST)

Wachstum

Gibt es eine Bezeichnung für das Wachstum von Fakultät-Funktionen? --O.tacke 00:11, 12. Jan 2006 (CET)

Glaube ich eher nicht, $(n/\mathrm {e} )^{n+1/2}$ ist doch eher etwas speziell. Kennst Du noch irgendetwas anderes, das vergleichbar wächst?--Gunther 00:37, 12. Jan 2006 (CET)

Es würde (mir) auch für $f(n)=n!$ genügen. Habe kaum Ahnung von Mathematik, aber exponentiell wäre nicht korrekt, oder? --O.tacke 13:14, 12. Jan 2006 (CET)

Nein. Eine asymptotische Formel (d.h. der relative Fehler geht gegen null) steht im Abschnitt "numerische Berechnung".--Gunther 13:19, 12. Jan 2006 (CET)

• Selbstverständlich gibt es die: Die Fakultät ist 'superexponentiell', letzteres ist definiert als O(n^n). -- P.L., 14. April 2006.

Auch Konstanten sind O(n^n), von daher ist das eine ziemlich schwache Aussage.--Gunther 21:50, 17. Apr 2006 (CEST)

NPOV

Hallo, die Behauptung, die Doppelfakultät werde "relativ selten" verwendet, ist Unsinn. In dem entsprechenden Spezialgebiet, der Kombinatorik, ist sie eine sehr geläufige Erscheinung. Sie tritt zum Beispiel in zahlreichen Taylorreihenentwicklungen auf. Ich weiß nicht, wieso man darauf bestehen muß, sie als "relativ selten" zu charakterisieren. Vielen Dank.

Im Vergleich zur Fakultät tritt sie wesentlich seltener in Erscheinung, das wirst Du kaum anzweifeln wollen. An den entsprechenden Stellen ist mir in aller Regel nicht die Bezeichnung $n!!$ begegnet, sondern $2^{k}k!$ (für $n=2k$) bzw. ${\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}$ (für $n=2k-1$).--Gunther 11:23, 1. Mär 2006 (CET)

Auch die Subfakultät tritt im Vergleich zu der wirklich sehr häufigen Fakultät wesentlich seltener auf. Ich denke, das genügt nicht, sie generell als "relativ selten" zu beschreiben. Es ist Geschmackssache, wenn man stattdessen eine Formel schreibt. --80.129.109.59 11:29, 1. Mär 2006 (CET)

Es geht mir um das potentielle Missverständnis, dass alle angegebenen Verallgemeinerungen ähnlich wichtig sind wie die Fakultät. Dass es selbst bei denjenigen, die aktiv an diesen Begriff denken, "Geschmackssache" ist, ob sie ihn tatsächlich verwenden, zeigt doch, dass er weniger wichtig ist. (Darüberhinaus ist die Definition mit Fallunterscheidung hässlich, aber das wäre tatsächlich POV, im Gegensatz zu einer Feststellung, deren objektive Richtigkeit Du ja gar nicht bestreitest.)--Gunther 11:48, 1. Mär 2006 (CET)

Ja, klar ist "Doppelfakultät" sozusagen "weniger wichtig" als "Fakultät". Das wird schon ziemlich deutlich dadurch, dass sie kein eigenes Lemma hat. Wenn Dir das wirklich nicht genügt, dann schreibe es doch auch so wie hier hin, also dass "Doppelfakultät" deutlich seltener als "Fakultät" vorkommt, aber eben nicht generell "selten". Dies könnte nämlich als ein Abraten von dieser Notation missverstanden werden, und das halte ich für nicht neutral. Übrigens ist auch die "Subfakultät" deutlich seltener als die "Fakultät", und die hat sogar ein eigenes Lemma. Man kann sich auch bei "Fakultät" dafür entscheiden, eine Formel statt des Ausrufezeichens zu schreiben, manche tun das auch, zum Beispiel für Nichtmathematiker. Wenn Du eine schönere Definition für die Doppelfakultät weißt, dann schreibe sie doch hin, das ist mir sehr recht. Die Fallunterscheidung wird sich, fürchte ich, nicht vermeiden lassen, ohne neue Komplikationen (zumindest für Nichtfachleute) einzuführen. --80.129.109.59 12:05, 1. Mär 2006 (CET)

