Diskussion:Geometrische Reihe

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Rentenrechnung

Muss die allgemeine Formel nicht um q^(n+2) im Nenner verändert werden, wenn man q mit dem Nenner multipliziert, unabhängig von der Folge, da das q zu deren ermittlung ja herausgenommen wird um bei k=0 zu beginnen. (nicht signierter Beitrag von 134.60.117.243 (Diskussion) 10:49, 24. Sep. 2010 (CEST))

"Ausschöpfen"

Historisch entstanden ist die geometrische Reihe jedoch aus dem Bestreben heraus, die Flächen oder Volumina von Figuren (wie einem Dreieck, einer Parabel, oder einem Tetraeder) durch „Ausschöpfen“ zu ermitteln.

Natürlich ist es möglich, die Fläche eines Dreiecks so zu ermitteln, aber das scheint mir kein gutes Beispiel, da es viel einfacher direkt zu berechnen ist (halbes Rechteck). Gruß --Winkekatze (Winken) 15:04, 14. Aug. 2024 (CEST)

Hallo Winkekatze, klar, aber ich dachte, da kann man es sich besser vorstellen. Ich denke drüber nach, wie man das noch verbessern könnte. Danke jedenfalls. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 15:17, 14. Aug. 2024 (CEST)

Verstehe. Ich hatte es als Motivation für die Methode gedacht ("Historisch entstanden..."), da finde es seltsam. Gut vorstellbar ist es natürlich. Ist bin halt drüber gestolpert, aber es ist schon okay so. Liebe Grüße --Winkekatze (Winken) 16:03, 14. Aug. 2024 (CEST)

Habe das Dreieck aus der Beispielliste entfernt. -- Googolplexian (Diskussion) 16:56, 21. Aug. 2024 (CEST)

Teilungsparadoxon

Bereits vor ca. 2500 Jahren standen griechische Mathematiker vor einem Paradoxon, das beim Gehen von einem Ort zum anderen entstehen kann: Sie glaubten, dass stets eine unendlich lange Liste von Zahlen, die alle größer als null sind, zu unendlich summiert wird.

Das Paradoxon entsteht nicht "beim Gehen", sondern wenn ich mir den Weg auf eine bestimmte Art vorstelle. Wie wäre

Bereits vor ca. 2500 Jahren standen griechische Mathematiker vor einem Paradoxon, da sie glaubten, dass eine unendlich lange Liste von Zahlen, die alle größer als null sind, stets zu unendlich summiert wird. Deshalb erschien es paradox...

Außerdem weiter unten:

Das Problem bestand nun darin: Wie kann eine Strecke beschränkt sein, da der Zielort offenbar niemals erreicht wird

Entweder ist das "niemals" zu viel (in echt werden Zielorte erreicht) oder es ist gemeint, dass der Zielort nach dieser Vorstellung nie erreicht wird. Das finde ich missverständlich. --Winkekatze (Winken) 18:31, 14. Aug. 2024 (CEST)

Besten Dank, Winkekatze, habe die Stellen überarbeitet. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 16:55, 21. Aug. 2024 (CEST)

Kandidatur Geometrische Reihe

Den Artikel zu einem für die Analysis zentralen Thema habe ich die letzten Wochen stark überarbeitet, motiviert unter anderem auch dadurch, dass er viele Seitenaufrufe hat. Über Kritik freue ich mich wie üblich. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 12:14, 10. Aug. 2024 (CEST)

Detailfrage zu etwas Grundsätzlichem: ist dem (mathematisch nicht so bewanderten) Leser klar, was der Unterschied zwischen einem expliziten und einem rekursiven Ausdruck ist? Je nach dem wird zwischen beiden Darstellungsarten im Artikel nonchalant hin und her gesprungen. --∎ Viele Grüße, Alabasterstein (Diskussion) 12:40, 10. Aug. 2024 (CEST)

Der Link in der Einleitung zur Artikel Explikation ist aktuell m. E. auf den ersten Blick nicht hilfreich. -- Peter Gröbner -- 13:03, 10. Aug. 2024 (CEST)

Hallo Alabasterstein, danke, ich habe in der Einleitung noch ein paar Erklärungen ergänzt am Beispiel des Lemmagegenstandes. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:10, 10. Aug. 2024 (CEST)

