Diskussion:Gleichmäßige Konvergenz

Letzter Kommentar: vor 7 Jahren von 2A02:8109:9400:474:2007:6CB1:BA83:B86 in Abschnitt Beispiele

Offensichtlich

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Vorsicht bei offensichtlich: Meistens passieren dort die Fehler. So auch hier, denn das Supremum über die Differenzen |f_n(x) - f(x)| muss im allgemeinen keineswegs existieren. (nicht signierter Beitrag von Schotten (Diskussion | Beiträge) )

Stimmt. Bist Du mit der neuen Formulierung einverstanden? --NeoUrfahraner 07:56, 8. Jul 2006 (CEST)

Beispiele

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Wir wollen Beispiele sehn, wollen Beispiele sehn, wollen Beispiele sehn ... dum di dum Mal ehrlich: Wenn man nicht gerade Mathe-Crack ist, überfliegt man für gewöhnlich die Definitionen und schaut auf die Beispiele um zu verstehen, was da passiert ... dumm nur, wenn keine da sind. :(

Ich hab mal ein Beispiel eingefügt, Beweis fehlt zwar, ist aber recht einfach. Kann ich aber auch noch nachliefern, wenn der dazugehört. Was aussagekräftigeres fällt mir leider auch nicht ein, außer die Folge der Partialsummen der Reihendarstellung von exp(x), allerdings tu ich mir da mit dem Beweis schwer. --Fador 00:02, 15. Okt. 2008 (CEST)Beantworten
Ich habe das vorhandene Beispiel mal um eine Beweisskizze erweitert. Ausßerdem habe ich die Chance genutzt an   den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz zu illustrieren.
Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:2007:6CB1:BA83:B86 10:45, 22. Feb. 2017 (CET)Beantworten
Hab ne Frage: Ich wundere mich über den Abschnitt mit dem "rechtsseitig geöffneten Einheitsintervall" ich hätte eigentlich erwartet, dass das Supremum auch 0 beträgt für n → ∞. Stattdessen steht dort, dass das Supremum gegen 1 geht? Danke.

Reihen

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Es gibt auch glm. K. von Reihen. Es wäre schön, wenn diese hier wenigstens erwähnt wäre.. --84.174.206.2 14:22, 17. Sep 2006 (CEST)

Da Reihen nur spezielle Folgen sind, gilt alles hier gesagte auch für Funktionenreihen. Bin mir nicht sicher, ob man das erwähnen muss. --Fador 00:10, 15. Okt. 2008 (CEST)Beantworten

gleichmässige Konvergenz

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Fuer die Konvergenz von differenzierbaren Funktionen widerspricht dieser Artikel hier dem Artikel ueber Funktionenfolgen, welcher auch gleichmässige -und nicht nur punktweise- konvergenz von f selbst voraussetzt, um einen differenzierbaren Grenzwert zu erhalten. (nicht signierter Beitrag von 130.235.34.60 (Diskussion) )

Mir ist nicht klar, welchen Artikel ueber Funktionenfolgen Du meinst? Worauf beziehst Du Dich genau? --NeoUrfahraner 12:18, 15. Jan. 2007 (CET)Beantworten

Ich fände es gut, wenn bei Definitionen möglichst viel in gewöhnlicher Sprache statt in logischer Formelsprache erklärt würde. --Hanfried.lenz 07:41, 20. Sep. 2007 (CEST).Beantworten

Das gilt insbesondere für die "gleichmäßige Knvergenz in einem Punkt". --Hanfried Lenz 07:11, 21. Nov. 2007 (CET).Beantworten

die Definition über Quantoren ist falsch, x darf sehr wohl von (klein-) n abhängen! (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag – siehe dazu Hilfe:Signatur – stammt von 79.207.178.151 (DiskussionBeiträge) 15. Sep. 2008, 14:19)

Da ist gar nichts falsch. Deine Änderung führt zu keiner Änderung der Definition (siehe auch Quantor#Mehrfach quantifizierte Satzformeln). --Sabata 14:43, 15. Sep. 2008 (CEST)Beantworten

Das Beispiel

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Mit leichter Überraschung habe ich wiedererkannt, dass ich es war, der das Beipiel letzten Dezember entfernt hatte und das jetzt wieder unverändert im Artikel ist. Meine Geschwafel bezüglich des "y" ist mir heute auch unverklärlich - verständlich finde ich das Beispiel aber immernoch nicht. Und das fängt bei der Definition an: Wo läuft   drauf hinaus? Irrationale Zahlen + eine von n ahbhängige Teilmenge der Brüche.   heißt doch "p senkrecht auf q"?!? Ist damit   gemint? Oder gar ggt(p,q) =1?