Wenn Du auch keine schönere Definition kennst, dann ist wohl der Begriff selbst hässlich... Hab's mal umgeschrieben, ist es so o.k.?--Gunther 12:28, 1. Mär 2006 (CET)

Statt "weniger wichtig" würde ich in einem Lexikonartikel lieber "seltener" lesen, wenn die "Wichtigkeit" nicht thematisiert wird. Die Leser sollen selbst entscheiden dürfen, was sie für wichtig halten. Ansonsten finde ich die weiteren Informationen gut. --80.129.109.59 12:37, 1. Mär 2006 (CET)

Vielen Dank! --80.129.109.59 12:47, 1. Mär 2006 (CET)

Erweiterte Fakultät (extended factorial)

Meines Wissens gibt es neben der Gammafunktion auch so etwas wie eine Erweiterte Fakultät. Bei dieser ist das Ergebnis für alle negativen reelen Zahlen gleich 1 und für alle positiven reelen Zahlen gleich der Fakultät der nächstniedrigeren natürlichen Zahl. Da ich nur Laie auf dem Gebiet bin mag ich dazu aber lieber nichts selbst in den Artikel schreiben. Google hat auch nicht allzuviel zum Thema zu bieten... Trinity Help! ;O) 84.182.188.48 09:33, 25. Mär 2006 (CET)

Du hast Recht!

Der Satz im Artikel

 "Γ(n + 1) = n! für nichtnegative ganze Zahlen n."

ist irreführend. Die Relation

Γ(z + 1) = z! gilt für alle komplexen Zahlen z.

Im Gegenteil: historisch früher war z!, von Gauss als PI(z) geschrieben, bevor ein gewisser Herr Legendre auf die dumme Idee verfiel, die Bezeichnung GAMMA(z) einzuführen. Dazu braucht es auch nicht die Bezeichnung 'erweiterte Fakultät' (obwohl sie nicht falsch ist), aber das ist alles schon seit -etwa- 200 Jahren kalter Kaffee.

Vergleiche dazu auch die Bemerkung auf http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

Der Satz im Artikel:

 " Der im Betriebssystem Windows eingebaute Taschenrechner
 berechnet Fakultäten für alle positiven reellen Zahlen,
 was mathematisch falsch ist."

ist *grober Unfug* und sollte sofort gelöscht werden. Hier wird ein Mangel an mathematischen und historischen Wissen durch einen Seitenhieb gegen Bill ersetzt.

Habe ich rausgemacht, selbst wenn es falsch wäre gehörte das irgendwie nicht in den Artikel. Matumio 14:18, 27. Mär 2006 (CEST)

Ja sorry, den Satz hab ich 'verbrochen', war aber nicht als grober Unfug gedacht: Wenn ich in meinen Taschenrechnern 3,5! eintippe bin ich es halt gewöhnt, dass der mir sagt: Das geht so nicht. Aber ich sag ja ich bin Laie. Jetzt passt es ja dann aber wieder alles und ich halt mich aus dem Artikel mal sicherheitshalber künftig raus.... ;O) 84.182.163.109 16:28, 28. Mär 2006 (CEST)

„Handelsübliche Taschenrechner“

Ohne eine Diskussion über die konkrete Bedeutung dieses Begriffs beginnen zu wollen: ich habe keine Lust, die 493 Stellen abzutippen, die ein HP49g+ für 250! in ca. 1,14s liefert. Oder die 1135, die in ca. 5,7s für 500! ausgeworfen werden. 84.151.231.232 02:57, 7. Sep 2006 (CEST)

Fehlerbeseitigung und Aktualisierung der Weblinks

1.) Unter Weblinks findet sich ein Link auf eine externe Datei (1,5MB gross) mit den Werten 0!, ..., 999!. Dies ist durchaus sinnvoll, da ausserhalb spezieller Programme Gleitpunktdarstellung vorherrscht.

