Diskussion:Hilbertraum

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Verlinkung von Heise/Telepolis

Der Telepolis-Artikel Unendlich viele Weltenblasen und Doppelgänger (vom 2. März 2003) linkt hier hin. Und auch Google hat diesen noch recht kurzen Artikel auf Platz eins. Wer also dazu was schreiben kann fühle sich hiermit ermuntert ... :-) --Kurt Jansson 16:21, 4. Mai 2003 (CEST)

Oh Schreck :-) Da werden wir wohl noch was tun müssen :-) --DaTroll 14:05, 20. Mai 2004 (CEST)

Artikel ist hier zu finden. Riecht nach Quantengravitation. Siehe auch folgende Suche. IMHO ist Theoriefindung. Gruß --17387349L8764 (Diskussion) 16:15, 12. Mär. 2022 (CET)

Ist "endlich dimensional" und "unendlich dimensional" (also jeweils als zwei getrennte Wörter) Neuschreib, oder immer noch falsch?

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Illustrationen

Hallo. Ich bin mir nicht sicher, ob das Bild zum Hilbertraum wirklich ein mehr an Anschauung bringt:

Man sieht nicht den Raum, in den der 3-d Unterraum eingebettet ist. Kunststück, wie denn auch bei einem unendlichdimensionalen Vektorraum. ;) Außerdem sind die Koordinatenachsen mit Ket-Vektoren beschriftet, die nicht mal jeder Mathematiker kennt.

Ich sehe da Diskussionsbedarf für das Bild,und inwiefern es Sinn macht, da mehr Anschauung als 'der C^n ist ein Hilbertraum' zu geben. --Krlkch 20:23, 1. Jul 2006 (CEST)

Ich kann mir auch nicht vorstellen, dass das Bild wirklich irgendjemand hilft. --NeoUrfahraner 21:31, 1. Jul 2006 (CEST)

Hilbertraum und Dual isomorph?

Ich lese hier wie auch an anderer Stelle, daß ein Hilbertraum und sein Dual isomorph seien. Meines Wissens sind Hilbertraum und Dual aber anti-isomorph, da die Abbildung $H\rightarrow H^{\prime },x\mapsto \langle \cdot ,x\rangle$ antilinear ist (also mit komplexer Konjugation)? Weiß jemand genaueres? --Jckr 21:24, 15. Jul 2006 (CEST)

Das kommt wirklich darauf an, welcher der beiden Eingänge des (komplexen) Skalarproduktes der antilineare und welcher der lineare ist, man sich also entscheidet, ob man Mathematiker- oder Physikerkonventionen folgen will. Man definiert sich dann natürlich den Isomorphismus so, dass der lineare Eingang frei bleibt und der antilineare benutzt wird, um dort den Vektor x reinzustecken, der das Funktional x' repräsentiert. Wer will, kann das natürlich auch genau andersherum machen, so dass der 'Isomorphismus' nicht mehr linear, sonder antilinear ist. Das bringt aber allerdings auch keine neue Erkenntnis, außer dass man sich nicht mehr mit linearen Abbildungen beschäftigt. --R. Möws 23:57, 19. Jul 2006 (CEST)

OK, vielleicht war meine Frage etwas unpräzise. Ich nehme an, daß das Skalarprodukt im ersten Argument linear ist, d.h., die o.g. Abbildung $H\rightarrow H^{\prime }$ ist definitiv antilinear. Man kann auch nicht die andere Abbildung $x\mapsto \langle x,\cdot \rangle$ nehmen, da $y\mapsto \langle x,y\rangle$ nicht linear (sondern antilinear), also nicht in $H^{\prime }$ wäre. Und meines Wissens ist ein Isomorphismus von Vektorräumen immer linear. Meine Frage bezog sich darauf, ob es vielleicht eine andere Abbildung gibt, bzgl. der ein Hilbertraum und sein Dual isomorph sind. Nur dann wäre nämlich die entsprechende Aussage aus dem Artikel richtig. --Jckr 20:38, 23. Jul 2006 (CEST)

Du hast völlig Recht. Da oben war ich ein wenig unachtsam. Man kommt nicht umhin, dass die Abbildung im komplexen Fall semilinear wird. Im reellen Fall ist der Hilbertraum isomorph zu seinem Dualraum, im komplexen Fall ist die Abbildung nur ein semilinearer Isomorphismus. Ich wäre dafür, diese Eigenschaft nicht anti-isomorph, sondern semi-isomorph zu nennen. Es bleibt ja trotzdem viel Struktur erhalten. Die beiden Bücher, in die ich mal eben geguckt habe, haben auch nur diesen kanonischen Isomorphismus erwähnt. (siehe R.Wüst, Höhere Mathematik für Physiker und Mathematiker, 2. Auflage, Band 1, S.424 und G.Fischer, Lineare Algebra, 13. Auflage S.343) --R. Möws 11:03, 24. Jul 2006 (CEST)

