Diskussion:Gaußsches Eliminationsverfahren

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Stabilitätseigenschaften

Mir scheint die Frage nach Rundsfehlern bzw. der Stabilität nicht von extrem großer Bedeutung. Weshalb das Gaußsches Eliminationsverfahren hier besonders schlecht sein sollte, kann ich nicht nachvollziehen. Es sollte aber möglich sein dieses "Problem" in den Griff zu bekommen. Dazu sollte es genügen auf Divisionen zu verzichten. Dazu können die Zeilen durch geeigente Multiplikation auf das KgV ganzer Zahlen gebracht werden.

Benutzer:Fsswsb 02.05.06

Bitte sieh in diesem Artikel von Änderungen ab, wenn du die Sache nicht überblickst. Zum Einstieg solltest du ein Numerik-Buch lesen. Obiger Kommentar zeigt, dass du dich noch nicht mit den numerischen Eigenschaften beschäftigt hast. Das Gaußsche Eliminationsverfahren arbeitet per Definition mit Divisionen. Deine Ideen mögen vielleicht interessant sein. Doch wenn du diese publizieren möchtest, so benutze eine eigene Homepage oder in der Not auch deine Benutzerseite. Damit ersparst du uns, die hier korrekte, wissenschaftlich fundierte Artikel schreiben viel Arbeit. --Squizzz 13:21, 2. Mai 2006 (CEST)

Lass dich nicht abschrecken, jeder gut gemeinte Ratschlag ist willkommen. Das Problem wird bei größeren Gleichungssystemen, die mit dem Computer gelöst werden sollen wichtig. (P.S. unterschreiben kannst du mit ~~~~. --G 23:09, 2. Mai 2006 (CEST)

Also den ersten Satz in diesem Absatz darf man so nicht stehenlassen:
Bei diagonaldominanten oder positiv definiten Matrizen (siehe auch Cholesky-Zerlegung) ist das Verfahren ohne Pivotisierung durchführbar und stabil.

Hilbert-Matrizen sind positiv definit, müssten also nach diesem Wortlaut immer so berechenbar sein. Sie sind aber als besonders schlecht konditioniert konstruiert und verhindern genau dieses. (Wir wurden in einer Übung zur Vorlesung aufgefordert, damit die numerischen Grenzen unseres Uni-Rechners auszuloten: Ab n=14 ging es in die Hose. Bei O(n³) Multiplikationen (bzw. Divisionen) ist das nicht überraschend.) Also ist die Aussage des ersten Satzes so absolut falsch. Man muss ihn einschränken, z. B. so, wie ich es vorgeschlagen habe. Sonst ist hier was oberfaul. --PeterFrankfurt 22:40, 4. Jun. 2007 (CEST)

Wenn die Einschränkung jetzt wieder rausgenommen wurde, sieht es so aus, als wenn ungeachtet der Kondition alle positiv definiten Matrizen per einfachem Gauß lösbar seien. Man kann es so lesen: Erst wird korrekt die Kondition erläutert, dann nach einem Absatz blank ohne Einschränkung konstatiert: (Aber) bei positiv definiten Matrizen klappt es immer. Also bitte umformulieren, sonst ist es wieder eklig missverständlich. Macht es selber, wenn Ihr Euch vor meinen Änderungen graut, aber macht es. --PeterFrankfurt 21:07, 6. Jun. 2007 (CEST)

Stabilität bedeutet eben nicht das es immer klappt und es kann imho nicht Aufgabe diese Artikels sein lang und breit Stabilität zu erläutern. Man könnte hier noch über die Verwendung des Wörtchens "durchführbar" philosophieren. Man kann das aber auch bleiben lassen. Grüße --Mathemaduenn 09:27, 8. Jun. 2007 (CEST)

Ich guck mal nächste Woche, was sich machen lässt. Zum Artikel gehört ja eigentlich auch eine skizzierung der alternativen und da gehört das Thema irgendwie schon rein. --P. Birken 21:24, 9. Jun. 2007 (CEST)

"Gauß'sches Eliminationsverfahren" — Schreibweise mit oder ohne Apostroph

Wieso gibt es eigentlich ein Apostroph in dieser Bezeichnung? Es wird ja nichts weggelassen. --zeno 11:35, 15. Dez 2003 (CET)

Ist auch falsch - "Gauß' Eliminationsverfahren" und "Gaußsches Eliminationsverfahren" ist richtig. Hab's mal geändert... --Reinhard 11:43, 15. Dez 2003 (CET)

http://www.duden.de/neue_rechtschreibung/regelwerk/gross_06.html Antwort gibt §62. Ich frage mich aber, ob wir hier nicht eine Einheitlichkeit einführen sollten. (Mir persönlich gefällt das Apostroph nicht). 82.82.126.246 11:48, 15. Dez 2003 (CET)

Ergänzung: Falsch ist es m. E. nicht! 82.82.126.246 11:49, 15. Dez 2003 (CET)

Wenn, dann ist das ja wohl §97:

Von dem Apostroph als Auslassungszeichen zu unterscheiden ist der gelegentliche Gebrauch dieses Zeichens zur Verdeutlichung der Grundform eines Personennamens vor der Genitivendung -s oder vor dem Adjektivsuffix -sch

Da gibt es bei Gauß aber eigentlich nichts zu verdeutlichen, denn er kann ja weder "Gaußs", noch "Gaußsch" heissen. Ausserdem heißt "gelegentlicher Gebrauch" nicht, dass das die bevorzugte Schreibweise ist - der Duden hält sich da mittlerweile bedeckt (vermutlich von der grassierenden Apostrophitis eingeschüchtert), der Wahrig ist da direkter und läßt die Schreibweise nicht zu. (Etwas anderes ist wie gesagt das Apostroph im Genitiv, "Gauß' Eliminationsverfahren" an Stelle von "Gaußens Eliminationsverfahren"). --Reinhard 13:22, 15. Dez 2003 (CET)

>Das Österreichische Wörterbuch sagt, dass Ableitungen mit -sche entweder groß und mit Apostroph oder klein und >ohne geschrieben werden können. Also entweder gaußsches Eliminationsverfahren oder Gauß'sches >Eliminationsverfahren. Da hier eindeutig großgeschrieben wird, ist die Schreibung mit Apostroph angebracht. Ich >korrigiere das einmal.

