Diskussion:Geometrische Verteilung

Erwartungswert

Der Erwartungswert (1-p)/p stimmte bei dieser Definition schon. Das Problem ist, das die geometrische Verteilung auf verschiedene Arten definiert ist.

1.Fall: X zählt Anzahl Versuche bis erster Erfolg, dieser im n-ten Versuch: $P(X=n)=p*(1-p)^{n-1}$ wobei n=1,2,3,... Dann ist

$E(X)={\frac {1}{p}},Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}$

2.Fall: Y zählt die Anzahl Versuche bis erster Erfolg, dieser im (n+1)-ten Versuch: $P(Y=n)=p*(1-p)^{n}$ mit n=0,1,2,3... (Das ist die im Artikel angegebene Version, diese zählt sozusagen die Mißerfolge oder die Versuche ohne den Erfolg.)Dann ist

$E(Y)={\frac {1-p}{p}},Var(Y)={\frac {1-p}{p^{2}}}$

Es gilt offenbar die Beziehung $Y=X+1$, wodurch auch alle Eigenschaften der einen "Def" in die andere "Def" umgerechnet werden können. Es gibt übrigens auch die Varianten, bei denen die Rollen von p und 1-p vertauscht sind.

Ich bitte um Korrektur.

Vielen Dank Jürgen Lorenz

Verteilungsfunktion

Zitat: Die kumulierte Verteilungsfunktion der geometrischen Verteilung ergibt sich zu: $\sum _{n=1}^{N}P(X=n)=1-(1-p)^{N}$

In diesem Sinne stimmt die angebene Verteilungsfunktion nicht, bzw. passt nicht zu der Definition, die für die Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist:

Zitat: $P(X=n)=(1-p)^{n}p$

Bei dieser ist die Zufallsvariable die Zahl der Misserfolge also Erfolg erst bei n+1. Die Verteilungsfunktion bezieht sich aber auf die Definition im wievielten Versuch ein Erfolg stattfindet (also n).

Ausserdem müsste es doch wohl

$\sum _{n=1}^{N}P(X=N)=1-(1-p)^{N}$

heissen, da ja von n=1 bis N summiert wird, oder?

Unterschiedliche Definition der geometrischen Verteilug

Alle hier aufgeführten Unklarheiten basieren darauf, dass es zwei Interpretationen der geometrischen Verteilung gibt. Wenn ihr bis Montag, 18. Juni 2005 Geduld habt, dann werde ich an diesem Tag den Artikel überarbeiten und damit hoffentlich solche Missverständnisse für die Zukunft vorbeugen. --Squizzz 14:54, 18. Jun 2005 (CEST)

Gedächtnislos

Die geometrische Verteilung ist zwar in einem anschaulichen Sinne gedächtnislos, nicht aber im streng mathematischen Sinne. Die Definition verlangt, dass gilt

P(X>n+k|X>n)=P(X>k)

Dies kann für die geometrische Verteilung falsch sein, wenn n und k keine ganzen Zahlen sind.

Genaueres soll bitte ein Mathematiker erläutern

Reproduktivität ?

Hallo Leute,

ehrlich gesagt, habe ich Zweifel an der Reproduktivität. Wenn ich die Wahrscheinlichkeitsfunktion für $Z=X_{1}+X_{2}$ ($X_{1},X_{2}$ i.i.d. mit Parameter $p$) via Faltungssatz berechne, so erhalte ich (für Variante B):

$P(X_{1}+X_{2}+X_{3}=z)=\left(z+1\right)p^{2}(1-p)^{z}$.

Für $Z=X_{1}+X_{2}+X_{3}$ erhalte ich (für Variante B):

$P(X_{1}+X_{2}+X_{3}=z)=({\frac {3}{2}}z^{2}+{\frac {1}{2}}z-1)p^{3}(1-p)^{z}$.

Ich kann weder eine Binomialverteilung noch eine negative Binomialverteilung erkennen.

