Diskussion:Hubbard-Modell

Änderung des Hamiltonian & Anfrage bezüglich Coulomb-WW

Bei der vorher verwendeten Gleichung

$H=U\sum _{i}c_{i,\uparrow }^{\dagger }c_{i,\uparrow }c_{i,\downarrow }^{\dagger }c_{i,\downarrow }-t\sum _{\langle ij\rangle \sigma }(c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+c_{j\sigma }^{\dagger }c_{i\sigma })$

wurde das Hüpfen doppelt gezählt, da sowohl i als auch j über alle nächsten Nachbarn summiert werden. Demnach wird bei einem Molekül mit zwei Atomen der Zweite Teil der Gleichung wie folgt lauten:

$t(c_{1\downarrow }^{\dagger }c_{2\downarrow }+c_{2\downarrow }^{\dagger }c_{1\downarrow }+c_{1\downarrow }^{\dagger }c_{2\downarrow }+c_{2\downarrow }^{\dagger }c_{1\downarrow }+c_{2\uparrow }^{\dagger }c_{1\uparrow }+c_{1\uparrow }^{\dagger }c_{2\uparrow }+c_{2\uparrow }^{\dagger }c_{1\uparrow }+c_{1\uparrow }^{\dagger }c_{2\uparrow })$

Dies kann durch den Term ${\frac {1}{2}}$ vor der Summe oder durch Streichen eines der beiden Summanden in der Klammer behoben werden. Je nachdem, was als übersichtlicher erachtet wird. Ich habe mich für das Streichen des zweiten Summanden entschieden. So ist es auch konsistent zur englischen Variante des Artikels.

Des Weiteren bin ich unschlüssig ob der Rolle des $x_{i}$ in der Gleichung für die Coulomb-Abstoßung. Ich denke es ist an dieser Stelle nicht richtig. Sollte es allerdings doch stimmen, so würde ich eine Ergänzung innerhalb des Textes für sinnvoll halten, welche die Rolle des $x_{i}$ erläutert.

Konsumkind 03:59, 13. Aug. 2007 (CEST)

Das ist aber nicht in Einklang mit der allgemeinen Formuierung des Hubbard-Modells. Die obige, erste Gleichung wird in der Literatur verwandt. $<ij>$ wird dabei zu $j=i+1$ in einer Dimension und zu entsprechnded Ausdrücken in höheren Diemensionen. Die gewählte Form verwirrt eher :-)

Chris

Croo511 Tue Dec 4 20:32:05 CET 2007

Summe über <ij> bedeutet die Summe über alle Nachbarpaare, beinhaltet also nicht (1,2) und (2,1) sondern nur das Paar {1,2}.--Timo 07:20, 2. Mär. 2010 (CET)