Hey, Österreich, bitte, ey!! Wenn dann nur mit eindeutiger Paragraphenangaben und in der österreichischen Wikipedia! (zurückkorrigiert)-- Kommentar von anonymen benutzer am 9.2.2005 (hinzugefügt G 22:45, 9. Feb 2005 (CET))

Ich glaub dem österr. Wörterbuch und hab das Apostroph wieder eingefügt.--G 22:45, 9. Feb 2005 (CET)

Der Dudenband "Richtiges und gutes Deutsch" beantwortet die Frage eindeutig: "Gauß: Das zum Namen des Mathematikers Gauß gebildete Adjektiv auf -sch wird in neuer Rechtschreibung nicht mehr ohne Apostroph und großgeschrieben; vielmehr schreibt man entweder klein ohne Apostroph gaußsches Prinzip oder groß mit Apostroph, um den Namen hervorzuheben Gauß'sches Prinzip. Wenn in einer Schrift kein ß vorhanden ist, schreibt man gausssches oder Gauss'sches Prinzip. (c) Dudenverlag 1998"

Die Elimination der Koeffizienten, die als vorwärtselimination bezeichnet wird, kann man auch rückwärts betreiben - was meiner Meinung nach - zumindest wenn der Mensch rechnet - weiterhin zu enormen Geschwindigkeitsvorteilen führen dürfte. Abgesehen davon: Man kann eigentlich jeweils eine Spalte wie einen Bruch auf einen gemeinsamen Wert bringen (die anderen Spalten müssen also entsprechend angepasst werden). Auf diese Weise kann man Vorwärts- und Rückwärts Elimination eigentlich gleich in einem Schritt erledigen. (Hat das vor mir eigentlich auch schon jemand entdeckt?) --Bodo Thiesen 0:56, 16. Dez 2003 (CET)

Eher eine nebensächliche Frage und auch nur am Rande der Schreibweisen-Diskussion: Was bedeutet das "U" in "LU-Zerlegung? Bei dem Synonym "LR-Zerlegung" ist das ja klar, also Links/Rechts-Matrix. Im Englischen "left" und "right" - das erklärt das auch nicht. Steht LU vielleicht für eine Person, die das weiterentwickelt hat oder so? Grüße, C.Reitz

Steht im Artikel: LU kommt von Lower-Upper. Viele Grüße --P. Birken 20:37, 8. Jul. 2008 (CEST)

Lösbarkeitsaussagen sind nicht korrekt

Die Aussage über die Lösbarkeit des Systems (befindet sich im Beispiel) stimmt so nur für den Fall, dass gleich viele Unbekannte und Gleichungen vorliegen. Der Hinweis von Bodo ist auch korrekt. Man spart viel Arbeit (zumindest bei großen Systemen), wenn man "Bodos" zweiten Schritt nutzt. --HolgerK 11:25, 1. Sep 2004 (CEST)

Nicht hierher schreiben, sondern einfach den Artikel korrigieren! --G 12:24, 1. Sep 2004 (CEST)

So etwas hatte ich schon erwartet. Allerdings sind die zwei Änderungen dann derzeit doch zuviel für mich (und meine Zeit). Vielleicht komme ich in endlicher Zeit dazu...--HolgerK 14:51, 1. Sep 2004 (CEST)

Du kannst auch kleine Schritte machen. Ansonsten lass dir ruhig Zeit.--G 14:54, 1. Sep 2004 (CEST)

Also: Wenn eine einzige Null in der Diagonale steht und rechts steht in derselben Zeile eine Null, dann gibt es in der Tat unendlich viele Lösungen. Und wenn die letzten zwei Diagonalelemente null sind und entsprechend die letzten zwei Einträge rechts null, soll das plötzlich nicht mehr gelten? --PeterFrankfurt 23:24, 24. Jun. 2007 (CEST)

Und was ist, wenn da keine Null steht? --P. Birken 23:36, 24. Jun. 2007 (CEST)

Dann ist es nicht lösbar, wie bei einer einzigen Null links und einer Nichtnull rechts. Wenn aber links zwei Nullen stehen und rechts in den selben Zeilen auch zwei, dann haben wir wieder eine unendliche Menge Lösungen (diesmal wohl statt einer Geraden eine Hyperfläche im Hyperraum der n Dimensionen), denke ich doch. Und bei drei oder mehr Nullen entsprechend. Deswegen kam in meiner Formulierung ja auch dieses entsprechend vor. Soll daran was falsch sein? Das würde mich jetzt wundern. --PeterFrankfurt 20:43, 25. Jun. 2007 (CEST)

Ja, wunderbar, die neue Formulierung lässt keine Wünsche offen. --PeterFrankfurt 02:17, 28. Jun. 2007 (CEST)