Letztlich haengt es alles von den Definitionen ab. Alt nennt die entsprechende Abbildung im Riesz'schen Darstellungssatz einen isometrisch konjugiert linearen Isomorphismus. Mit konjugiert linear meint er genau das, was in dieser Diskussion als antilinear bezeichnet wird. Letzterer Begriff ist IMHO eher in der Physik und nicht in der Mathematik gebraeuchlich. Insgesamt gehoert diese Diskussion aber IMHO eher zum Riesz'schen Darstellungssatz, in diesem Artikel ist isometrisch isomorph denke ich voellig ausreichend. --P. Birken 11:38, 24. Jul 2006 (CEST)

Ich habe den Artikel mal entsprechend geändert und den Begriff "semilinear" verwendet, da er sich am besten verlinken läßt. Die Aussage, ob ein Hilbertraum und sein Dual isomorph oder anti-/semi-/konjugiert isomorph sind, gehört meines Erachtens schon hierher, wenn man es denn erwähnt. Und im deutschen Artikel zum Rieszschen Darstellungssatz wird darauf noch gar nicht eingegangen. -Jckr 21:18, 27. Jul 2006 (CEST)

Ja, der Artikel zum Darstellungssatz ist noch stark verbesserungswuerdig :-) Deine Aenderungen finde ich gut, wobei ich das "nur" streichen wuerde. Semilinear ist nicht "weniger" als linear. --P. Birken 10:29, 28. Jul 2006 (CEST)

Wähle eine Orthonormalbasis, dann ist die Konjugation auf den Koordinaten ein semilinearer Automorphismus (allerdings nicht kanonisch im Gegensatz zur Riesz-Abbildung).--Gunther 18:09, 30. Jul 2006 (CEST)

Hallo Leute, habe da mal etwas Kritik zu üben. Es ist nicht jeder Hilbertraum isometrisch isomorph zu seinem Dualraum! Beispielsweise ist die Abbildung $\delta \in L^{2}(\mathbb {Z} )^{*}$ ein Element aus dem Dualraum von $L^{2}(\mathbb {Z} )$, mit $f\in L^{2}(\mathbb {Z} ),\delta (f)=f(0)$. Diese Abbildung lässt sich nicht als Skalarprodukt mit einem Element aus $L^{2}(\mathbb {Z} )$ darstellen. MfG Konstantin 3.2.2007 (CET)

Wenn Funktionalanalytiker vom Dualraum reden, meinen sie meist den topologischen und nicht den algebraischen. Das $\delta$-Funktional ist aus dem zweiten, aber nicht dem ersten, weil es nicht stetig ist. Insoweit sollte man das im Artikel spezifizieren, welchen Dualraum man meint. Ich hab das mal gemacht. --R. Möws 18:05, 3. Feb. 2007 (CET)

Funktionswerte in einem Punkt sind in Lebesgue-Räumen nicht definiert, da in der Äquivalenzklasse einer L-Funktion normale Funktionen vorkommen, die jeden reellen Wert (und auch die Werte +-oo) annehmen. Dieses „Funktional“ ist also nicht mal nicht stetig.--LutzL 10:24, 2. Jan. 2008 (CET)

Und wenn man statt dem $L^{2}(\mathbb {Z} )$ den $\ell ^{2}$ nimmt, dann ist das Deltafunktional schon wieder Element des topologischen Dualraumes.--R. Möws 16:52, 3. Jan. 2008 (CET)

Ich möchte an dieser Stelle nochmals auf das obige Beispiel zurückkommen. Falls $L^{2}(\mathbb {Z} )$ den $L^{2}$-Raum bezüglich dem Zählmass auf $\mathbb {Z}$ bezeichnet, ist das Deltafunktional sehr wohl stetig und somit im topologischen Dualraum. Dargestellt wird es durch die Funktion, die der 0 eine 1 zuordnet und allen anderen Werten eine 0.

Etwas anders sieht es aus, wenn man $\mathbb {Z}$ durch $\mathbb {R}$ ersetzt. --UrsZH 21:39, 3. Jan. 2008 (CET)

trivia

warum ist es wissenswert, dass in manchen unis einige zimmer als hilbertraeume bezeichnet werden? und warum ist es wissenswert, dass die uni in goettingen eine davon ist? bis vor kurzem wurde ja auch noch die tum genannt. die uni karlsruhe koennte man ebenfalls anfuehren und vermutlich noch mehr. aber warum? im banachraum-artikel wird doch auch nicht der bananachraum-witz erzaehlt. -- seth 17:11, 1. Mär. 2007 (CET)