Nun gibt es aber eine Webseite, wo man online die Werte 0!, .., 100.000! berechnen kann. Aus drei Gründen: geringerer Datantransfer, höhere Leistung und der Verzicht auf die Installation eines Programmes, empfehle ich den Link auf die Datei auszutauschen, duch den Link auf: [1]

2.) Ferner ist (wg.n=0) die Definition (n!=n(n-1)*..*1) falsch, aber die Darstellung als Produkt in der zweiten Zeile ist richtig.

3.) Im Text steht: "...n der abzählenden Kombinatorik spielen Fakultäten eine wichtige Rolle, weil n! als die Zahl der Möglichkeiten interpretiert werden kann, n Gegenstände in einer Reihe anzuordnen...". Sehr umgangssprachlich. Besser wäre:

SATZ: Die Anzahl der möglichen Anordnungen einer n-elementigen Menge (A1,..,An) ist gleich n!

mfg -- 81.173.233.58 20:14, 26. Sep 2006 (CEST)

1.) Es gibt kostenlose Computeralgebrasysteme. 2.) Dass 0!=1 ist, steht extra nochmal da. Auslassungspunkte erfordern immer ein bisschen Zusatzinterpretation für kleine n. 3.) Sehe keinen Mehrwert.--Gunther 22:41, 26. Sep 2006 (CEST)

>1: Ist der Link auf die Fakultäts-Datei überflüssig, weil es kostenlose Computeralgebrasysteme gibt? Dann kann man ihn löschen. Ist er nicht überflüssig, wo ist Dein Argument gegen den Austausch? >2 Mir ist das schon klar. Da soll sich die Definition aus den Beispielen erklären. Du weisst sicher, das muss man aber gar nicht so machen.

          n! =: Produktsymbol = ( n(n-1)*..*1, falls n>0
                                ( 1, falls n=0. 

braucht auch nur 2 Zeilen, ist Fehlerfrei, keine Zusatzinterpretation nötig. -- 81.173.177.8 10:28, 27. Sep 2006 (CEST)

ad 1: Dass es freie CAS gibt, bedeutet, dass wir keine Weblinks auf Tabellenwerke oder Programme brauchen (sie fallen ohnehin beide nicht unter "weiterführende Information"). ad 2: In dieser Form ist das unnötig abschreckend. Die Erklärung mit dem "leeren Produkt" habe ich rausgeworfen, das ist ja nur die halbe Wahrheit, denn leere Produkte $\prod _{k=m}^{n}$ mit $m>n+1$ sind ja auch leer, aber undefiniert.--Gunther 10:47, 27. Sep 2006 (CEST)

Müsste es nicht aber dennoch

$0!:=1$

statt

$0!=1$

heißen? -- zOiDberg (δ·β) 16:44, 27. Sep 2006 (CEST)

Nein. Dafür gibt es die Überschrift "Definition".--Gunther 16:48, 27. Sep 2006 (CEST)

Ja und? Da könnte auch Hurz stehen. Das ist doch nur der Titel dieses Abschnitts. IMHO sollten beide Definitionen auch als solche ausgezeichnet werden. So wie es da steht könnte man das sogar als Widerspruch auffassen. -- zOiDberg (δ·β) 17:16, 27. Sep 2006 (CEST)

Die Doppelpunktschreibweise ist etwas für die Tafel oder notfalls für irgendwelche Anfängerlehrbücher. Gut geschriebene mathematische Texte vermeiden so etwas und verwenden stattdessen Fließtext.--Gunther 17:22, 27. Sep 2006 (CEST)