Komplexität

Woher kommt die Aussage über die Komplexität? Nach meiner Rechnung benötigt der Algorithmus höchstens n² viele Operationen, aber vielleicht habe ich einen Fehler gemacht. Übrigens ist die Formulierung "Die Komplexitätsklasse des Gaußschen Eliminationsverfahrens ist O(n³)" nicht ganz präzise. Die O-Notation gibt eine obere Schranke für das asymptotische Verhalten an, sie *ist* nicht die Komplexitätsklasse. Auch die Erklärung über Proportionalität ist so leider nicht ganz korrekt. -- ni_ka_ro 22:42, 3. Mai 2005 (CEST)

Durch den Pseudocode dürfte die Laufzeit von O(n³) nun klar sein. Man vergisst häufig die Zeit, die benötigt wird, um zwei Zeilen zu addieren. Komplexitätsklasse habe ich durch Zeitkomplexität ersetzt. --Squizzz 01:38, 4. Mai 2005 (CEST)

OK, die Laufzeit ist O(n³), wenn man arithmetische Operationen betrachtet. Die Anzahl der Zeilenoperation ist quadratisch. Danke für den Hinweis und den hinzugefügten Algorithmus!

Mit dem Begriff "Zeitkomplexität" bin ich allerdings noch immer nicht ganz zufrieden ;-) Die Komplexitätsklasse bzw. die "Zeitkomplexität" bezieht sich auf das Problem, also hier das Lösen eines Gleichungssystems, während das Gaußsche Eliminationsverfahren ein Verfahren bzw. Algorithmus ist. Wie wäre es mit

"Die Laufzeit des Algorithmus, der das Gaußsche Eliminationsverfahren durchführt, ist kubisch, d.h. die Anzahl arithmetischer Operationen ist bei einer nxn-Matrix durch O(n³) beschränkt."

Sorry für die Haarspalterei... -- ni_ka_ro 20:49, 4. Mai 2005 (CEST)

Da gibt's nichts zu entschuldigen. Deine Einwände sind korrekt und ich habe sie auch gleich eingefügt --Squizzz 06:30, 5. Mai 2005 (CEST)

Noch etwas: $O\left(n^{3}\right)$ sieht optisch / subjektiv nach mehr aus, als es ist — viele von uns haben z.B. <math>O(n & \log & n)</math> (warum gibt das einen Parser-Fehler?!) im Kopf für schnelle Sortierverfahren, aber dabei ist $n$ die Länge des Inputs, d.h. die Anzahl zu sortierender Objekte; bei der Matrix-Inversion ist die Länge des Inputs jedoch $n^{2}$, die Laufzeitkomplexität des Algorithmus wäre also mit $O\left(n^{1,5}\right)$ zu veranschlagen, falls $n$ die Länge des Inputs darstellt, oder?! — Nol Aders 4. Jul 2005 10:18 (CEST)

Die Anzahl der benötigten Operationen ist imho ungefähr 2/3 n^3 Das O(n^3) macht einen Vergleich mit anderen direkten Verfahren die auch O(n^3) sind schwierig. --Mathemaduenn 14:13, 17. Aug 2006 (CEST)

Ich wuerde mir auch eine Diskussion der Worst-case Komplexitaet des Algorithmus' auf rationaler Eingabe wuenschen: gemessen wird die Laufzeit des Algorithmus (nicht die Anzahl der arithmetischen Operationen) in der Eingabegroesse (d.h., der Anzahl Bits im Algorithmus). Das ist die Standardlaufzeitanalyse fuer Algorithmen und sollte hier nicht fehlen. Die Zahlen können ja gross werden (gluecklicherweise nicht zu gross wenn man immer schoen kuerzt) und arithmetische Operationen entsprechend teuer. Aus der aktuellen Diskussion wird nicht einmal klar, ob der Algorithmus ueberhaupt polynomiell ist. Manuel -- 81.249.79.206 07:45, 28. Mai 2009 (CEST)

Diese Frage verstehe ich nicht: Was der Computer an zeitkostenden Aktionen macht, sind genau die arithmetischen Operationen, und deshalb schätzt man deren Anzahl zur Einschätzung der Laufzeit ab. An anderen Aktionen gibt es nur noch Laden und Wegspeichern von Werten, das fällt aber deutlich weniger ins Gewicht. Die Zeit selber kann niemand präzise angeben, da sie zu sehr von der eingesetzten Hardware abhängt, da gibt es keinen Standard. Also: grob n hoch 3, eine bessere Angabe ist schwierig. --PeterFrankfurt 01:52, 29. Mai 2009 (CEST)

Anzahl der Operationen vs. Multiplikationen/Divisionen

Im zitierten Buch ist sicher von Multiplikationen/Divisionen(bzw. nur Multiplikationen wie hier die Rede da im Artikel aber Operationen steht, sollte auch +/- dabei sein. Also ca. ${\frac {2}{3}}n^{3}$ Alternativ kann man natürlich auch nur von Multiplikationen sprechen viele Grüße --Mathemaduenn 10:06, 29. Aug 2006 (CEST)

"Er eignet sich nicht zur numerischen Berechnung"?