Hallo Peter Gröbner, ist aber die richtige Verlinkung. Ggf. muss der Artikel, vielleicht sogar schon in der Einleitung, hinsichtlich der Mathematik weiter ausgebaut werden. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:15, 10. Aug. 2024 (CEST)

@Peter Gröbner: also der Link verweist auf korrekte Sachverhalte. Aber möglicherweise führen die theoretischen sprachlogischen Ausführungen zu weit von der unmittelbaren Bedeutung im Kontext der Verwendung. Soll der Autor entscheiden, ob die Verlinkung sinnvoll ist. Mein Seelenheil hängt nicht davon ab. --∎ Viele Grüße, Alabasterstein (Diskussion) 13:25, 10. Aug. 2024 (CEST)

Ich denke, das Wort explizit wird derzeit im Artikel unterschiedlich verwendet. In manchen Fällen könnte vielleicht von einem geschlossenen Ausdruck gesprochen werden. Gruß, -- Peter Gröbner -- 15:06, 10. Aug. 2024 (CEST)

Nur eine kurze Anregung zu diesem sicher guten Artikel aus der Laienperspektive: Aus Gründen der allgemeinen Verständlichkeit würde ich die Formeln aus der Einleitung nehmen, soweit dies möglich ist. Die ausgezeichneten Artikel zur allgemeinen und speziellen Relativitätstheorie verzichten ebenfalls darauf. Gruß --Gustav (Diskussion) 13:01, 10. Aug. 2024 (CEST)

Hallo Gustav, auch wenn ich Dein Anliegen zu 100 % nachvollziehen kann, bin ich etwas ratlos, wie man das umsetzen soll. Ich kann natürlich alles an Formeln durch die deutsche Sprache ausdrücken, aber der Text wäre dann aus meiner Sicht keine Lesefreude. Aber vielleicht kann man ganz an den Anfang noch ein paar „nicht-formale“ Erklärungen einbauen, um eine Idee mitzugeben. Wer Formeln grundsätzlich meidet, wird an dem Artikel ohnehin nur begrenzt Spaß haben fürchte ich. Soweit meine spontanen Gedanken. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:12, 10. Aug. 2024 (CEST)

@Gustav von Aschenbach: Ist es mit den Ergänzungen etwas besser? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:51, 10. Aug. 2024 (CEST)

Das ging ja schnell, wunderbar. Aus meiner Sicht eine Verbesserung, obwohl ich nun mit dem „unendlichen Prozess“ gewisse Schwierigkeiten habe. Ich bin hier eben Laie und kann allenfalls eine berühmte Formel wie $E=mc^{2}$ verstehen, wobei „verstehen“ wahrscheinlich zu viel gesagt ist. Ich möchte Dich allerdings nicht nötigen, etwas zu schreiben, was sich nicht im Hauptteil findet, zumal sich einiges ja aus den verlinkten Begriffen in der Einleitung ergibt. Gruß --Gustav (Diskussion) 14:22, 10. Aug. 2024 (CEST)

@Gustav von Aschenbach: Alles klar, danke, siehe meine Überarbeitungen. -- Googolplexian (Diskussion) 16:42, 10. Aug. 2024 (CEST)

Aus meiner Sicht nun  Exzellent. Die Erklärungen in zahlreichen Abschnitten, etwa zur Geschichte, sind durchaus verständlich und lassen so den Sinn der Formeln erahnen. Auch die Gliederung überzeugt… Anschaulicher wird es u.a. bei dem „Ruin des Spielers“. Einiges hätte ich anders formuliert, aber das ist eine sog. Geschmacksfrage, die an der Einschätzung nichts ändert. Müsste im Satz „diese Berechnung verwendet die Exhaustionsmethode, eine frühe Version der Integration“ unter Archimedes nicht auf Integralrechnung verlinkt werden? --Gustav (Diskussion) 19:41, 10. Aug. 2024 (CEST)

Ich habe noch einige Rechtschreibfehler gefunden und fürchte, dass es noch mehr davon gibt. Vielleicht mag der Brettchenweber mal drüberschauen. Gruß, -- Peter Gröbner -- 19:48, 10. Aug. 2024 (CEST)

Das mache ich gern, was aber angesichts der Länge des Artikels etwas dauern wird. Fachlich kann ich aber nichts beitragen. Viele Grüße --Brettchenweber (Diskussion) 23:46, 10. Aug. 2024 (CEST)