Grüße,

Axel Kraus

Siehe auch meine Antwort bei Diskussion:Negative_Binomialverteilung. Matumio 10:34, 25. Aug 2006 (CEST)

Nachdem ich en:Geometric_distribution#Related_distributions gelesen habe denke ich auch dass es ein Fehler ist (diff der Einfügung). Ich hab's mal geändert, aber man sollte sowieso überall noch dazuschreiben welche Variante gemeint ist, nicht? Und vielleicht bei Negative Binomialverteilung die beiden Definitionen analog in "Variante A" und "Variante B" umbenennen? Matumio 14:12, 25. Aug 2006 (CEST)

"q -1"

Wenn man genau weiß, dass q<1, warum schreibt man trotzdem $p{\frac {q^{k}-1}{q-1}}$ ??? -- 12:04, 7. Nov. 2007 (CET)

Weiß man doch gar nicht. Im Falle p = 1 folgt q = 0. Des weiteren kann man ja trotzdem nichts kürzen im Falle q < 1 vorausgesetzt, oder worauf willst Du hinaus? --Tauwasser 04:30, 5. Okt. 2010 (CEST)

Herleitung der Varianz

Bei der Herleitung der Varianz verwandelt sich das Plus zwischen den beiden Summen in der dritten Zeile zu einem Minus. In der letzten Zeile steht dann auf einmal wieder Minus da. Ist das wirklich richtig so? Wenn ja, warum? (nicht signierter Beitrag von 84.57.202.18 (Diskussion) 21:45, 22. Jun. 2014 (CEST))

Das passt schon, das kommt vom Nachdifferenzieren: ${\frac {d}{dp}}(1-p)^{k}=k(1-p)^{k-1}\cdot (-1)$. Am Schluss ist die Ableitung von ${\frac {1-p}{p}}={\frac {1}{p}}-1$ gleich $-{\frac {1}{p^{2}}}$, also noch ein Minus. -- HilberTraum (Diskussion) 22:51, 22. Jun. 2014 (CEST)

Erwartungswert, 1. Herleitung

Ich halte die 1. Herleitung des Erwartungswerts der geometrischen Verteilung für unschön, da dort der Ausdruck ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} (1-p)}}$ vorkommt. Was soll dies darstellen? Die Ableitung "nach (1-p)"? Das ist in der (reinen) Mathematik nicht definiert, auch wenn es vielleicht intuitiv einleuchtend und klar ist, was gemeint ist. Bei der Funktion $\sum _{k=0}^{\infty }\,(1-p)^{k}$ handelt es sich um eine von einer Variablen (nämlich von $p$) abhängige Funktion, folglich lässt sich diese Funktion auch nur nach dieser einen Variablen, und zwar nach $p$ ableiten. Der Ausdruck ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} (1-p)}}$ ergibt demnach keinen Sinn, auch wenn natürlich klar ist, dass mit ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} (1-p)}}\sum _{k=0}^{\infty }\,(1-p)^{k}$ nichts anderes als ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} {x}}}\sum _{k=0}^{\infty }\,x^{k}$ gemeint ist. Ich mache deshalb folgenden Vorschlag als überarbeitete 1. Herleitung des Erwartungswerts:

Es gilt ${\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left(-(1-p)^{k}\right)=k(1-p)^{k-1}$. Hieraus folgt:

$\operatorname {E} (X)=p\sum _{k=1}^{\infty }k\,(1-p)^{k-1}=p\sum _{k=0}^{\infty }\,{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left(-(1-p)^{k}\right)=-p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left(\sum _{k=0}^{\infty }\,(1-p)^{k}\right)=-p{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} p}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\frac {1}{p}}$.

Was denkt ihr? (nicht signierter Beitrag von 92.229.73.103 (Diskussion) 12:35, 28. Nov. 2014 (CET))

Ja, das ist besser. Oder man könnte auch gleich q für 1-p schreiben, wie weiter oben bei der Verteilungsfunktion, und nach q ableiten. -- HilberTraum (d, m) 15:01, 28. Nov. 2014 (CET)

Wölbung

Ist die angegebene Wölbung vielleicht der Exzess? (Vgl. en:WP.) -- UKoch (Diskussion) 22:46, 15. Nov. 2015 (CET)

Entschuldigung, ich hatte da was verwechselt. Dieser Artikel und der in der en:WP widersprechen einander nicht. -- UKoch (Diskussion) 22:54, 15. Nov. 2015 (CET)