Ich finde es deshalb wissenswert, weil es ein kleines Schlaglicht auf den an einigen mathematisch-naturwissenschaftlichen Fakultäten gepflegten akademischen Humor wirft. Der Göttinger Hilbertraum ist deshalb erwähnenswert, weil Göttingen eben auch Wirkungsstätte von Hilbert war. Der Banachraum-Artikel könnte meinetwegen auch genausogut den "bananachraum-witz" erzählen. Aber mein Herz hängt nicht daran, und ich werde die Anmerkung über als Hilbertraum bezeichnete Räumlichkeiten nicht wieder einfügen, wenn sie jemand entfernen sollte. (In jedem Fall ist es meiner Meinung nach nicht sinnvoll, wenn alle an irgendwelchen Unis existierenden Hilberträume aufgezählt werden.) —Tobias Bergemann 22:28, 1. Mär. 2007 (CET)

nach dem Motto "im zweifel fuer die information" loesche ich den abschnitt dann erstmal nicht noch mal, solange sich niemand weiteres gegen den abschnitt aeussert. allerdinge schreibe ich ihn um, weil z.b. die sache, dass der sprachwitz sich nicht so leicht uebersetzen laesst, imho wirklich irrelevant ist. -- seth (84.57.255.13) 01:31, 4. Mär. 2007 (CET)

Danke. — Tobias Bergemann 09:29, 4. Mär. 2007 (CET)

Dann darf ich zwei Jahre später aber doch sicher, oder? Mal ehrlich: Wenn wir jeden blöden Wortwitz mit einem Artikel versehen würden... --Scherben 12:56, 16. Apr. 2009 (CEST)

Heutzutage gibt es zig Konferenzräume die Einstein etc. heißen. Es gibt Straßennamen wie Röntgenstraße etc. das ist Normal. Die Wikipedia-Seite Handling trivia (EN) gibt eine Idee, wie man damit umgehen sollte bzw. kann. Meine Stimme wäre für entfernen. Gruß --17387349L8764 (Diskussion) 16:20, 12. Mär. 2022 (CET)

Ja wie lange soll die Liste der Universitäten mit Hilbert-Räumen eigentlich noch werden?--Christian1985 (Disk) 19:24, 13. Jul. 2013 (CEST)

Sicher muß man nicht die ganze Liste aufführen, aber die Tatsache als solche (dass das eine häufige Namensgebung ist) kann man schon erwähnen.--Pugo (Diskussion) 19:59, 11. Jun. 2016 (CEST)

Diesen von Dir nun wieder eingefügten Satz kann man vermutlich auch in die Artikel Banachraum und Minkowski-Raum kopieren. Ich halte auch diesen kurzen Satz für überflüssig.--Christian1985 (Disk) 20:28, 11. Jun. 2016 (CEST)

Es gibt aber nun einmal mehr Hilberträume, was ja auch etwas aussagt.--Pugo (Diskussion) 18:14, 12. Jun. 2016 (CEST)

Das steht aber nicht im Artikel und wird wohl extrem schwer zu belegen sein.--Christian1985 (Disk) 17:45, 13. Jun. 2016 (CEST)

Einleitung ungenau: zu speziell

In der Einleitung heißt es "[Der Hilbertraum] ist ein Spezialfall eines Innenproduktraums, d. h. ein Vektorraum über den reellen Zahlen oder den komplexen Zahlen mit einem Skalarprodukt". Das stimmt nicht, denn neben den reellen und komplexen Zahlen gibt es ja andere Körper, über denen man einen Hilbertraum aufspannen könnte. Es muss so formuliert werden, dass R und C als Beispiele erkennbar sind, statt als einzige Möglichkeiten.

Mark Roberts --89.182.9.235 13:32, 16. Aug. 2010 (CEST)

Zum Beispiel? Einen Innenproduktraum kann man auch über den rationalen Zahlen konstruieren, aber für einen vollständigen muss der Körper die reellen Zahlen enthalten. Gibt es Quellen, in denen Quaternionen als Skalarkörper verwendet werden? Werden Innenprodukträume über endlichen Körpern tatsächlich als Hilbertraum bezeichnet?--LutzL 13:58, 16. Aug. 2010 (CEST)

Gibt es denn Skalarprodukte über endlichen Körpern? Für Körper mit endlicher Charakteristik gibt es keine Anordnung, also kann es auch kein positiv definites Skalarprodukt geben. -- Digamma 15:30, 16. Aug. 2010 (CEST)

OK. Soweit habe ich das nicht verfolgt. Dann bleiben noch die Quaternionen übrig, könnte aber wegen deren Nichtkommutativität auch Schwierigkeiten geben, eine Sesquilinearform korrekt zu definieren.--LutzL 16:09, 16. Aug. 2010 (CEST)

@Digamma: Der Vektorraum $\mathbb {R} ^{1}$ über den Körper $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ hat z.B. das Standardskalarprodukt. Also ja, es gibt Skalarprodukte für Vektorräume über endlichen Körpern. --Martin Thoma 17:23, 22. Aug. 2012 (CEST)

Hängt vom Skalarproduktbegriff ab und ist für diesen Artikel egal. --Chricho ¹ ² ³ 17:35, 22. Aug. 2012 (CEST)

Quaternionen sollten übrigens kein Problem machen, einfach jede komplexe Einheit konjugieren für die Sesquilinearform und man hat die gewünschten Eigenschaften. Bloß macht man das normalerweise nicht, normalerweise setzt man schon beim Vektorraum voraus, dass der Körper kommutativ ist. --Chricho ¹ ² ³ 17:38, 22. Aug. 2012 (CEST)

