Diskussion:Fréchet-Ableitung

In anderen Worten

In anderen Worten könnte man also sagen, dass

Die totale Ableitung (oder Fréchet-Ableitung) Existiert und ist gleich dem Gradient von f von a ($\mathbf {\nabla f(a)}$) wenn $\lim _{h\to 0}{{f(\mathbf {a+h} )-f(\mathbf {a} )-\langle \mathbf {\nabla f(\mathbf {a} )} ,\mathbf {h} \rangle } \over \|\mathbf {h} \|}=0$.

Idee

$f(\mathbf {a+h} )=f(\mathbf {a} )+\langle \mathbf {\nabla f(\mathbf {a} )} ,\mathbf {h} \rangle +r(\mathbf {h} )$

Zum Beispiel in R² ist $f(a+h)$, mit h einer sehr kleinen Zahl, gleich der Summe von:

• $f(a)$
• $g(h)$ où $g(x)={\frac {df}{dx}}(a)*x$ (Gerade mit Steigung der Tangente am Punkt $(a,f(a))\,$)
• Rest $r(h)$ der nur von h abhängt

Also $r(\mathbf {h} )=f(\mathbf {a+h} )-f(\mathbf {a} )-\langle \mathbf {\nabla f(\mathbf {a} )} ,\mathbf {h} \rangle$ (Analyse pour ingénieurs - semestre 2, Prof. C.A.Stuart, Lausanne, p. 25)

Was meint ihr dazu? Danke für eure Antworten!

--  Saippuakauppias ⇄ 22:42, 27. Apr. 2008 (CEST)

Die Frechet-Ableitung erweitert die übliche Ableitung und ist die übliche Ableitung, wenn der eine normierte Vektorraum R^2 ist und das Bild in R liegt. Und dementsprechend ist auch die übliche Ableitung in diesem Fall (fast) die Frechet-Ableitung. Was man nur noch beachten muss ist, dass Frechet-Ableitungen eine lineare Abbildungen sind. In Deinem Fall (in dem der Gradient existiert) ist also $\langle \mathbf {\nabla f(\mathbf {a} )} ,\cdot \rangle :R^{2}\to R^{1}$ die Frechet-Ableitung. -- JanCK 00:10, 28. Apr. 2008 (CEST)

Hm, ich habe gerade nochmal den Artikel überflogen. Im Abschnitt Reellwertige Funktionen steht das mit dem Gradient doch schon. -- JanCK 10:01, 29. Apr. 2008 (CEST)