Schließlich ist das ein nichttriviales Beispiel, eine Erörterung, warum es das macht was es soll (und/oder ne Quellenangabe) wäre hier mMn angebracht. --χario 21:17, 10. Sep. 2009 (CEST)Beantworten

Hallo χario! Hm, nachdem das Beispiel gestern wieder eingefügt wurde, habe ich es mir kurz angesehen und glaubte, dass es offensichtlich richtig ist. Aber jetzt, wo Du es sagst, fällt mir auf, dass ich mit der Bedingung „ “ auch nichts anfangen kann. Wenn man sich aber vorstellt, das „ “ stünde einfach nicht dabei, dann ist das Beispiel richtig. (Im Folgenden meine ich mit der Menge   immer die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null, also  .) Die Menge   ist die Menge aller irrationalen Zahlen vereinigt mit der Menge der rationalen Zahlen  , die eine Darstellung als Bruch als   besitzen, bei der der Nenner betraglich kleiner als   ist. („Wörtlich“ steht da, dass y eine Darstellung als Quotient von ganzen Zahlen   besitzt, bei der   größer als Null aber kleiner als   ist.)
Die angegebene Funktionenfolge   definiert durch
 
konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl   liegt in allen  , bei denen   betraglich größer als der Nenner in der vollständig gekürzten Darstellung des Bruches   ist. Andererseits gibt es aber zu jeder Zahl   aus irgendeiner   Zahlen außerhalb der  , die beliebig nah an   dran liegen (Der Schnitt einer   mit einem beliebigen Intervall enthält immer nur endlich viele rationale Zahlen, jedes beliebige Intervall enthält aber unendlich viele rationale Zahlen.). Also konvergiert die Folge   in keinem Punkt gleichmäßig.
Übrigens braucht man in der Definition der   nicht zu fordern, dass die Null mit dazu gehört, weil sie sowieso wegen   für alle   immer drin ist.
Wenn ich was schlecht erklärt haben sollte, sage mir das bitte. MfG Stefan Knauf 23:16, 10. Sep. 2009 (CEST)Beantworten
Die Bezeichnung   steht seit längerer Zeit bei Mathematische Symbole#Teilbarkeit. Sie ist aber bei diesem Beispiel in der Tat obsolet. Noch formaler und besser könnte man die   Mengen folgendermassen aufschreiben:
 
Da aber, aus   auch   folgt, braucht man   nicht. Wenn   wegfällt, dann braucht man, wie oben erwähnt, auch   nicht mehr. Wichtig bei diesem Beispiel ist, dass es nicht nur den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmässiger Konvergenz sonder auch zwischen punktweiser und gleichmässiger Konvergenz in einem Punkt zeigt. --Alexandar.R. 08:46, 11. Sep. 2009 (CEST)Beantworten
Hallo Alexandar! So wie Du es heute Morgen in den Artikel eingebaut hast, finde ich es auch formaler und besser. Ich denke aber, dass man „ ...“ nur in der Logik oder Mengenlehre so schreiben würde. In allen anderen Bereichen der Mathematik würde man meiner Einschätzung nach die Schreibweise „ ...“ bevorzugen. Diese Schreibweise ist genauso formal und ich glaube, dass sie für die meisten Leute besser verständlich ist. Wenn es Dich nicht stört, werde ich es zu dieser Schreibweise ändern. MfG Stefan Knauf 16:12, 11. Sep. 2009 (CEST)Beantworten


Klick! Merci für eure Antworten! " " hab ich bei Teilerfremdheit nicht gefunden, aber in en:coprime hätte ichs finden können... Zur Mengennotation: wir fügen ja wieder Teilmengen der rationalen Zahlen hinzu...Warum das nicht deutlich machen:  . Die Existenzquantoren sind glaub ich gar nicht nötig, da sie impliziert werden durch y=p/q. Der natürliche Nenner schränkt nix ein, lässt aber einige Formulierungen einfacher werden.