Definition über Cauchy-Folge

In der Definition steht "in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert". Ist das nicht tautologisch? Cauchy-Folgen sind doch gerade so definiert, dass sie Folgen beschreiben, die für ein Epsilon usw. konvergieren. Kann mir das jemand erklären? -- Gut informiert 13:31, 27. Jan. 2011 (CET)

Bitte schaue in eine Analysisbuch Deines Vertrauens, was den Unterschied zwischen normierten und vollständigen normierten Räumen ausmacht. Konvergente Folgen sind Cauchy-Folgen, aber nur in vollständigen metrischen Räumen gilt die Umkehrung (dann definitionsgemäß). Es gibt z.B. rationale Cauchy-Folgen, die in den rationalen Zahlen nicht konvergieren. Die meisten Cauchy-Folgen im Raum der Polynome, mit irgendeiner Norm auf den Koeffizientenfolgen, konvergieren nicht als Polynome, sondern erst in der Vervollständigung als (je nach Norm auch formale) Potenzreihen. Etc.--LutzL 14:27, 27. Jan. 2011 (CET)

Dasselbe im Beispiel: Die in Q definierte Cauchyfolge 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... (nimm immer noch eine Dezimalstelle von sqrt(2) dazu) konvergiert ebendort nicht. Hiermit ist bewiesen, daß Q nicht vollständig ist. R ist vollständig, weil dort - wenn Du so willst zufällig - alles konvergiert.--91.34.253.134 20:08, 3. Sep. 2013 (CEST)

Unvollständige $\mathbb {R}$- oder $\mathbb {C}$-Vektorräume

Natürlich ist $\mathbb {Q}$ ein gut verständliches Beispiel für Unvollständigkeit. Allerdings ist $\mathbb {Q}$ bestenfalls Vektorraum über $\mathbb {Q}$ selbst (nämlich ein eindimensionaler) und mithin natürlich nicht für einen Prähilbertraum. Ein Prähilbertraum, der nicht automatisch schon ein Hilbertraum ist, muss also mindestens ein $\mathbb {R}$-Vektorraum und dennoch unvollständig sein. Ein Beispiel dafür ist etwa der Raum der Funktionen, die auf einer kompakten Menge (z.B. $[-1,1]$) stetig sind, mit $\int _{-1}^{1}f(x)g(x)$ als Skalarprodukt. Die Funktionenfolge $f_{n}(x)=\tanh(nx)$ konvergiert gegen eine Funktion, die in 0 nicht stetig ist und damit die Bedingungen nicht erfüllt.--Slow Phil (Diskussion) 15:39, 28. Apr. 2014 (CEST)

Je nach Geschmack ist der Teilraum der endlichen Folgen (fast alle Folgeglieder null) unter den unendlichen Folgen mit 1- oder 2-Norm ein einfacheres Beispiel. Beispiele konvergenter Reihen, deren Koeffizienten keine endlichen Folgen bilden, gibt es dann viele.--LutzL (Diskussion) 18:25, 28. Apr. 2014 (CEST)

Neueste Erweiterung der Einleitung

Kann mal bitte einer der Beteiligten erklären, wie die Wortneuschöpfung

eine Zusammenfassung der Dimension vieler reeller bzw. komplexer Werte

zu verstehen ist? Was ist "Zusammenfassung", welche Werte werden zusammengefasst?

Was sind "Komponenten" eines endlichdimensionalen Vektorraumes, vor allem wenn kurz vorher von "kartesischen Koordinaten" gesprochen wurde?

Was hat in der Kurzübersicht die Trivialität verloren, dass in einem endlichdimensionalen Vektorraum maximal endlich viele Koordinaten den Wert Null annehmen können?

Ist es bekannt, dass Summen immer endlich sind, und dass man bei unendlich vielen Summanden erstens von Reihen spricht und zweitens sowieso eine Topologie braucht? Wäre es nicht sinnvoller, an dieser Stelle zu sagen, dass ein Hilbertraum immer auch ein Banachraum ist und man deshalb auch konvergente Reihen betrachten kann?

Was ist der Sinn des letzten Teilsatzes? In welchem Teilraum eines Hilbertraumes sind nur abzählbar viele Komponenten von Null verschieden und was hat das mit der allgemeinen Übersicht zu tun?

Wollte jemand was zu orthonormalen Systemen und Basen in Hilberträumen schreiben? Warum wird das dann nicht direkt getan?
LutzL (Diskussion) 15:58, 3. Aug. 2012 (CEST)

In einer Einleitung muss man ein wenig informell bleiben, daher erfolgt keine Präzisierung des Summenbegriffs. Sinn der Einleitung ist, darzulegen, dass Hilberträume eine ganz bestimmte, einfach zu verstehende Struktur haben, und unter welchen Operationen sie insbesondere abgeschlossen sind. Ich denke, die Bemerkung, dass man dort im Gegensatz zu einem Vektorraum gewisse unendliche Summen hat, ist entscheidend, und auch verständlich, wenn man keine Ahnung von Topologie hat. Denn in Anwendungen, etwa bei Physikern, gibt es ständig irgendwelche unendlichen Summen, wenn diesen dann klar gemacht wird, dass diese auf der Hilbertraum- und nicht allein auf der Vektorraumstruktur beruhen, ist meiner Meinung nach einiges gewonnen.

