Diskussion:Freies Produkt

Andere Konstruktion in "Algebra", Guisbert Wüstholz, p.60-62Noix07 (Diskussion) 19:07, 4. Aug. 2014 (CEST)

Konstruktion

$I$ ist nicht $\{i_{1},...\}$. Das jeweilige Wort bringt $i_{1},...,i_{k}\in I$ selber mit. Es müsste ungefähr so anfangen, wenn man die Variante mit Paaren als Buchstaben der Wörter nimmt:

Ist eine Familie von Gruppen $(G_{i})_{i\in I}$ gegeben, so besteht das freie Produkt $\mathop {*} _{i\in I}G_{i}$ aus endlichen Worten $(i_{1},g_{1})...(i_{k},g_{k})$, wobei $k\in \mathbb {N}$ und für alle $j\in \{1,\dots ,k\}$ gilt $i_{j}\in I$ und $g_{j}\in G_{i_{j}}$.

Die Elemente von $\mathop {*} _{i\in I}G_{i}$ sind nun alle reduzierten Worte. Ein Wort $\alpha$ heißt dabei reduziert, wenn folgendes gilt:

• Es gibt kein Teilwort von $\alpha$ der Form $(i,g)(i,h)$, und
• es gibt kein $(i,1)$ in $\alpha$.

vielleicht mit der Bemerkung (oder gleich Verwendung einer solchen Notation):

Denkt man sich die Gruppenverknüpfungen additiv, also mit $0$ und $+$ geschrieben (ohne dabei zwingend davon auszugehen, dass die Gruppen abelsch sind), kann man ein solches Wort als formales Produkt von formalen Potenzen auffassen, wobei die Basen aus $I$ und die Exponenten aus der zur jeweiligen Basis gehörenden Gruppe stammen. Ein solches formales Produkt ist reduziert, wenn kein Faktor mit dem Exponenten 0 vorkommt und keine Vereinfachung per Potenzgesetz $i^{g}i^{h}\rightsquigarrow i^{g+h}$ möglich ist.

--Daniel5Ko (Diskussion) 22:14, 21. Sep. 2023 (CEST)

So, mal etwas umgesetzt. Habe dabei ein Beispiel gelöscht, bei dem ich nicht die Nerven hatte, darüber nachzudenken. Gerne wieder einfügen. --Daniel5Ko (Diskussion) 00:08, 22. Sep. 2023 (CEST)