Tatsächlich? Also wäre „Die Fakultät von Null ist definiert als Eins.“ Deiner Meinung schöner als „0! := 1“. Verstehe ich das richtig? -- zOiDberg (δ·β) 17:35, 27. Sep 2006 (CEST)

Nein, es geht um den richtigen Mittelweg.--Gunther 17:40, 27. Sep 2006 (CEST)

Naja was solls, passt schon. -- zOiDberg (δ·β) 18:12, 27. Sep 2006 (CEST)

(i) Zum Artikel: Die aktuelle Definition finde ich so gut lesbar und trotzdem richtig. (ii) Zu dieser Diskussion: Leider mangelt es mir an Verständnis von: "denn leere Produkte $\prod _{k=m}^{n}$ mit $m>n+1$ sind ja auch leer, aber undefiniert". Ich sehe das so: a) Ein logisches Argument: der Begriff 'leeres Produkt' existiert. Ein Produkt ist somit ein leeres Produkt, wenn es als solches definiert wurde. Ist das von Dir angegebene Produkt leer, ist es so definiert. Ist es nicht so definiert, ist es kein leeres Produkt. Es kann daher nicht leer und undefiniert sein. b) Ein historisches Argument: das Produkt $\prod _{k=m}^{n}\ a_{k}=1$ mit $m>n$ ist durchaus definiert, insbesondere für den von Dir beschriebenen Fall m>n+1. Ein von Dir dargestelltes Produkt $\prod _{k=m}^{n}$ ohne Argument kenne ich nicht. -- 84.44.131.241 23:30, 27. Sep 2006 (CEST)

Siehe Summe#Ausgeartete Summen oder z.B. hier (PDF). Es soll eben stets

$a_{n}\cdot \prod _{k=m}^{n-1}a_{k}=\prod _{k=m}^{n}a_{k}$

gelten, aber das funktioniert für $n<m$ nicht mehr, deshalb lässt man die "noch leereren" Produkte undefiniert. Anders sieht das natürlich bei Indizierungen der Art $\prod _{i\in I}a_{i}$ aus, da spielt so etwas keine Rolle.--Gunther 13:06, 28. Sep 2006 (CEST)

(Beitrag zur Diskussion von Summe oder Produkt (Mathematik)) Kann man, wenn man will, auch "kanonisch" definieren:

$\prod _{k=m}^{n}a_{k}=1/\prod _{k=n+1}^{m-1}a_{k}$ als Spezialfall von $\prod _{f}a_{k}=\prod _{i\in I}a_{i}^{f(i)}$ für $f:I\to \mathbb {Z}$ --80.129.95.224 14:34, 28. Sep 2006 (CEST)

Kann man natürlich machen, habe ich aber noch nie so gesehen, ohne Erklärung wird das kaum jemand so interpretieren. Es gibt in der Tat Autoren, die $\prod _{m}^{n}=1$ für beliebige $n<m$ setzen (z.B. Heuser), halte ich aber aus den o.g. Gründen nicht für empfehlenswert. Ich kann mich aber ohnehin nicht erinnern, schon einmal eine Situation gesehen zu haben, in der man $n<m-1$ betrachten möchte.--Gunther 14:55, 28. Sep 2006 (CEST)

Wir müssen dies nicht weiter diskutieren, weil es für den Verlauf des Artikels unwichtig ist. Ich kann damit leben, das Du Dich auf andere Quellen berufst. Jeder Prof. macht das für Ana I eben anders. Sollen die Profs das untereinander klären. -- 213.196.228.109 15:06, 28. Sep 2006 (CEST)