Mit Komponenten beziehe ich mich auf die Komponenten in der Darstellung bezüglich einer Basis im Falle eines Vektorraums, bzw. Orthonormalbasis im Falle eines Hilbertraums. Von einer Einschränkung auf endlichdimensionale Vektorräume steht da nichts, doch allgemein sind von einem Element eines Vektorraums bezüglich einer Basisdarstellung nur endlich viele Komponenten ungleich null, bei einem Hilbertraum bezüglich einer Orthonormalbasisdarstellung nur abzählbar viele. --Chricho ¹ ² ³ 16:19, 3. Aug. 2012 (CEST)

Komponenten gibt es von Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren, endlich wie unendlich. Die Zahlen, die zu einer Basis gehören, nennen sich Koordinaten. In dem Sinne sind die Koordinaten zur jeweiligen kanonischen Basis natürlich die Komponenten, aber nur für diese speziellen Vektorräume. -- Man sollte vermeiden, falsches zu schreiben, wenn man nachher dann umständlich erklären muss, dass es falsch ist. Wenn, dann "unendliche Reihen (d.h., Summen mit unendlich vielen Summanden)". Ich habe nichts dagegen, dass der topologische Abschluss diskutiert wird, nur sollte man auch da Halbwahrheiten vermeiden, Hilberträume sind in dieser Hinsicht auch nur Banachräume, deren Norm durch das Skalarprodukt definiert ist. -- Natürlich steht da jetzt ein Halbsatz zu endlichdimensionalen Hilberträumen drin. -- Und bezüglich "nur abzählbar viele Koordinaten von Null verschieden" hätte ich gern eine Literaturstelle. Das ist offensichtlich richtig für Elemente, die sich als Reihe in einer orthonormalen Basis darstellen lassen, aber ist es auch richtig für den gesamten topologischen Abschluss der linearen Hülle eines überabzählbaren Orthonormalsystems?--LutzL (Diskussion) 16:37, 3. Aug. 2012 (CEST)

PS: Und zu dem scheußlichen Deutsch in der zuerst angesprochenen Phrase hast Du Dich noch nicht geäußert. Was ist eine "Zusammenfassung der Dimension"?--LutzL (Diskussion) 16:43, 3. Aug. 2012 (CEST) -- Und warum nur "vieler reeller oder komplexer Zahlen"? Welche sind denn ausgeschlossen? (soviel zu Thema allgemeinverständlich.)--LutzL (Diskussion) 16:55, 3. Aug. 2012 (CEST)

PPS: Und warum werden in einer Einleitung, wo man ja "ein wenig informell bleiben [muss]", überhaupt die feineren Punkte überabzählbar-dimensionaler Hilberträume diskutiert, wenn doch zwei Sätze drüber steht, dass den außermathematischen Hauptanwendern, den Physikern, doch sowieso meist die abzählbar-dimensionale Variante ausreicht? Manchmal ist weniger tatsächlich mehr.--LutzL (Diskussion) 16:50, 3. Aug. 2012 (CEST)

Es sind eben keine speziellen Vektorräume, denn jeder Vektorraum hat eine Basis, und um die Struktur zu beschreiben, eine Vorstellung zu vermitteln, können wir eine beliebige fixieren. Einen topologischen Abschluss kannst du nur innerhalb eines festen topologischen Raumes definieren, du kannst also nicht über topologische Abschlussbildung aus irgendeinem Orthonormalsystem einen Hilbertraum bekommen, bist du etwa in einem Prähilbertraum, der kein Hilbertraum ist, und wählst eine dichte Teilmenge, erhälst du natürlich als Abschluss des Spannes keinen Hilbertraum. Was man dagegen machen kann, ist den $\ell ^{2}(I)$ Raum für eine evtl. überabzählbare Menge $I$ definieren, der ist gerade als Menge aller Funktionen von $I$ nach $\mathbb {R}$ bzw. $\mathbb {C}$ definiert, sodass die Summe (im Sinne der unbedingten Konvergenz) der Betragsquadrate konvergiert. Wie man sich leicht überlegen kann, ist das nur möglich, wenn nur abzählbar viele Summanden ungleich null sind (ich kanns erklären, aber nur wenn dus explizit willst in dem Artikel ist es sogar explizit so definiert, kannte eine andere Definition, wo man das erst zeigen muss), strenggenommen ist das „nur abzählbar viele ungleich null“ also schon in der Quadratsummabilität enthalten, aber ich denke, man sollte das explizit sagen, damit es verständlicher ist, wenn man unbedingte Konvergenz etwa nicht kennt. Und das gilt genauso für die Darstellungen von Elementen beliebiger Hilberträume bezüglich einer Orthonormalbasis.

