Diskussion:Ingebrigt Johansson

Satz von Nielsen-Schreier

Hat er wirklich als Erster bewiesen, dass Untergruppen freier Gruppen frei sind? Dieses Resultat ist doch eigentlich als Satz von Nielsen-Schreier bekannt.--Pugo (Diskussion) 16:40, 16. Aug. 2016 (CEST)

Johansson hat bewiesen, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe ihrerseits eine freie Gruppe ist. So steht es im Lexikon bedeutender Mathematiker. Ob vor Nielsen und Schreier oder nicht, weiß ich nicht. Sicher ist aber, dass es kein Einzelfall ist, dass ein Ergebnis irgendwann in der Luft liegt und von mehreren Leuten fast parallel bewiesen wird. Schreier, Nielsen und Johansson waren ja auch Zeitgenossen. Dass bei der Namensgebung des Satzes Ingebrigt Johansson vergessen wurde, wundert mich auch nicht. Dieses Namensgebungssystem ist ohnehin oft ungerecht und von Willkür gekennzeichnet. Den Satz des Pythagoras hat Pythagoras von Samos auch nicht als erster gefunden - und bewiesen ohnehin nicht - und dennoch heißt er nach ihm. --Schojoha (Diskussion) 17:46, 16. Aug. 2016 (CEST)

Sicher kommt sowas vor, nur habe ich den Namen Johansson in diesem Zusammenhang noch nie gehört und auch im WP-Artikel zum Satz von Nielsen-Schreier wird er ja nicht erwähnt. Gibt es denn in dem Lexikon eine Referenz zu einer Veröffentlichung?--Pugo (Diskussion) 22:38, 16. Aug. 2016 (CEST)

Wo und bei welcher Gelegenheit Johansson diesen Beweis veröffentlicht hat, wird aus dem Artikel im Lexikon nicht klar.

Jedenfalls werde ich den Hinweis, dass dieser Satz nach Nielsen-Schreier benannt ist, als Fußnote nachtragen.--Schojoha (Diskussion) 23:03, 18. Aug. 2016 (CEST)

Dass er den Satz von Nielsen-Schreier vor den beiden bewiesen haben könnte, kann man anhand seiner Lebensdaten (Diplom 1928, Promotion 1932) wohl mehr oder weniger ausschliessen. Aber auch in seiner Veröffentlichungsliste im Mathscinet habe ich nichts gefunden, was auch nur ansatzweise mit freien Gruppen zu tun haben könnte. Vielleicht haben ihn die Autoren des Lexikons mit D. Johnson verwechselt, der in seinem Buch von 1980 sehr ausführlich einen Beweis des Satzes von Nielsen-Schreier besprochen hatte.--Pugo (Diskussion) 03:15, 22. Aug. 2016 (CEST) Siehe auch http://hsm.stackexchange.com/questions/3222/who-discovered-the-topological-proof-of-nielsen-schreier-theorem Ich nehme das dann mal heraus.

Die Löschung belegter Informationen, die seitens Pugo zuletzt vorgenommen wurde, ist gegen jede Regel und ist auch nicht durch seine zuletzt vorgetragenen Hirngespinste gedeckt. Das Lexikon bedeutender Mathematiker ist eine zuverlässige Quelle. Ich habe den Hinweis auf Johanssons Beweis, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe ihrerseits eine freie Gruppe ist, wieder eingefügt. Zudem sagt der Artikel eben nicht, dass Johansson den Satz von Nielsen-Schreier vor Nielsen und Schreier bewiesen hat.--Schojoha (Diskussion) 22:35, 23. Aug. 2016 (CEST)

Wenn er den Satz bewiesen hat, dann wird es doch wohl irgendeine schriftliche Referenz dafür geben. In seiner Veröffentlichungsliste kommt aber nichts vor, was mit freien Gruppen zu tun hätte. Und in der doch recht zahlreichen Online-Treffern zur Geschichte des Nielsen-Schreier-Theorems wird der Name Johansson nirgendwo erwähnt.--Pugo (Diskussion) 23:35, 23. Aug. 2016 (CEST)

Du redest offenbar von dem, was Du via Internetrecherche gefunden hast und übersiehst dabei, dass ein Großteil der Inhalte aus Veröffentlichungen der Zeit vor (etwa) 1950 via Internet gar nicht zu finden ist. Zudem deutest Du an, dass Du all die relevanten Publikationen überblickst, was ich für überzogen und etwas vermessen halte. Außerdem wird nicht alles, was Mathematiker herausfinden, auch in Publikationen veröffentlicht. Vieles wird einfach nur im kleinen Kreis der Spezialisten besprochen und irgendwann nach außen getragen.

Kurzum: Die Referenz, die Du einforderst, ist das erwähnte Lexikon. Dort steht, dass Ingebrigt Johansson bewies, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe frei ist. Da nun das Lexikon eine zuverlässigen Quelle und darüber hinaus die dazu gehörige Kurzbiographie ausweislich von einem der Herausgeber selbst, nämlich von Siegfried Gottwald, verfasst worden ist, muss ich nicht weiter recherchieren, woher Gottwald diese Kenntnis hatte.

--Schojoha (Diskussion) 21:40, 24. Aug. 2016 (CEST)

Möglich wäre es zwar, dass er den Satz von Nielsen-Schreier bewiesen hat (Dehn soll ihn ja auch bewiesen haben, unveröffentlicht nach einem Nachruf von Magnus und Moufang), man müsste dann dafür aber einen anderen Beleg als das Mathematikerlexikon von Gottwald finden können (soo zuverlässig ist das Lexikon nun auch nicht), ich kann jedenfalls nichts finden. In Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory, