Diskussion:Gauß-Quadratur

Numerische Werte - Internetlink

Sollte jemand eine Seite kennen, auf der die numerischen Werte gesammelt sind, wäre es sinnvoll, diese anzugeben.

Google hat verraten, dass die Zahlen von dieser Seite kommen: [[1]] --Christian1985 13:55, 19. Jun. 2008 (CEST)

Optimale Ordnung

Vielleicht sollte noch erklärt werden, was "optimale Ordnung" bedeutet? Sonst finde ich den Artikel sehr gelungen!

--- 19:56, 16. Juni 2006, Martinpie

Optimale Ordnung: Es existiert kein Quadraturverfahren mit gleicher Anzahl von Stützstellen, dass Polynome höheren Grades

exakt optimiert. Hab das mal dem Artikel hinzugefügt.

Gauß - Lobatte - Quadratur

Dies ist ein Quadraturvefahren mit der Exaktheit von 2n-1 wie alle anderen Gaußquadraturen und hat die Gewichtsfunktion $\omega =(x-a)(b-x)$, über welche man die Orthogonalpolynome berechnen muss. Jedoch ist die Quadratursummenformel leicht anders als bei den anderen üblichen Quadraturformeln von Gauß. Ich fände diese hier noch erwähnenswert, denn man kann bei dieser ohne Transformation auf [a,b] integrieren. Allerdings ist die Gauß-Legrende-Quadratur mit Transformation die die häufiger benutzte. Vielleicht mache ich das die Tage noch. --Christian1985 23:00, 18. Sep. 2007 (CEST)

Beispiel

Ein Beispiel wäre doch auch nicht schlecht, oder?

Gewichte

Meiner Meinung nach fehlt bei den Gewichten w_i im Integrand die Gewichtsfunktion w(x), die erst im Falle der Gauß-Legendre-Integration 1 wird (siehe Bronstein).

Wo meinst du fehlt w(x)? --Christian1985 16:14, 23. Sep. 2008 (CEST)

Bei 'Für die Gewichte gilt: ...' sollte es meiner Meinung nach so aussehen: w_i = int_a^b w(x) Produkt(x-x_j)... . Ich meine, man bekommt die Koeffizienten w_i durch Integrieren der Gewichtungsfunktion w(x) multipliziert mit den Lagrange-Polynomen (Produkt). -- Stefan

Die Gewichtsfunktion fehlt definitiv! Hab' mir bei den letzten Übungen deswegen schon fast die Haare vom Kopf gerissen... -Puchi

Gewichte müssen überprüft werden

Für die Gewichte der Gauß-Legendre-Quadraturformel gilt die Partition der Eins, daran erkennt man das diese Gewichte, wie sie angegeben sind, nicht korrekt seien können. Ich habe es nicht im Detail überprüft, aber mir scheint, als wäre nur der Normierungsfaktor 1/Intervalllänge, also 1/2 vergessen worden. --[[Benutzer:Riesland] 16:12, 16. Jun2011 (CEST)] (ohne Benutzername signierter Beitrag von 88.73.138.229 (Diskussion) )

Das ist etwas verwirrend dargestellt. Bei dieser Definition der Gewichte muss ihre Summe gleich der Intervalllänge, als in diesem Fall 2 sein. -- Fritz Bierbaum 19:15, 14. Aug. 2011 (CEST)

Ich habe das Gefühl, dass die alpha_i der Tschebytscheff-Gauß Integration nicht pi/n sondern 2*sin(pi/(2*n)) sein müssen. V4len (Diskussion) 11:27, 5. Mai 2016 (CEST)

Eigenschaften

Im Abschnitt Eigenschaften heisst es: "... vom Grad n genau den Nullstellen des n-ten orthogonalen Polynoms Pn vom Grad n entsprechen." Das kommt mir ziemlich merkwürdig vor. Ein Polynom kann von sich aus nicht othogonal sein. Und dennoch, jedes Polynom kann gesehen werden als Mitglied eins Systems orthogonaler Polynomen mit geschickt gewählter Normierung. Madyno (Diskussion) 18:10, 15. Jan. 2018 (CET)

