Diskussion:Homotopie

Was ist S^1? Fuer mich ist es {z in C | |z| = 1}, also schon Teil von R^2.--Gunther 13:40, 25. Feb 2005 (CET)

Ich habe an $S^{1}=[0,2\pi ]/\{0\sim 2\pi \}$ gedacht. Ursprünglich stand da Abb. vom Interval $[0,2\pi ]$ nach $R^{2}$. Doch wie gesagt ist für Kurven (nicht relative) Homotopie ziemlich trivial, daher meine Änderung. Hast Du eine Idee für ein besseres Beispiel? Man kann es natürlich umformulieren: $f,g:S^{1}\to R^{2}$, f=Id und g=0. --Yonatan 14:22, 25. Feb 2005 (CET)

Ich habe auch schon nachgedacht, wie man das verbessern koennte, denn wenn man $S^{1}$ als Unterraum von $R^{2}$ definiert, wird die Trennung zwischen $X$ und $Y$ verunklart. (Andererseits finde ich Teilmengen von $R^{2}$ extrem anschaulich.) Ein gutes Beispiel (das als "erstes Beispiel" sicherlich ungeeignet ist) waere noch die Kontraktion von $R^{2}\setminus 0$ auf $S^{1}$. Man kann dabei gut erkennen, wozu so eine Homotopie in der Lage ist. Das Torus-Beispiel aus Fundamentalgruppe ist eigentlich auch schoen, erfordert aber entweder raeumliches Vorstellungsvermoegen oder die Faehigkeit, den Bezug zwischen Quadrat und Torus zu verstehen, und das ist beides nicht ganz einfach.--Gunther 14:58, 25. Feb 2005 (CET)

Ok, ich versuch' mal, ob ich das verstaendlich hinbekomme:

Es sei $X$ die Standard-2-Sphäre, also die Menge der Punkte im $\mathbb {R} ^{3}$, die vom Ursprung Abstand $1$ haben. $Y$ sei die Vereinigung von zwei 2-Sphären, die sich in einem Punkt berühren. $f$ soll jetzt die folgende Abbildung sein: man wählt einen Punkt $x_{0}$ auf $X$ und einen Großkreis durch ihn. Wenn man $X$ entlang dieses Großkreises einschnürt, bis nur noch der Punkt $x_{0}$ übrigbleibt, werden aus $X$ zwei kleinere Sphären, die sich in $x_{0}$ berühren. Indem wir diese mit $Y$ identifizieren, erhalten wir die Abbildung $f$. (Formal kann man das so fassen: $x_{0}$ sei der Punkt $(1,0,0)$, und die beiden Sphären, die $Y$ bilden, mögen Durchmesser $1$ haben und die $x$-$y$-Ebene im Ursprung berühren. Wir betrachten jetzt Schnitte durch $X$ bzw. $Y$ parallel zur $x$-$y$-Ebene:

• Im Abstand $1$ zur $x$-$y$-Ebene ist der Schnitt mit $X$ bzw. $Y$ jeweils ein Punkt $x$ bzw. $y$. $f$ bildet $x$ auf $y$ ab.
• In der $x$-$y$-Ebene ist der Schnitt mit $X$ ein Großkreis, der mit $Y$ der Berührpunkt $y_{0}$ der beiden Sphären. $f$ bildet den Großkreis auf $y_{0}$ ab.
• "Dazwischen" ist der Schnitt jeweils ein Kreis, und $f$ ist eine zentrische Streckung in der Schnittebene mit Zentrum auf der $z$-Achse.

$g$ soll die Abbildung sein, die man erhält, wenn man zuerst $f$ ausführt und dann $Y$ an der $x$-Achse spiegelt.

Behauptung: $f$ und $g$ sind homotop.

Beweis: Es sei $H(x,t)$ die Abbildung, die zuerst $X$ um den Winkel $t\pi$ um die $x$-Achse dreht und dann mit $f$ auf $Y$ abbildet. Wie man sich leicht überlegt, ist tatsächlich $H(x,0)=f(x)$ und $H(x,1)=g(x)$.