Null

Einigen Lesern wird sich bestimmt die Frage stellen, wieso 0 != 1 sein sollte. Es steht offenbar im Widerspruch zum intuitiven Verständnis und zur gegebenen Definition. Die englischsprachige Wikipedia verweist dazu explizit auf die Konvention zum Leeren Produkt (https://de.wikipedia.org/wiki/Leeres_Produkt). Ich fände es gut, dies auch auf Deutsch gut sichtbar anzuführen. JB. --92.195.43.63 04:44, 8. Apr. 2022 (CEST)

stimmt, ebenso wie 1! = 1, könnte man als math. Laie auch denken das sei 0 x 1 = 0.... mE wird hier alles viel zu wenig allgemeinverständlich erklärt, anstatt mit einfachen nachvollziehbaren Beispielen, zB : 4! = 1x2x3x4 = 24--178.7.172.208 23:13, 9. Mai 2023 (CEST)

Notation Doppel- u. Multifakultäten

In der Einleitung wird die Fakultät als Funktion bezeichnet, welche .... und zur verkürzten Notation steht: "Sie wird durch ein dem Funktionsargument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt." - das Funktionsargument muss, ähnlich wie bei der Notation von Exponenten, nicht extra in Klammern gesetzt werden, sofern der Bezug eindeutig ist. Das würde bedeuten, wenn hinter einem Ausdruck ein Ausrufezeichen steht, soll auf diesen Ausdruck die 'Fakultäts-Funktion' angewandt werden. Eine 'intuitive Interpretation' von n!! wäre dann wohl eher (n!)! - bei Multifakultäten entsprechend. Ob diese Interpretation mathematisch von Nutzen wäre, mag fragwürdig sein - dass die tatsächliche Definition der "seltener verwendete Doppelfakultät" der Notation irgendwie entgegensteht, sollte aber nachvollziehbar sein. Nun soll das hier ja "kein Forum für neue Ideen, kein Nachrichtenportal, ..." sein, weshalb ich auch keine Notations-Alternative vorschlage, sondern die Eignung der Beschreibung in der Einleitung hinterfragen möchte. --Piusbmaier (Diskussion) 23:15, 26. Apr. 2023 (CEST)

Relevante Inhalte für diesen Artikel

Meines Erachtesn gehören einige der Inhalte dieses Artikels nicht in diesen Artikel, z. B.

• das Beispiel mit den farbigen Murmeln
• Das Geburtstagsproblem
• Die konkreten Taylorreihen

Das Murmelbeispiel und das Geburtstagsproblem gehören eher zum Artikel "Kombinatorik" oder "Wahrscheinlichkeitsrechnung". Die konkreten Taylorreihen gehören zu den Artikeln der entsprechenden Funktionen. Was allerdings hierhier gehört, ist der Hinweis, dass die Fakultät bei höheren Ableitungen von Polynomen auftaucht und als Folge daraus auch in der Taylorformel. Der Ansatz, einfach Formeln hier reinzupacken, in denen die Fakultät vorkommt, überzeugt mich nicht. Nach dieser Logik könnte man auch alle Formeln dieses Artikels in den Artikel Multiplikation packen, da in jeder Formel multipliziert wird. Dann könnte man aber auch "E=mc^2" und die Eulersche Formel in dem Multiplikationsartikel aufnehmen, denn da wird ja auch multipliziert. Oder die Formel der Substitutions- und Kettenregel. Oder was einem sonst noch einfällt, wo irgendwo in einer Formel Ausdrücke multiplikativ verknüpft sind. Dieser Artikel ist leider nur ein weiteres Beispiel dafür, wie Mathematik-Artikel mit Formeln und Inhalten überfrachtet werden; ich vermute mehr den Geltungsdrang von Autoren dahinter als das Bemühen, die Artikel verständlicher und leserlicher zu machen.

Mein Vorschlag: Die oben genannten Beispiele rausnehmen bzw. verschieben und durch niedrigschwelligere Beispiele ersetzen, wo Fakultäten auftauchen. --Mathze (Diskussion) 16:48, 27. Apr. 2024 (CEST)

Ich habe die erwähnten Punkte aus diesem Artikel rausgenommen. Anstatt dessen werde ich demnächst als Anwedungen die Determinanten und höhere Ableitungen von Monomen einfügen --Mathze (Diskussion) 16:04, 17. Mai 2024 (CEST)