Stefans Erklärung im Artikel unter dem Beispiel würde es für mich abrunden, hier mein Formulierungsvorschlag:

...konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Denn jede rationale Zahl   liegt in allen  , deren   gleich oder größer ist als der Nenner in der gekürzten Darstellung des Bruches  . Andererseits liegen im Schnitt einer   und einem beliebigen Intervall immer nur endlich viele rationale Zahlen. Daher gibt es zu jedem   und jeder Zahl   stets (unendlich viele rationale) Zahlen, deren Abstand zu   beliebig klein ist und die nicht in   liegen. Also konvergiert die Folge   in keinem Punkt gleichmäßig.

Danke und Grüße, --χario 17:13, 11. Sep. 2009 (CEST)Beantworten

Mit dem Text bin ich einverstanden. Die Notation gefällt mir auch. Im Prinzip mag ich solche Erklärungen nicht, da sie wie Beweisersatz aussehen. Anderseits ist eine Enzyklopädie kein Ort für vollständige Beweise. Ich werde deshalb nicht gegen das Einfügen des Textes sein. --Alexandar.R.
Nein, keine ganzen Beweise, aber zentrale Argumentationen sollten mMn eben schon sein. Ich hatte mal nen Prof, der hätte den zweite Satz im Kasten schon als gültigen Beweis gesehen: Jaja, der Rest ist offensichtlich. Ich würde Stefan den Einfügedit überlassen, da's sein Text ist. :-D . --χario 19:38, 11. Sep. 2009 (CEST)Beantworten
Hallo χario! Ich hätte Dir das Einfügen überlassen, weil Du die Erklärung ja für notwendig hieltest. Ich habe sie aber gerade mal eingefügt, weil ich finde, dass auch mathematische Artikel verständlich sein sollten, und an der Verständlichkeit zu zweifeln ist, wenn Du den Artikel nicht verstehst, und Du mich ja quasi ums Einfügen gebeten hast. Hier laufen zwar auch so Querulanten rum, die Kopieren und Einfügen innerhalb der Wikipedia für lizenzwidrig halten, aber wenn jemand fremden Text von der Diskussionsseite kopiert und das auch im Bearbeitungskommentar erwähnt, sollte man da nichts ernsthaft gegen haben können. MfG Stefan Knauf 19:07, 12. Sep. 2009 (CEST)Beantworten
Ich hab ja nur leichte Formulierungsänderungen gemacht, ich sehe bei dir das Urheberrecht. Danke auf jeden Fall, ich hab die Def. der A_n noch geändert (s.o.), insbesondere auch weil dadurch ein "betraglich" weg fallen konnte. --χario 19:31, 12. Sep. 2009 (CEST)Beantworten

Nicht kanonisch: Aus gleichmäßig konvergent in jedem Punkt folgt eben nicht...

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Fällt mir ja grad so auf: "f stetig in jedem Punkt -> f stetig" , "f diffbar in jedem Punkt -> f diffbar" Hier gilt das aber nicht, weshalb das auch noch etwas hervorgehoben werden könnte, oder? --χario 19:38, 11. Sep. 2009 (CEST)Beantworten

Hallo χario! Ich finde, dass im Abschnitt Gleichmäßige Konvergenz in einem Punkt schon deutlich genug steht, dass aus gleichmäßiger Konvergenz in jedem Punkt noch keine gleichmäßige Konvergenz folgt. Dass das so gilt, ist auch ganz natürlich, weil gleichmäßige Konvergenz eine globale Eigenschaft der Funktionenfolge ist, während Stetigkeit und Differenzierbarkeit lokale Eigenschaften sind. „Globale“ Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit wird ja einfach als Stetigkeit bzw. Differenzierbarkeit in jedem Punkt definiert. MfG Stefan Knauf 19:07, 12. Sep. 2009 (CEST)Beantworten
Ich habs einfach mal für F noch ausformuliert, ich fand die Inklusionskette nicht "auffällig" genug :-) BTW: mathbb kannste weglassen \Z, \R usw funktioniert auch. --χario 19:31, 12. Sep. 2009 (CEST)Beantworten
Es gibt ja Gleichgradige Stetigkeit und Gleichmäßige gleichgradige Stetigkeit. Aber tolle Ergänzungsvorschläge fallen mir spontan nicht ein. --Alexandar.R. 20:51, 14. Sep. 2009 (CEST)Beantworten