Vielleicht doch zu lang.--Gunther 16:56, 25. Feb 2005 (CET)

Finde ich auch. Vielleicht eher etwas für ein Wikibook... Oder als Erklärung, warum höhere Homotopiegruppen abelsch sind. Ich denke, es spricht nichts gegen ein einfaches Beispiel in R^2, und versuche mal, das exisitierende Beispiel zu bearbeiten. --Yonatan 17:46, 25. Feb 2005 (CET)

Hallo Gunther! Vielen Dank für Deine Änderungen und Ergänzungen zu Homotopieklassen und Relativer Homotopie. Ist jetzt viel besser strukturiert. --Yonatan 14:22, 25. Feb 2005 (CET)

Kurve oder Weg

Ich denke, beide Begriffe sind ähnlich verbreitet und geläufig. Gibt es irgendwo eine Diskussion, welcher auf Wikipedia verwendet werden soll? --Yonatan 14:31, 25. Feb 2005 (CET)

siehe Kurve (Mathematik) und Weg (Mathematik). "Kurve" ist ohnehin ziemlich ueberlastet (Riemannsche Flaechen sind ja auch Kurven), und "Weg" passt auch besser zu "wegzusammenhaengend". Mit "Pfad" konnte ich mich nie so richtig anfreunden, das ist wahrscheinlich aus dem Englischen uebernommen.--Gunther 14:45, 25. Feb 2005 (CET)

OK, bin überzeugt. Mit „Pfad“ sehe ich es genauso. Klingt irgendwie nach Winnetou... --Yonatan 15:06, 25. Feb 2005 (CET)

Topizität in der Chemie

Ich bin auf diese Seite gestoßen auf der Suche nach Homotopizität im chemischen Sinne (Topizität).Genauer gesagt durch das Suchwort "homotop". Wäre es eventuell sinnvoll einen Verweis auf die Seite zu machen? Da ich mich im Wikipedia nicht auskenne will ich das nicht eigenmächtig machen, sondern stelle stattdessen lieber die Frage hier.

Gruß Jan

Lange her, die Frage ... Hab's jetzt mal eingebaut.--Momotaro‖♨ 12:28, 8. Jan. 2010 (CET)

H(0,s) = H(0,s')

Wie sieht die 0 bzw 1 in einem beliebigen topologischen Raum X aus?! Und was soll diese Bedingung bewirken? (nicht signierter Beitrag von 91.89.1.37 (Diskussion) 18:07, 20. Sep. 2008)

Die abgebildete Kaffeetasse ist nicht homotopieäquivalent zum Torus sondern zu einem Kreis, wenn der Henkel solide ist. Allenfalls die Oberfläche der Tasse ist homotopieäquivalent zum Torus.

-- Kattop

Richtig, ich habe das korrigiert. Es sollte "Volltorus" heissen. --Momotaro‖♨ 12:28, 8. Jan. 2010 (CET)

Zu der im Abschnitt relative Homotopie gemachten Aussage: Der Einheitskreis $S^{1}$ ist wegzusammenhängend, besitzt also nur eine einzige Wegzusammenhangskomponente. Der Weg , der durch einmaliges Umrunden des Kreises beschrieben wird ist nicht homotop zum Weg, den man durch Stillstehen am Ausgangspunkt erhält.

-- Kattop (04:57, 8. Jan. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Das stimmt schon, aber in dem Abschnitt wird bloss gesagt, dass jeder Weg, auch in $S^{1}$, nullhomotop wäre, wenn man nicht verlangte, dass die Endpunkte festgehalten werden. Grüsse, Momotaro‖♨ 12:28, 8. Jan. 2010 (CET)

Dem wollte ich nicht widersprechen. Die Anmerkung ist als weiterfuehrende Ergaenzung gedacht.

-- Kattop (18:08, 8. Jan. 2010 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Die folgende Literaturquelle empfand ich immer als recht tiefgehend und das Gebiet der reinen Homotopietheorie sehr umfassend behandelnd :

T. tom Dieck , K.H. Kamps , D. Puppe : Homotopietheorie. Lecture Notes in Mathematics 157. Springer Verlag Berlin-Heidelberg-New York
  

-- Kattop 22:26, 8. Jan. 2010 (CET)

Wenn ich noch eine weitere Anregung geben duerfte, so wuerde ich empfehlen, eine Erlaeuterung der Begriffe Kofaserung, Faserung , Abbildungszylinder und Einhaengung in den Artikel aufzunehmen, womit sich dann die exakten Homotopiesequenzen (Puppe-Sequenzen) darstellen liessen. Als Grundlage hierfuer bietet sich das2.Kapitel in dem Buch

Topologie , Tammo tom Dieck , 1.Auflage, de Gruyter 1991

eines Schuelers von D. Puppe an. (Es existiert wohl eine neuere ueberarbeitete Auflage, mit der ich aber leider nicht vertraut bin.)