LR-Zerlegung und ähnliche Verfahren sind doch im wesentlichen Gauß Elimination, verbunden mit einer möglichst guten Pivot-Strategie, oder? Ist es dann sinnvoll oder überhaupt zulässig zu sagen, Gauß Elimination eigne sich nicht zur numerischen Berechnung? — Nol Aders 4. Jul 2005 10:28 (CEST)

Sehe ich genau so. Gauss-Algorithmus ist eigentlich immer die beste Wahl (wenn auch in der Ausprägung als LR-Zerlegung)

Ich habe den Satz jetzt mal gestrichen, in der Einleitung wird ja immer noch deutlich, dass das Verfahren nur bedingt empfehlenswert ist. --DaTroll 12:30, 1. Nov 2005 (CET)

Stabilität in der Einleitung

Hallo zusammen,

Ich hatte ja den Satz "Auf Grund seiner schlechten Stabilitätseigenschaften werden in der Praxis zwar meist andere Algorithmen verwendet, doch zum Lösen von Gleichungssystemen per Hand ist es gut geeignet." entfernt. Zur Begründung:

1. Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist sicher auch für Leute interessant denen Stabilität zu schwierig ist. Die schwierigeren Begriffe sollten imho ans Ende. Genau wie Komplexität.
2. Das Wörtchen meist stimmt sicher nicht. Bspw. nutzt das sicher nicht unbedeutende Matlab standardmäßig Gauß (guckstduhier)

Dies sollte man imho anders schreiben oder streichen. Andere Meinungen? viele Grüße --Mathemaduenn 17:51, 30. Aug 2006 (CEST)

Ich hatte den Satz mal eingefügt und muss peinlicherweise eingestehen, dass er so gar nicht wirklich stimmt. Gauß mit Pivotisierung ist durchaus recht stabil, nur ohne halt nicht. In die Einleitung sollte das auf jedenfall, das ist einfach eine sehr wichtige Sache am Verfahren. --P. Birken 18:27, 30. Aug 2006 (CEST)

Hallo P.Birken, Stabilität ist eine sehr wichtige Größe in der Numerik bzw. bei der Berechnung mittels Computer, aber nicht für das Verfahren selbst. Für Matrizen kleiner Dimension (Rechnung per Hand) ist ja sogar eine exakte Berechnung(inkl. Brüchen und so ;-)) möglich - also "exakte Arithmetik". Da spielt Stabilität keine Rolle. Daher würde ich den Begriff Stabilität eher in den Abschnitt "Berechnung mittels Computer" (den es zwar nicht gibt aber Pseudocode und Komplexität gehören sicher dazu) einordnen. Also z.B. Komplexität nach Komplexität und Stabilität umbennen. Damit im Inhaltsverzeichnis etwas von Stabilität steht für Leute die Aussagen dazu suchen. "Aufgrund der vergleichsweise geringen Anzahl an benötigten Grundoperationen ist es zum Lösen per Hand besonders gut geeignet." oder so ähnlich könnte ja in die Einleitung. viele Grüße --Mathemaduenn 08:21, 31. Aug 2006 (CEST)

Ich denke, dass die tatsächliche Anwendung des Gauß-Verfahrens eh nur im Kontext numerischer Anwendung passiert. Und da ist das halt ein ganz zentraler Punkt. Den Abschnitt Komplexität kann man ja trotzdem ausbauen. --P. Birken 09:03, 31. Aug 2006 (CEST)

Ich denke, die meisten lernen einfach(z.B. in der Schule) nur was das Gaußverfahren ist ohne es praktisch später anzuwenden. Um zu verstehen "was es ist und was es macht" braucht man keine Stabilität . Ich dachte da an Wikipedia:Wie_schreibe_ich_gute_Artikel ->Verständlichkeit --Mathemaduenn 09:38, 31. Aug 2006 (CEST)

Naja, die Schule ist nicht das Leben. Die meisten Leute vergessen das Gauss-Verfahren nach der schule wieder. Ansonsten fordert WP:WSIGA auch: "Bei längeren Artikeln sollte unmittelbar im Anschluss eine kurze Einleitung mit einer Zusammenfassung des Artikelinhalts folgen. Sie ermöglicht dem Leser einen Überblick über das Thema, ohne dass er unbedingt einen langen Text lesen muss." Stabilitaet in der Einleitung zu erwaehnen, heisst nicht, dass der Artikel gleich unverstaendlich wird. Es ist schon OK, wenn die Einleitung nicht jedem was sagt. Wichtiger ist aber, dass sie das wichtigste zusammenfasst. --P. Birken 10:18, 31. Aug 2006 (CEST)

O.K. es sollte imho auf jeden Fall der Eindruck vermieden werden Gauß sei nur historisch interessant Ich mach mal einen anderen Vorschlag --Mathemaduenn 10:46, 31. Aug 2006 (CEST)

Ich hab die Einleitung nochmal überarbeitet, weil mir Deine noch nicht das wichtigste zusammenfasste. Dafür habe ich jetzt das Wort Stabilität, was dir nicht gefiel, vermieden. --P. Birken 08:57, 1. Sep 2006 (CEST)

Vorschlag Einleitung

Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist ein Algorithmus aus den mathematischen Teilgebieten der linearen Algebra und der Numerik. Es ist ein wichtiges Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen. Auf Grund der vergleichsweise geringen Anzahl benötigter Grundoperationenen ist es besonders zum Lösen von Gleichungssystemen per Hand geeignet. Für bestimmte Matrizen kann das Verfahren schlechte Stabilitätseigenschaften aufweisen. In diesem Fall sollten andere Algorithmen verwendet werden.

Das gaußsche Eliminationsverfahren wurde um 1850 von Carl Friedrich Gauß bei Arbeiten auf dem Gebiet der linearen Gleichungssysteme entwickelt, allerdings hatte der chinesische Mathematiker Liu Hui bereits im Jahr 263 eine Beschreibung des Lösungsschemas veröffentlicht.