Mit der „Zusammenfassung von Komponenten“: Vermutlich hast du Recht, dass eine Formulierung mit Koordinaten besser ist, dachte nur, bei Koordinaten denkt man immer an den endlichdimensionalen Fall.

Warum nicht nur den separablen Fall: Der Artikel heißt eben nicht separabler Hilbertraum sondern Hilbertraum. Es ist eben keine Spitzfindigkeit, sondern zentraler Bestandteil des Begriffs eines Hilbertraums. --Chricho ¹ ² ³ 17:03, 3. Aug. 2012 (CEST)

Ich sage ja nicht, dass sowas nicht in den Artikel gehört, aber was hat das mit einer informellen, allgemeinverständlichen Einleitung zu tun? Es reicht doch zu sagen (über das, was bisher in der Einleitung stand hinaus), dass es Räume mit überabzählbarer Dimension gibt (die auch die Quantenphysiker verwenden müssen, wenn sie die Wechselwirkungen "einschalten"). Ansonsten kann man $\ell ^{2}(\mathbb {N} )$ explizit als Beispiel angeben und generell betonen, dass sich Hilberträume in vieler Hinsicht wie euklidische Räume verhalten, man hat Winkel, man hat rechtwinklige Koordinatensysteme, die Koordinaten ergeben sich durch senkrechte Projektion auf die Koordinatenachsen, d.h. durch Skalarprodukte mit den Basisvektoren, es gilt der Satz des Pythagoras. Alles weitere ist in einer Einleitung zu viel.--LutzL (Diskussion) 17:21, 3. Aug. 2012 (CEST)

Die letzte Änderung macht einen Teil des Satzes völlig aussagefrei. Abgeschlossenheit unter „konvergenten Reihen“ ist keine Aussage, denn wenn etwas gegen einen Grenzwert konvergiert, dann existiert der Grenzwert auch immer. OT: Wo haben Physiker nicht-separable Hilberträume? Kenn mich damit nicht aus… --Chricho ¹ ² ³ 16:40, 6. Aug. 2012 (CEST)

Der Unterschied ist, dass man in Banachräumen überhaupt erst sinnvoll Reihen betrachten kann, denn dazu braucht es Grenzwerte, die in der linearen Algebra erstmal gar nicht vorkommen. OT: Die wechselwirkungsfreie Darstellung des Standardmodells lebt auf dem Fockraum, der ist abzählbar als abzählbare direkte Summe von Tensorprodukten separabler Hilberträume. In der axiomatischen QFT gibt es aber den fundamentalen Satz, dass das Standardmodell mit Wechselwirkung keine separablen Darstellungen haben kann.--LutzL (Diskussion) 16:54, 6. Aug. 2012 (CEST)

So, habe es ausformuliert und in mehrere Sätze aufgeteilt und die Erwähnung, dass hier eine Topologie vorliegt, aufgenommen. Außerdem, dass Hilberträume Banachräume sind. Was meinst du mit algebraisch abgeschlossen bzw. topologisch abgeschlossen? Woher hast du diese Begriffe? Topologische Abgeschlossenheit, wie ich sie kenne, macht nur für Teilmengen eines topologischen Raumes Sinn, und algebraische nur für Körper. Danke für den QFT-Hinweis. --Chricho ¹ ² ³ 17:00, 6. Aug. 2012 (CEST)

Dann draußen lassen, ich wüsste keine Referenz dafür. Mit "Banachraum" ist das, was ich mit "topologisch abgeschlossen" ausdrücken wollte, besser erfasst. Eine Schauderbasis ergibt erst im topologischen Abschluss der linearen Hülle den gesamten Raum, das sollte mit ausgedrückt werden, war aber wohl in der Abkürzung genauso verständlich wie die "Zusammenfassung der Dimension".--LutzL (Diskussion) 17:39, 6. Aug. 2012 (CEST)

Bist du so halbwegs zufrieden? Apropos Schauderbasen: Hast du zufällig schonmal überabzählbare (unbedingte) Schauderbasen irgendwo gesehen? Im Artikel Dimension kam die Frage auf, weil dort die Hilbertraumdimension als Spezialfall einer „Schauderdimension“ aufgeführt war. Da, wo ich geguckt habe, habe ich allerdings immer nur abzählbare Schauderbasen gesehen (bei nicht unbedingten würde es etwas absurd erscheinen, da man eine überabzählbare Reihenfolge fixieren müsste, aber unbedingte Schauderbasen (also welche, bei denen es auf die Reihenfolge der Summation nicht ankommt) wären überabzählbar leicht denkbar. --Chricho ¹ ² ³ 18:11, 6. Aug. 2012 (CEST)