Habe noch einige Kommata gesetzt und in einigen Bildbeschreibungen überflüssige Punkte entfernt (gemäß Hilfe:Bilder: „Die Bildlegende soll am Ende nur dann mit einem Punkt abgeschlossen werden, wenn sie mehr als einen Satz enthält.“). --Brettchenweber (Diskussion) 00:42, 11. Aug. 2024 (CEST)

Diese Richtlinie hatte ich auch in Erinnerung, bei der Suche danach aber gefunden: „Ein Punkt am Ende einer Bildunterschrift ist nur dann erforderlich, wenn es sich um einen längeren, vollständigen Satz handelt.“ (Wikipedia:Artikel_illustrieren#Bildunterschriften) Ich denke aber, die von Dir zitierte Regelung ist die üblicherweise befolgte. Vielen Dank und weiterhin viel Spaß, -- Peter Gröbner -- 07:39, 11. Aug. 2024 (CEST)

Ja, ich kann mich auch immer nur schwer damit anfreunden, bei einem Satz einen Punkt zu entfernen. Bei unvollständigen Sätzen dürfte die Schreibweise ohne Schlusspunkt aber unstrittig sein. --Brettchenweber (Diskussion) 08:38, 11. Aug. 2024 (CEST)

Ja. Dort hatte ich auch einen Punkt entfernt, allerdings – weil ich an der falschen Stelle nachgesehen habe – unübliche wieder eingefügt, die Du dankenswerterweise wieder entfernt hast. Ich habe dann noch eine Frage, die stelle ich aber auf der Diskussionsseite. -- Peter Gröbner -- 08:45, 11. Aug. 2024 (CEST)

Vielen Dank, Peter Gröbner und Brettchenweber, für Eure Mithilfe am Artikel! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 22:46, 11. Aug. 2024 (CEST)

@Mathze: Ich wäre noch sehr gespannt auf Deine fachkundige Meinung. Vielen Dank! Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 11:39, 13. Aug. 2024 (CEST)

Hallo @Googolplexian1221, entschuldige bitte die späte Antwort, ich bin erst gestern aus dem Urlaub zurückgekehrt. Zuerst einmal möchte ich mich bedanken für die viele Arbeit, die Du da reingesteckt hast. Der Artikel ist vielseitig und beleuchtet die geometrische Reihe aus ganz verschiedenen Blickwinkeln. Ich habe durch das Lesen viel gelernt! Ich möchte trotzdem, auch weil Du mich explizit gebeten hast, einige Kritikpunkte und Verbesserungsvorschläge anbringen. Selbstverständlich sind diese subjektiv geprägt und spielgeln oftmals auch einfach nur meine Meinung wider.

Sprachliche Anmerkungen:

• Allgemeine unendliche Reihen haben in verschiedensten Disziplinen Anwendung, etwa in den Ingenieurswissenschaften oder der analytischen Zahlentheorie. Meinen Sprachempfinden müsste es "Anwendungen" statt Anwendung heißen.
• Das Folgeglied wird durch Multiplikation des vorherigen Glieds mit einem konstanten Faktor berechnet. Diesen Satz würde ich ersetzen durch: "Jedes Folgeglied wird also aus seinem Vorgänger durch Multiplikation mit einem konstanten Faktor berechnet."
• Da der Fall $c=0$ trivial und in vielen Anwendungen auch nicht sinnvoll ist und $c$ zudem nur ein gemeinsamer Faktor aller Summanden der Reihe ist, wird in der Literatur meistens schlicht $c=1$ gesetzt. Das würde ich einfach abkürzen als "In der Literatur wird häufig der Fall c=1 betrachtet."

Allgemeine Anmerkungen:

• Meinem Empfinden nach wird in der Einleitung zu viel darüber gesprochen, wofür geometrische Reihen gut sind, bevor gesagt wird, was sie sind. Ich würde die Darstellung deshalb umdrehen: Erst sagen, was es ist, dann, wozu es gut ist. Hier finde ich den Artikel in der englischsprachigen Wikipedia gelungen.
• Meinem Empfinden wird ebenfalls zu viel über die geometrische Folge in der Einleitung gesprochen. Auch hier finde ich den englischsprachligen Artikel besser. Es reicht völlig zu sagen, dass die geometrische Reihe aus der geometrischen Folge durch Reihenbildung entsteht.
• Das Folgeglied wird durch Multiplikation des vorherigen Glieds mit einem konstanten Faktor berechnet. Löst man diese Rekursion auf, ergibt sich explizit $a_{n}=cq^{n}$ mit einer Konstanten $c$ für alle $n\geq 0$, also

$a_{0}=c,\quad a_{1}=cq,\quad a_{2}=cq^{2},\quad$ usw.

Hier finde ich das explizite Ausschreiben der ersten Folgengleider zu viel des Guten. Das deckt sich auch mit meiner Kritik an der zu ausführlichen Darstellung der geometrischen Folge.

• Aufgrund der einfachen Gestalt der Summanden ist es möglich, die Partialsummen $\textstyle s_{n}:=\sum _{k=0}^{n}q^{k}$ der zugehörigen geometrischen Reihe in geschlossener Form zu berechnen. Eine wichtige Tatsache ist ferner, dass die geometrische Reihe $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}$ genau dann konvergiert, falls $|q|<1$ gilt. Ihr Grenzwert ist in diesem Falle

$\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}$.

Dabei ist es unerheblich, ob es sich bei $q$ um eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl handelt.

Das finde ich für die Einleitung zu technisch.

• Ich finde den Abschnitt Geometrische_Reihe#Einführung entbehrlich. Ich glaube aber auch, dass wir hier allgemein unterschiedliche "Philosophien" haben: Ich bevorzuge möglichst "schlanke" Artikel mit möglichst vielen Verlinkungen, während Du eher "self-contained" Artikel bevorzugst. Das ist natürlich Geschmackssache, und da Du derjenige bist, der die viele Arbeit hineinsteckt, hast Du aus meiner Sicht auch ein Recht, den Stil des Artikels zu prägen. Ich möchte dennoch zu Bedenken geben, dass vermutlich viele Leser schnell die wesentlichen Informationen sehen wollen. Das würde für eine frühe Definition sprechen.
• Der Abschnitt Geometrische_Reihe#Konvergenzkriterium ist sich nicht ganz einig, ob die Herleitung nun in den Fließtext oder in die Infoboxen gehört. Die Schaubilder erklären ja die Formel. Warum dann noch die Zwischenschritte im Fließtext? Mein Vorschlag wäre:

Bewiesen werden kann dies über Betrachtung der Partialsummen $s_{n}:=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n}$, deren Wert lässt sich mithilfe einer geschlossenen Formel ausdrücken lässt:

$s_{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$.

Für $|q|<1$ konvergiert $q^{n}$ gegen null, also gilt

$\lim _{n\to \infty }s_{n}={\frac {1}{1-q}}$

• Im Abschnitt Geometrische_Reihe#Achilles_und_die_Schildkröte finde ich das Mitschleppen der Einheit "Meter" nicht so schön. Meines Erachtens recht es, im Fließtext das Wort "Meter" auszuschreiben und die Abkürzung "m" in den Formeln wegzulassen.
• Nicht-kursive Indizes ($x_{\text{A}}$ und $x_{\text{S}}$) finde ich etwas ungewöhnlich, auch wenn ich es in der Wikipedia des öfteren gesehen habe. Als Wissenschaftler weißt Du aber sicherlich, was in der Literatur üblich ist. Vielleicht gibt es ja sogar einen Stgandard?
• Es seien ... die Bewegungsgleichungen. Warum hier der Konjunktiv. Das sind doch die Bewegungsgleichungen.
• Durch Gleichsetzen beider Gleichungen, Umformung auf $t$ und Einsetzen von $t$ in eine der beiden Gleichungen erhält man... Mir ist unklar, was mit "Umformung auf t" gemeint ist. Ich würde es ohnehin knapper halten (da ich die Wikipedia nicht als Lehrbuch ansehe, was durch jeden Schritt einer Rechnung führen sollte): Durch Gleichsetzen erhält man ..."

--Mathze (Diskussion) 21:43, 17. Aug. 2024 (CEST)

Servus Mathze, vielen Dank für Dein sehr ausführliches Feedback! Ich werde die Tage schauen, dass ich alle Punkte abarbeite. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 08:35, 18. Aug. 2024 (CEST)

Sehr gerne. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 16:15, 18. Aug. 2024 (CEST)