Rechenzeit

Ohne es jetzt getestet zu haben würde ich die Rechenzeit für n=10.000(und eine vollbesetzte Matrix) auf meinem Heimcomputer(Athlon 1800+) bei ca. 3 Stunden ansiedeln. Ich weiß nicht ob man das noch empfehlen sollte. --Mathemaduenn 21:13, 12. Jun. 2007 (CEST)

Der Punkt ist: welches Verfahren würdest Du sonst nehmen? Gerade bei vollbesetzten Matrizen haben iterative Verfahren ja sehr hohe Konstanten und müssten meiner Erfahrung bei der Zahl an Unbekannten nochmal deutlich drüberliegen. Selbst bei den meisten schwachbesetzten sind entsprechende Gauß-Modifikationen und der Größenordnung noch Konkurrenzfähig. --P. Birken 23:34, 12. Jun. 2007 (CEST)

Also erstmal von der Rechenzeit abgesehen sind die Ergebnisse einer Gauß-Elimination bei vollbesetzten Matrizen und doppelter Genauigkeit (12 Stellen) nach meinen Experimenten damals (ok, 30 Jahre her :-) bei sehr schlechter Kondition (Hilbert-Matrizen) schon ab n=12 unbrauchbar. Wenn es um "normale" Kondition geht, sollte die Grenze natürlich höher liegen, aber bei 10.000 wohl kaum. Da alles mit n³ geht, würde ich da spätestens ab 100 misstrauisch. Also meine jetzt nicht sehr gut gestützte Abschätzung lautet: Jenseits n=100 gar nicht erst mit direkter Elimination versuchen, sondern von Anfang an iterieren. --PeterFrankfurt 00:46, 13. Jun. 2007 (CEST)

Genau und deswegen löst niemand Systeme mit der Hilbert-Matrix, was sie völlig ohne Belang macht, darüberhinaus und das ist das, was Du immer noch nicht verstanden hast, ist dass die Hilbert-Matrix auch für iterative Verfahren schlecht konditioniert ist und dass Kondition mit diesem Thema eh einfach mal gar nichts zu tun hat. Grundsätzlich kann ich nur empfehlen, das einfach mal zu testen: Der Scilab-Code ist offen, einfach mal den \-Befehl nehmen, der nimmt Gauß oder eine Variante. Eine Quelle für die 10.000 habe ich leider gerade nicht zur Hand, ich suche aber nochmal. Insbesondere im Umfeld von Integralgleichungen tauchen vollbesetzte Systeme dieser Größenordnung auf. --P. Birken 08:55, 13. Jun. 2007 (CEST)

Hmm, ja so eine einfach Empfehlung kann man bei der Größe wohl nicht mehr machen. Vllt. sollte man mal ein paar Rechenzeiten generieren damit der Leser eine kleine Orientierung hat. --Mathemaduenn 10:19, 13. Jun. 2007 (CEST)

Ja, ganz wohl ist mir mit dieser Angabe auch nicht. Es haengt halt schon ganz stark von der gegebenen Matrix ab, welches Verfahren da das beste ist. Vielleicht sollte man das einfach so schreiben? --P. Birken 10:56, 13. Jun. 2007 (CEST)

Schreibfehler

Im letzten Satz zu Determinante:
"Dies gilt allerdings nur dann, wenn keine Zeilenvertauschungen verwendet wurden, da diese das Vorzeichen der Determinante ändern, so dass dann der Werte noch entsprechend korrigiert werden muss."
Hier wird Mehrzahl (Werte) und Einzahl (der, muss) verwendet, somit ist (zumindest mir) nicht klar ob ein (1) Wert korrigiert werden muss oder mehrere.
Gute Erklärung ansonsten, hat mir gehofen.

Einleitungsergänzung

Um nicht alles in der Lesenswert-Diskussion breit zu trampeln: In der Einleitung kann noch einiges klarer werden. Es fehlt zunächst eine Erwähnung der Vorgehensweise, wenn z.B. a_11=0 ist, d.h. wann sind Zeilenvertauschungen notwendig). Dies wird weiter unten zwar erwähnt, aber dann solte oben zumindest stehen „falls das entsprechende Element nicht Null ist“ oder schöner. Das Wort „Nichtnulleintrag“ würde ich vermeiden, denn es ist Mathematikerdeutsch (so wie „größer“ ohne als, oder „disjunkt“ im Alltagskontext...). Beim Gauß-Jordan würde ich kurz erwähnen, dass das Rückeinsetzen natürlich im Grunde genau das gleiche tut.(steht im Grunde da...) Ich werde das nicht selbst umformulieren, da ich dem Hauptautor da nicht reinfuschen will und auch gar nicht aktiv werden will... aber ich glaube das wird schon gut und dann kann ich auch endlich mein  Pro eintragen. Beste Grüße, --CWitte 16:06, 6. Jul. 2007 (CEST)

Ergänzend: Im Allgemeinen ist die Zeilenstufenform natürlcih auch von einer Form, dass auch in der ersten Zeile \tilde{a}_11 etc. stehen sollte.--CWitte 16:17, 6. Jul. 2007 (CEST)

Also meiner Meinung nach gehoert in eine Einleitung das wichtigste zum Artikel. Der Preis ist dann halt, dass nicht jeder alles versteht, was in der Einleitung geht, aber dafuer bietet sie fuer jeden was, auch fuer die die wissen worums geht, und nur nochmal schnell ihr Wissen auffrischen wollen. Ich kann mir auch nicht vorstellen, wie ich das Problem mit der Null auf der Diagonalen in zwei Saetzen erklaeren konnte, ohne dass noch mehr Verwirrung herrscht. Beim allgemeinen hast Du recht, da die Sache mit den Tilden irgendwie derzeit eh noch etwas in der Luft haengt, gucke ich mal, wie man das noch verbessern kann. --P. Birken 16:28, 6. Jul. 2007 (CEST)

Das stimmt so nicht ganz. Die einleitung muss schon korrekt sein. Sie muss nicht gleich den allgemeinsten Fall diskutieren, daher reicht es aus zu schreiben „sofern das Diagon/Pivot-Element von Null verschieden ist“ o.ä., aber so ganz ohne ist's halt nicht richtig. Es steht nicht da, das du einen Spezialfall diskustierst. --CWitte 17:06, 6. Jul. 2007 (CEST)