Ja, ist gut so. Der letzte Satz wirkt etwas deplaziert, kann aber auch als Zusammenfassung stehen. -- Schauderbasen sind wohl immer abzählbar, sie existieren aber nicht für alle separablen Banachräume. Meine Quelle (Heil: Basis Theory Primer) sagt noch was von Stetigkeit der Koordinatenfunktionale. -- Ich könnte mir vorstellen, dass ähnlich wie bei nicht-Lebesgue-Mengen, überabzählbare Hilbertraumbasen nur als Ergebnis nichtkonstruktiver Existenzbeweise auftreten. Soweit ich mich erinnere, tauchen sie (u.A.)in der Darstellungstheorie von C*-Algebren auf.--LutzL (Diskussion) 21:54, 6. Aug. 2012 (CEST)

Ne, überabzählbare Hilbertraum(orthonormal)basen sind Standard. Man kann sich ganz einfach so etwas konstruieren, wie in dem Artikel beschrieben: Als Raum der überabzählbaren, quadratsummablen Familien von Zahlen, nennt man dann $\ell ^{2}(I)$ mit einer überabzählbaren Indexmenge $I$. Nur der Beweis, dass jeder Hilbertraum so aussieht, der ist nichtkonstruktiv, siehe Satz von Fischer-Riesz. Deshalb hab ich mich ja gerade gewundert, dass es als Spezialfall der „Schauderdimension“ angegeben war. Habe jetzt gerade per Websuche doch etwas dazu gefunden, alles weitere dazu aber in Dimension. --Chricho ¹ ² ³ 22:23, 6. Aug. 2012 (CEST)

Achso, ja, Darstellungen auf solchen Räumen untersucht man durchaus – macht natürlich nur Sinn, wenn auch das, das man darstellen will, entsprechend groß ist. Kenn mich da aber überhaupt nicht aus. --Chricho ¹ ² ³ 22:41, 6. Aug. 2012 (CEST)

Danke übrigens für den Hinweis auf das Buch. --Chricho ¹ ² ³ 23:02, 6. Aug. 2012 (CEST)

Okay, das Buch scheint sich nur um abzählbare Basenbegriffe zu drehen, dafür aber in allen Varianten. ;) Trotzdem danke. Zum Artikel: Ja, das war mir auch aufgefallen, dass der Satz da jetzt einfach so in der Gegend steht, mir ist nur bislang nichts besseres eingefallen und ich denke nun auch, dass das sinnvollerweise in die Einleitung gehört. --Chricho ¹ ² ³ 23:09, 6. Aug. 2012 (CEST)

Formulierung: abzählbar, d.h. kleinstmögliche unendliche Dimension

Im Artikel steht momentan "In vielen Gebieten von besonderer Bedeutung ist „der“ Hilbertraum mit abzählbarer Dimension, d. h. mit der kleinst möglichen unendlichen Dimension" Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube die Formulierung ist falsch. Ich vermute so wäre es richtig: "In vielen Gebieten von besonderer Bedeutung ist „der“ Hilbertraum mit abzählbarer Dimension, kleinst möglicher unendlichen Dimension" Das würde aber immer noch heißen, dass nur unendlich-dimensionale Hilberträume von besonderer Bedeutung sind. Ist das so gemeint? --Martin Thoma 12:15, 22. Aug. 2012 (CEST)

abzählbar = kleinst mögliches unendlich (Auswahlaxiom angenommen). So ist das gemeint. Was ist falsch? Ich versteh nicht, was du mit der Umformulierung zum Ausdruck bringen möchtest. Die endlichdimensionalen kommen natürlich extrem häufig vor, das ist nichts anderes als der bekannte $\mathbb {R} ^{n}$ bzw. $\mathbb {C} ^{n}$ mit Standardskalarprodukt, das steht ja auch im Satz davor. Und am zweithäufigsten sinds vermutlich die abzählbardimensionalen, Physiker nennen den häufiger sogar einfach nur „den Hilbertraum“. --Chricho ¹ ² ³ 12:21, 22. Aug. 2012 (CEST)

Ich kenne das so:

Sei B eine nichtleere Menge. B heißt abzählbar $:\Leftrightarrow \exists (a_{n})\in B:B=\{a_{1},a_{2},a_{3},...\}(\Leftrightarrow \exists a:\mathbb {N} \rightarrow B$ mit a surjektiv)

Etwas weniger formal:

Die Elemente der Menge B können mit natürlichen Zahlen durchnummeriert werden.

Das können unendlich viele Elemente sein, aber eben auch endlich viele.

Was bei einer Dimension abzählbar bedeuten soll ist mir nicht klar. --Martin Thoma 12:00, 23. Aug. 2012 (CEST)

Das Wort abzählbar wird uneinheitlich benutzt, mal schließt man endliche mit ein, mal nicht. Wenn man eindeutig sprechen möchte, sagt man höchstens abzählbar bzw. abzählbar unendlich. Hilbertraumdimension = Mächtigkeit einer Orthonormalbasis (genauso wie die Dimension eines Vektorraums die Mächtigkeit einer Basis ist). Und die Dimension kann eben endlich, abzählbar unendlich oder auch überabzählbar sein. Also abzählbardimensionaler Hilbertraum = abzählbar unendliche Orthonormalbasis. „Abzählbar viele Koordinaten braucht es.“ Was ist daran unverständlich? Wie sollte man es besser machen? --Chricho ¹ ² ³ 17:35, 23. Aug. 2012 (CEST)