Servus Mathze, habe Deine Vorschläge jetzt größtenteils eingearbeitet. Die von Dir am meisten monierten Abschnitte stammten gar nicht von mir, sondern waren Relikte aus dem früheren Artikel. Ich habe Deine Kritikpunkte hier geteilt. Das S und das A habe ich wegen der „Personennamen“ aufrecht gelassen, und $x$ durch das üblichere $s$ ersetzt. Unschlüssig war ich bei Deiner Kritik zum Konvergenzkriterium: Das Bild sollte als Ergänzung zur Herleitung dienen, die dann aber nochmal mathematisch sauber dargestellt wird. Ich persönlich sehe hier also kein Problem (ebenso wenig zur Einführung, da die Definition ja wirklich nur ein kleiner Sprung weiter unten ist ;-) ) Nochmal ganz herzlichen Dank und liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 16:48, 21. Aug. 2024 (CEST)

Hallo @Googolplexian1221, ein  Exzellenter Artikel! Vielen Dank für Deine große Mühe, die sich mit einem beachtlichen Resutat ausgezahlt hat. Wenn ich nur noch zwei Anmerkungen machen darf: 1) "Ich würde im Satz "Eine charakteristische Eigenschaft geometrischer Reihen mit ausschließlich involvierten positiven Größen ist" das Wort "involvierten" streichen, da überflüssig und unüblich und 2) ist mir unklar, was Du bei "Zu beachten ist zudem, dass die allgemeinere Form punktweise in $q$ auch andere untere Summenindizes als mit einschließt." mit "punktweise in $q$ meinst. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 20:42, 21. Aug. 2024 (CEST)

Hallo Mathze, aber gerne darfst Du, ich bitte darum! Ich habe „involvierte“ gestrichen. Mit punktweise meine ich, dass die bei der Substitution auftretende Konstante nicht universell ist, sondern von $q$ abhängt. Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 21:15, 21. Aug. 2024 (CEST)

Ah okay. Vielleicht wäre dann "...andere untere Summenindizes als $n=0$ mit einschließt, die von $q$ abhängen" oder ...andere von $q$ abhängige untere Summenindizes als $n=0$ mit einschließt" klarer? Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 21:20, 21. Aug. 2024 (CEST)

Danke Mathze, passt es so? Liebe Grüße -- Googolplexian (Diskussion) 13:10, 22. Aug. 2024 (CEST)

Hallo @Googolplexian1221, so finde ich es sehr klar und verständlich formuliert. Viele Grüße --Mathze (Diskussion) 16:19, 22. Aug. 2024 (CEST)

•  Exzellent Nach den kleineren Überarbeitungen für mich nun passend und wie üblich nicht nur umfassend, sondern gut strukturiert und verständlich aufgebaut. ∎ Viele Grüße, Alabasterstein (Diskussion) 12:36, 13. Aug. 2024 (CEST)

•  Exzellent Hier gilt das gleiche wie oben (Vermutung von Birch ...). Mir reicht es, dass geometrische Reihen gewissermaßen der Urahn der Integralrechnung sind. Da hab ich das für mich entscheidende Aha-Erlebnis. :-) Herzlichen Dank für deine Arbeit. LG --Andreas Werle (Diskussion) 07:43, 15. Aug. 2024 (CEST)

•  Exzellent Ein sehr schöner, mMn verständlicher Artikel über ein grundlegendes Thema. Ich war überrascht, wo diese Reihe überall auftaucht. Dank und Gruß --Winkekatze (Winken) 19:14, 21. Aug. 2024 (CEST)

• Der Artikel ist verständlich geschrieben ohne dass er inhaltlich merkliche Abstriche macht. Das ist für ein mathematisches Thema eine echte Leistung. Ja, man muss für die Lektüre ein Minimum an mathematischer Vorbildung mitbringen. Ohne dieses Minimum dürfte aber auch die Fähigkeit fehlen, das Thema an sich inhaltlich zu erfassen. Aus meiner Sicht klar  Exzellent ---<)kmk(>- (Diskussion) 20:05, 28. Aug. 2024 (CEST)
•  Exzellent Ich kann mich den Vorschreibern nur anschließen. Der Artikel zeigt, wie man auch mathematische Themen verständlich und interesseweckend aufbereiten kann. Und das Beste: kein einziges Mal taucht das schreckliche "Es sei …" auf:) --Dioskorides (Diskussion) 23:29, 30. Aug. 2024 (CEST)

Auswertung: Der Artikel wird aufgrund der eindeutigen Abstimmung in die exzellenten Artikel aufgenommen. Anmerkungen oder Voten, die dem entgegenstehen, gibt es nicht. -- Achim Raschka (Diskussion) 12:44, 31. Aug. 2024 (CEST)