Mh, wovon redest Du? Fuer mich sind die Einleitung die ersten beiden Absaetze, vor dem Inhaltsverzeichnis. --P. Birken 17:10, 6. Jul. 2007 (CEST)

Eh? Das ist das Lemma. Ah, verstehe! Die Einleitung ist für mich der Abschnitt namens Erklärung nach dem Lemma. Sorry für das Missverständnis--CWitte 17:20, 6. Jul. 2007 (CEST)

Da haben wir ja schoen aneinander vorbeigeredet :-) Ich guck mal, wnan ich das nochmal ueberarbeite. Viele Gruesse --P. Birken 17:35, 6. Jul. 2007 (CEST)

Link zu Englischer Wikipedia

Sollte der Link zur Englischen Wikipedia nicht zu "LU decomposition" [[1]] anstatt zu [[2]] gehen? Nein sollte er nicht, weil dieser Artikel "Gaußsches Eliminitaionsverfahren" heißt, sollte er, weil die Weitleitung von "LU Zerlegung" hier her führt.

Lösung: Artikel für "LU Zerlegung anlegen", aber dazu hab ich jetzt kein Zeit.

Du meinst http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=LU-Zerlegung&redirect=no? --P. Birken 12:21, 21. Sep. 2007 (CEST)

Normalenform

Zwar linkt "Kanonische Form eines LGS" auf diesen Artikel, aber die Normalenform wird nirgends erklärt! Wenn mal jemand Muße hat wäre eine Ergänzung schön ;-) (nicht signierter Beitrag von 87.177.174.17 (Diskussion) 0:53, 28. Aug 2008 (CEST))

Was soll hier hinlinken? --P. Birken 19:18, 28. Aug. 2008 (CEST)

Na, na, das lässt sich doch sehr einfach nachvollziehen: "Kanonische Form" ansteuern, gibt Weiterleitung zu Normalform, und dort findet sich ein Link zu "Stufennormalform eines linearen Gleichungssystems", welcher wiederum hier landet. --PeterFrankfurt 00:10, 29. Aug. 2008 (CEST)

Gauß-Elimination im Komplexen

Ich finde dass noch auf die Elimination im Komplexen eingegangen werden sollte, kann aber leider nichts dazu beitragen. Weiß jemand was es dabei zu beachten gilt? -92.75.57.46 23:20, 22. Okt. 2008 (CEST)

Es kommen doch nur die Grundrechenarten vor. Wie die im Komplexen ablaufen, wird woanders erklärt. Also sehe ich keine prinzipiellen Änderungen. Man darf weiterhin nicht durch null dividieren, muss also genauso ggf. pivotisieren und dabei auf den Betrag der Zahl schauen, der im Komplexen halt ein bisschen anders berechnet wird, aber das ändert am Prinzip nichts. --PeterFrankfurt 01:59, 23. Okt. 2008 (CEST)

Rein vom Verfahren her funktioniert das genauso, wie man die Pivotelemente wählen sollte ist mir aber nicht so klar. --P. Birken 19:34, 24. Okt. 2008 (CEST)

Das ist dann vielleicht doch ein Problem, das man erwähnen sollte. Weiß den jemand wie man da das Pivotelement wählt? -88.65.222.109 15:43, 6. Nov. 2008 (CET)

Das Element mit dem größten Absolutbetrag? --Chin tin tin 03:06, 20. Nov. 2009 (CET)

Algorithmus

Ich finde dass der Algorithmus so nur schwer verständlich ist. (Zumindest mir geht es so) Der Code sollte dringend Kommentiert werden.

Ich verstehe das leider auch nicht. Es wäre gut wenn wenigstens kommentiert wäre welcher Index die Spalten, welcher die Zeilen beschreibt! -88.65.62.138

LR-Zerlegung

Ich wollte schnell mal bei einem vorhandenen Beispiel mithilfe des Wikipedia Artikels die LR-Zerlegung nachvollziehen und dabei hat mir der Artikel nicht sehr viel geholfen. Als Ursachen würde ich folgendes sehen:

• es gibt zwei Varianten (Crout, Dolittle) die Matrix zu zerlegen was im Gegensatz zum engl. WP Artikel nicht erwähnt wird
• Der Algorithmus wird nur durch Formeln und Pseudocode erklärt, es fehlt ein einfaches Beispiel (so in etwa wie |hier auf S.1-3)

Vieleicht hat ja jemand irgendwann mal Lust das zu ergänzen. Eventuell könnte man dann auch noch gleich die 'Tableau' Darstellung die häufig verwendet wird erklären. Vieleicht könnte man dann auch darüber nachdenken den Abschnitt in einen extra Artikel auszulagern. Schönen Gruß "Wohingenau" 15:12, 22. Jul. 2009 (CEST)

Javascript zur Demonstration des Verfahrens

Auf der Artikelseite fehlt ein Link zu einem Applet bei dem man das Verfahren sehen/durchführen kann, wie man ihn in der englischen Version und auch bei Artikeln zu anderen Algorithmen finden.

Nachdem ich mehrere Jahre auf einen solchen Link gewartet habe (das erwähnte von der englischen Seite taugt nichts und lässt sich zudem nur für Matrizen aus Z^{3x3} verwenden) und auch sonst keines finden konnte, habe ich selbst ein solches geschrieben und denke, dass es auf der Artikelseite verlinkt werden sollte.