Genauso wie der Polynomring über einem Körper als Vektorraum abzählbardimensional (abzählbare Basis $1,x,x^{2},\ldots$) ist, sind eben zum Beispiel der Folgenraum $\ell ^{2}$ oder der Raum der quadratintegrablen Funktionen $L^{2}$ als Hilberträume abzählbardimensional, haben abzählbare Orthonormalbasen (Vorsicht, zwei verschiedene Dimensionsbegriffe!). --Chricho ¹ ² ³ 17:45, 23. Aug. 2012 (CEST)

Im eindeutigen Sinn der deutschen (englischen, etc.) Sprache ist "abzählbar" natürlich das, was bisweilen als "höchstens abzählbar" bezeichnet wird.--91.34.253.134 20:09, 3. Sep. 2013 (CEST)

Fast Periodische Funktionen

Ich wundere mich ein wenig darüber, dass die Bedeutung der fast-periodischen Funktionen darin liegen soll, dass der Raum dieser Funktionen nicht separabel ist. Wie oben schon in anderem Zusammenhang erwähnt, gibt es durchaus einfachere Möglichkeiten, nicht-separable Hilberträume zu konstruieren, nämlich \ell^2(I) für überabzählbare Indexmenge I. Wenn es also nur um einen Existenzbeweis geht, dass es nicht-separable Hilberträume gibt, dann braucht man keine fast-periodischen Funktionen... Deshalb die Frage: Gibt es einen anderen Grund, warum man sich fast-periodische Funktionen anschauen sollte? Werden die vielleicht für irgendwas gebraucht? Oder waren das vielleicht historisch die ersten bekannten Beispiele für nicht-separable Hilberträume? Weiß da jemand was dazu? Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:39, 22. Aug. 2012 (CEST)

Ich nehme mal an, das soll einfach ein interessantes Beispiel für einen nicht-separablen Hilbertraum sein, in der englischen Wikipedia findet man mehr, etwa en:Almost periodic function und en:Bohr compactification. $\ell ^{2}(I)$ ist halt etwas langweilig, $L^{2}$ auf einer nicht A2 lokalkompakten topologischen Gruppe wäre ein noch generischeres Beispiel, vllt. geringfügig interessanter. Nach Aussage von LutzL gibt es auch in der QFT noch welche. --Chricho ¹ ² ³ 13:53, 22. Aug. 2012 (CEST)

Danke für die Links zur en-Wikipedia (hätte ich auch selbst drauf kommen können, da mal nachzuschauen, bin ich aber nicht). Es scheint also wirklich mehr Anwendungen für past-periodische Funktionen zu geben, als nur dass der dazugehörige Hilbertraum nicht separabel ist. --Cosine (Diskussion) 10:34, 23. Aug. 2012 (CEST)

Jeder Hilbertraum ist separabel??

Das folgende steht momentan im Artikel unter dem Abschnitt "Orthogonalität und Orthogonalsysteme": Mittels des Lemmas von Zorn lässt sich zeigen, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt (es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden).

ABER: Auf der Seite "Separabler Raum" (https://de.wikipedia.org/wiki/Separabler_Raum) unter Gegenbeispielen steht: Der Raum der fast-periodischen Funktionen ist ein Beispiel eines nicht-separablen Hilbertraums.

Bin mir nicht zu 100% sicher, aber ich denke, dass das Gegenbeispiel stimmt und somit NICHT jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt, da das (ONB) ja dazu äquivalent ist, dass er separabel ist. (Richtig?)(nicht signierter Beitrag von 37.201.6.252 (Diskussion) 22:09, 7. Apr. 2018 (CEST))

Deine letzte Ausage ist gerade nicht richtig: Separabilität ist äquivalent zur Existenz einer abzählbaren Orthonormalbasis, nicht einer beliebigen. Was in den Artikeln steht, stimmt schon so. --Chricho ¹ ² ³ 22:26, 7. Apr. 2018 (CEST)

Bezug auf Metrik

Vollständigkeit hängt von der Menge ab und von der gewählten Metrik. Eine Metrik kann mithilfe einer Norm definiert werden, muss aber nicht. Kann es auf einem Vektorraum mit Skalarproduktnorm verschiedene Metriken geben? Wenn ja: Ob man in der Definition des Hilbertraums nicht fordern muss, dass die von der Skalarproduktnorm induzierte Metrik zu verwenden ist? --QuodScripsiScripsi (Diskussion) 11:44, 24. Aug. 2023 (CEST)

Dass man die von der Norm verwendete Metrik verwendet, versteht sich von selbst. Man kann die Vollständigkeit auch ohne die Metrik direkt mit der Norm formulieren. Natürlich könnte man auf einem mit einer Norm versehenen Vektorraum auch ganz andere Metriken verwenden, aber das müsste man dann extra sagen. --Digamma (Diskussion) 21:40, 24. Aug. 2023 (CEST)