Trick für gerade Funktionen

Will man von 0 bis a über eine gerade Funktion integrieren (z.B. mit Gauss-Legendre), dann wählt man am besten als Integrationsintervall $[-a,a]$. Die Stützstellen liegen dann symmetrisch zu $x=0$, und man muss nur an den Stützstellen $x_{i}\geq 0$ auswerten. Vorteil: Die gewünschte Genauigkeit kann mit weniger Auswertungspunkten erreicht werden. Das funktioniert aber nur, wenn die Funktion auch bei $x=0$ genügend oft stetig diffbar ist. Man kann nicht einfach eine beliebige Funktion an der y-Achse spiegeln.
Gibt es auch einen vergleichbaren Trick für periodische Funktionen: $\exists a\in \mathbb {R} ^{+}\forall x\in \mathbb {R} :f(x)=f(x+a)$?--Megatherium (Diskussion) 12:00, 22. Jul. 2019 (CEST)

Quadratur

Ich verstehe nicht warum man die Funktion "aufteilen" soll wie $f(x)=w(x)\cdot \Phi (x)$. Die Gedanke beim Quadratur ist die Integral als Summe anzunähern:

$\int _{a}^{b}f(x)\,{\rm {d}}x\approx \sum _{k=1}^{n}w_{k}\,f(x_{k})$

und dann $f$ anzunähern mittels einem System orthogonaler Polynomen. Madyno (Diskussion) 00:17, 18. Okt. 2020 (CEST)

Die Definition ergibt sowieso keinen Sinn, wenn f beliebig ist. Dann lässt sich f so wählen, dass mindestens eine stelle x existiert, an der w(x) = 0 und f(x) ungleich null. Dann würde folgen phi(x) = f(x)/ w(x) = f(x)/0 . --2.203.154.136 11:25, 9. Jul. 2023 (CEST)

Fehler

Auf dem ersten Blick kommt mir die Formel für den Fehler

$\varepsilon (n)={\frac {f^{(2n)}(\xi )}{(2n)!}}\langle P_{n},P_{n}\rangle _{w}$ für ein $\xi \in (a,b)$

etwas merkwürdig vor, denn warum soltte den Fehler abhängig sein vom Betrag der "höchste" Polynome?

Ich glaube die Formel stimmt nur dann, wenn $P_{n}(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots$, also wenn sie monisch ist. Madyno (Diskussion) 17:20, 22. Okt. 2020 (CEST)

Beispiel Bild der einfachsten Konstruktion

Wäre sicher hilfreich :) biggerj1 (Diskussion) 21:48, 8. Okt. 2024 (CEST)

Eventuell ist das hier ja eine nützliche Vorlage:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt def f(x): """Function to be integrated.""" return np.exp(-x**2) # Define the higher-order Gauss-Legendre quadrature nodes and weights nodes_higher = np.array([-np.sqrt(3 / 5), 0, np.sqrt(3 / 5)]) weights_higher = np.array([5 / 9, 8 / 9, 5 / 9]) # Generate x values for plotting x = np.linspace(-2, 2, 1000) # Adjust the range for better visualization # Fit a second-degree polynomial to the function at the quadrature nodes coeffs_higher = np.polyfit(nodes_higher, f(nodes_higher), deg=2) poly_higher = np.poly1d(coeffs_higher) # Calculate the function values y = f(x) y_poly_higher = poly_higher(x) # Create the plot plt.figure(figsize=(8, 5)) # Plot the original function plt.plot(x, y, label=r'$f(x) = e^{-x^2}$', color='blue') # Plot the higher-order polynomial fit plt.plot(x, y_poly_higher, label='Higher Order Quadrature Polynomial', color='green', linestyle='--') # Highlight the quadrature nodes plt.scatter(nodes_higher, f(nodes_higher), color='red', zorder=5, label='Higher Order Quadrature Points') # Add annotations for the nodes for i in range(len(nodes_higher)): plt.text(nodes_higher[i], f(nodes_higher)[i] + 0.05, f"Point {i+1}", ha='center') # Fill the area under the higher-order polynomial (optional for visualization) plt.fill_between(x, y_poly_higher, color='green', alpha=0.3) # Add labels and title plt.title('Gauss Quadrature: Higher Order Surrogate Polynomial') plt.xlabel('x') plt.ylabel(r'$f(x)$') plt.axhline(0, color='black', linewidth=1) plt.axvline(0, color='black', linewidth=1) # Add legend plt.legend() # Show the plot plt.grid(True) plt.show() : --biggerj1 (Diskussion) 00:48, 9. Okt. 2024 (CEST)