Ich hatte es zwar schon hinzugefügt, aber es wurde bei der Sichtung gelöscht. (wenn, wie der Kommentar andeutet, fünf Links für das Thema zu viel sind, schlag ich vor die Diashow zu löschen)

-- BeniBela 21:03, 21. Sep. 2009 (CEST)

Also ich finde die Diashow sollte nicht gelöscht werden, weil sie sehr informativ ist für jemanden der noch nicht weiß wie das Gauß Verfahren funktioniert. Außerdem ist es kein gutes Argument für dein Applet wenn du einen anderen Weblink schlecht machst. Ich denke du hast sicherlich einiges an Arbeit in diese Applet gesteckt, aber deswegen muss es nicht unbedingt geeignet sein hier verlinkt zu werden, vor allem wenn es schon einige Weblinks gibt. Außerdem hab ich mir dein Applet angesehen und auf dem ersten Blick scheint es mir eigentlich nur dafür geeignet zu sein die Arbeit des aufschreiben eines LGS zu ersparen, bzw. eventuell bei der Fehlersuche zu helfen. Wenn jemand keine oder kaum Ahnung hat wie das Gauß-Verfahren funktioniert, so wird ihm momentan mit dem Applet nicht sehr viel geholfen, da find ich z.B. |dieses Programm weitaus hilfreicher. Und wenn ich ein LGS einfach nur lösen will, dann nehm ich Computeralgebrasysteme wie Singular (Computeralgebrasystem) oder Maple (Software). Tut mir leid... Schönen Gruß "Wohingenau" 12:32, 23. Sep. 2009 (CEST)

ich stimme user:Wohingenau zu. die anahl der links ist zweitrangig, die qualitaet entscheidend. aber einen informativen nutzen sehe ich in dem script nicht.

btw. sorry fuers klugscheissen, aber es handelt sich hier nicht um ein Java-Applet, sondern um javascript, eine ganz andere sprache. -- seth 13:09, 23. Sep. 2009 (CEST)

Das Programm ist auch nicht dafür gedacht informativ zu sein, sondern für das praktische, schrittweise Lösen von einem LGS. (ich dachte, dass nur Links aufgenommen werden, die eben nicht informativ sind, da alle Informationen im Artikel stehen sollten, während man interaktive Sachen eben nicht übernehmen kann)

Bei dem marekrychlik-Programm und einem CAS kann nur schwer kontrollieren, welche Operationen/Pivotwahlen durchgeführt werden, und manchmal setzen die Programme Annahmen voraus, die nicht erfüllt sind, wie die Existenz von Divisionen. (ich hatte es geschrieben um in einem unlösbaren Gleichungssystem über einem unbekannten Restklassenring die überzählige Gleichung zu finden). Außerdem haben die meisten Leute haben kein CAS, so gibt z.B.: hier am Uni-Rechenzentrum nur einen einzigen Raum, wo eines installiert wurde.

Vielleicht ist es ein bisschen zu schwer zu finden, aber man kann auch bei meinem Javascript-Applet sehen, wie das Verfahren abläuft, wenn man das Log aktiviert und die gewählte Pivotzeile auf eine Spaltennummer schiebt. -- BeniBela 15:22, 23. Sep. 2009 (CEST)

Unabhängig jetzt von der Diskussion ein CAS findest zu beispiel hier: http://magma.maths.usyd.edu.au/calc/ Schönen Gruß "Wohingenau" 23:24, 23. Sep. 2009 (CEST)

Danke habe das mal gebookmarked. Aber es ist nicht so dass ich kein CAS hätte, (habe sogar ein halbes Dutzend gesammelt) in den meisten Fällen finde ich es bloß einfacher ein Problem per Hand zu lösen, oder schnell ein eigenes Programm (eben dieses JavaScript) zu schreiben, statt eine fremde Syntax zu lernen. -- BeniBela 13:34, 24. Sep. 2009 (CEST)

LR-Zerlegung

Im ersten Satz sollte nicht "quadratsche .. Gleichungssystem" benutzt werden. Das könnte falsch verstanden werden! (nicht signierter Beitrag von Unigen (Diskussion | Beiträge) 14:51, 28. Okt. 2009 (CET))

Mh, was könnte da falsch verstanden werden? --P. Birken 19:42, 28. Okt. 2009 (CET)

Ich könnte mir vorstellen, dass er auf quadratische statt lineare Polynomterme assoziiert? Wäre aber angesichts der ganzen Vorgeschichte bis zu diesem Unterkapitel eigentlich abwegig. --PeterFrankfurt 02:19, 29. Okt. 2009 (CET)

Auch wenn im gleichen Satz Ax=b steht. Was könnte man falsch verstehen: quadratisches Gleichungssytem, nichtlineares Gleichungssystem, quadratische Gleichungen. --Chin tin tin 02:56, 20. Nov. 2009 (CET)

elementare Umformungen

Wird die zweite Art (Vertauschen von Zeilen) überhaupt benötigt? Es heißt zwar bei Gaußsches_Eliminationsverfahren#Pivotisierung "Das gaußsche Eliminationsverfahren ist im Allgemeinen nicht ohne Zeilenvertauschungen durchführbar. Ersetzt man im obigen Beispiel a11 = 1 durch a11 = 0, so kann der Algorithmus ohne Zeilenvertauschung gar nicht starten." Man braucht duch nur die zweite Zeile zur ersten dazuaddieren und kann dann anfangen. --Chin tin tin 02:48, 20. Nov. 2009 (CET)

Nur ist letzteres deutlich rechenaufwändiger und deswegen die Zeilenvertauschung die Methode der Wahl. --P. Birken 15:51, 21. Nov. 2009 (CET)

Geschichte

Joseph F. Grcar beschreibt in seinem ausführlichen und umfangreich bequelltem Paper How Ordinary Elimination Became Gaussian Elimination sehr ausführlich, welche Entwicklung das heute als Gauß-Algorithmus bekannte Lösungsverfahren genommen hat. Neben den Neun Büchern (en.WP) (Warum haben die eigentlich noch keinen deutschen Artikel!?) gibt es bei Diophant Aufgabenstellungen, die sich als lineare Gleichungssysteme ansehen lassen, ebenso bei Aryabhata und auf babylonischen Papyri. Allerdings tauchen dort keine allgemeinen Lösungswege auf, sondern es werden nur die konkret gegebenen Aufgabenstellungen gelöst.