-- Kattop 22:59, 8. Jan. 2010 (CET)

Danke für die Hinweise. Ich habe die Anregung zur relativen Homotopie eingebaut. Ansonsten: Ein Ausbau des Artikels wäre natürlich sehr erwünscht! Wir zitieren da manchmal folgende Seite: WP:Sei mutig! --Momotaro‖♨ 16:23, 14. Jan. 2010 (CET)

Mit Ausnahme des Abbildungszylinders haben alle Begriffe inzwischen eigene Artikel.--Café Bene (Diskussion) 02:49, 20. Jan. 2014 (CET)

bild

die bildunterschrift nennt die verformung der tasse in einen volltorus als beispiel einer homotopie. handelt es sich hierbei nicht um einen homöomorphismus? (und falls es eine sinnvolle möglichkeit gibt, beide objekte als abbildungen zu betrachten, die dann homotop sind, ist das nicht etwas ungeeignet als illustrierendes beispiel?)--212.201.79.86 16:14, 26. Okt. 2010 (CEST)

Mich irritiert dieses Bild auch. Aber es ist glaube ich nicht falsch. --Christian1985 (Diskussion) 12:15, 28. Feb. 2011 (CET)

Es ist eine Homotopie zwischen einem Homöomorphismus und der Identität.--Café Bene (Diskussion) 02:47, 20. Jan. 2014 (CET)

missverständliche einleitung

mich stört am ersten satz etwas das "in einen anderen". man kann es so verstehen, dass der andere raum ein unterschiedlicher raum sein muss, was natürlich nicht der fall ist. mir ist aber auch andere formulierung eingefallen, die nicht an einer anderen stelle schlechter als die jetzige ist. hat jemand einen vorschlag? 91.22.18.5 19:34, 17. Jun. 2011 (CEST)

animation

Die Animation ist mMn irreführend, denn es macht nicht explizit die Bedeutung der Zielmenge klar. Eine Funktion $f: X \to Donut$ ist nämlich nicht homotop zu $g: X \to Tasse$ (für den hier verwendeten Donut und die Tasse). Überhaupt wird zu jedem Zeitpunkt nur das Bilder der jeweiligen Funktion abgebildet, was auch ein wenig suggeriert, dass eine Homotopie eine Abbildung zwischen Anfangs- und Endbild ist. --188.154.180.146 16:04, 19. Sep. 2016 (CEST)

th oder t in Homotopie

Kürzlich ist eine Schreibweise mit th eingeführt worden. Erster Punkt: wenn schon, dann müsste das durchgängig gemacht werden. Zweiter Punkt: diese Schreibweise findet sich im Netz auch an anderer Stelle. Gegen sie spricht, dass das griechische topos (deutsch: Ort) mit einem τ geschrieben wird (wie bei Topos, Topologie, Topographie etc.) und nicht mit einem θ (wie bei Theologie, Thermodynamik, These etc.). --Pascal.vollmer.fr (Diskussion) 22:02, 2. Sep. 2018 (CEST)

Einheitsintervall

Was sind die genauen Anforderungen an das Einheitsintervall? Muss es immer ein reelles Einheitsintervall sein? Intervalle sind ja viel allgemeiner definiert. Was ist im allgemeinsten Fall vorauszusetzen? --Ernsts (Diskussion) 20:56, 14. Jun. 2020 (CEST)

Hintergrund: Die Begriffe Topologie, Stetigkeit und (abgeschlossenes) Intervall sowie 0 und 1 sind alle allgemeiner definiert, als hier beutzt wenn man nur reelle Intervalle [0, 1] zulässt. Daher die Frage nach der allgemeinst möglichen Definition des Begriffs Homotopie, insbesondere, wenn man diesen zur Grundlage vieler weiterer Überlegungen machen will. --Ernsts (Diskussion) 15:15, 15. Jun. 2020 (CEST)

Wieviele Homotopieklassen. Bilden die Konstanten?

Eine Verständnisfrage: Bilden die Konstanten mit Werten in einem wegzusammenhängenden Raum ein einzige Homotopieklasse und nur dann? Oder anders gefragt: Wann bilden die nullhomotopen Abbukdungen eine Homotopieklasse? --Ernsts (Diskussion) 22:22, 14. Jun. 2020 (CEST)

Im artikel heoißt es sinngemäß: Würde man die Endpunkte eines Wegs nicht festhalten, wären Wege in der gleichen Wegzusammenhangskomponente immer homotop. Offenbar sind Konstanten innerhalb einer Wegzusammenhangskomponente immer homotop. Wenn es nur eine einzige Wegzusammenhangskomponente gibt, sind bildenalle nullhomotopen Abbildungen eine eonzige Homotopieklasse. Es gibt zu jeder Wegzusammenhangskomponente genau eine Homotopieklasse nullhomotoper Abbildungen. Ist das richtig verstanden? --Ernsts (Diskussion) 15:11, 15. Jun. 2020 (CEST)

Für wegzusammenhängende Y gehören alle konstanten Abbildungen zur selben Homotopieklasse, es gibt aber noch mehr Abbildungen in dieser Homotopieklasse.—Butäzigä (Diskussion) 18:23, 6. Sep. 2022 (CEST)