Im 17. Jahrhundert gehörte das Eliminationsverfahren - noch namenslos - bereits zur allgemeinen Mathematikausbildung an Universitäten. Beispielsweise erwähnte es Newton in einem seiner Lehrbücher, die er im Rahmen seiner Dozententätigkeit an der Universität Cambridge schrieb, aber auch zahlreiche andere Autoren verwendeten es. Grcar zählt für den Zeitraum 1650 bis 1750 über 30 verschiedene Werke auf. Es war also auch schon vor Gauß weit verbreitet. So schreibt auch Grcar:

Diese Methode - welche Newton nicht veröffentlichen wollte, welche Euler nicht empfahl, welche Legendre 'ordinaire' nannte, und welche Gauß 'gewöhnlich' nannte - wird nun nach Gauß benannt: Gaußsches Eliminationsverfahren. (Man vermutet, er wäre darüber nicht amüsiert.) (a. a. O.)

Gauß trug natürlich zur Verbreitung des Eliminationsverfahrens bei durch dessen Verwendung in der Landvermessung und in seinen astronomischen Arbeiten. Grcar schreibt, daß sich vermutlich durch die Vielzahl an damit rechnenden Geodäten die Bezeichnung als Gaußsche Elimination verbreitete.

Wer mag das einarbeiten? --Pinoccio 17:40, 11. Jul. 2010 (CEST)

Die neun Bücher sind erwähnt: Jiu Zhang Suanshu. --P. Birken 21:09, 12. Mai 2011 (CEST)

History section is incorrect

There are several errors in the history section. First, the method in Europe predates Lagrange and Gauss. The earliest descriptions are by Rolle and Newton, and examples are even earlier. Second, Turing did not originate the interpretation as matrix factoring. The earliest publications are by Banachiewicz, Jensen, Dwyer, and von Neumann. Third, Wilkinson did not prove that the method is backward stable. He acknowledged a gap in his proof. Jfgrcar 22:27, 17. Dez. 2010 (CET)

Hi Joe, thanks for the comments. The sources for the history section are for example [3] and [4]. I did not have the time yet ti incorporate your article, but the browser tab has been open since you mentioned it on NA-Digest. Best, --P. Birken 21:12, 12. Mai 2011 (CEST)

Dear Peter, I now have a shorter article about the history that most people would find easier to read. "Mathematicians of Gaussian Elimination" http://www.ams.org/notices/201106/rtx110600782p.pdf (nicht signierter Beitrag von Jfgrcar (Diskussion | Beiträge) 18:15, 22. Jun. 2011 (CEST))

Fehler im Beispiel

Meiner Meinung nach muss das Beispiel doch falsch sein, wenn x_2=6 und x_3=3 kann x_1 doch nicht 5 sein wenn gilt x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2 also x_1+12 +9=2? x_1 müsste demnach doch eher -19 sein? (nicht signierter Beitrag von 2A02:908:DA22:C2A0:E598:C97C:8340:8D90 (Diskussion | Beiträge) 18:14, 26. Jul 2015 (CEST))

Aber es ist doch $x_{2}=-6$. -- HilberTraum (d, m) 20:39, 26. Jul. 2015 (CEST)

C#-Tool zur Berechnung von linearen Gleichungssystemen n. Gauß

Um die Diskussion zu ergänzen hier ein Tool mit welchem ein Gleichungssystem mit max. 6 Unbekannten berechnet werden kann: http://webcalc.somee.com/

MichasTools (Diskussion) 17:59, 4. Okt. 2015 (CEST)

Weiterleitung von Gauß-Jordan-Algorithmus auf diesen Artikel

Hallo alle zusammen,

ich habe gesehen, dass in diesem Wikipedia-Artikel:

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Jordan-Algorithmus

das Thema des vorliegenden Artikels noch einmal abgehandelt wird. Da es keine inhaltlichen Unterschiede gibt (jedenfalls sehe ich keine) und der hier vorliegende Artikel der umfangreichere ist, würde ich vorschlagen, dass in Zukunft von »Gauß-Jordan-Algorithmus« direkt auf diesen Artkel weitergeleitet wird.

Einverstanden?

Viele Grüße

--Jake2042 (Diskussion) 04:38, 20. Jul. 2019 (CEST)

Der inhaltliche Unterschied ist in der Einleitung von Gauß-Jordan-Algorithmus genannt:

"Es ist eine Erweiterung des gaußschen Eliminationsverfahrens, bei dem in einem zusätzlichen Schritt das Gleichungssystem bzw. dessen erweiterte Koeffizientenmatrix auf die reduzierte Stufenform gebracht wird."

Zugegebenermaßen wird das im Rest des Artikels nicht so recht deutlich. Also bitte nicht in eine Weiterleitung umwandeln, sondern überarbeiten. --Digamma (Diskussion) 15:10, 17. Mär. 2020 (CET)

Fehlermeldung in Android-App

In der Android-App erscheint am Anfang im Abschnitt "Erklärung" folgende Fehlermeldung:

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle x_3} --Molekuelorbital (Diskussion) 05:34, 13. Apr. 2024 (CEST)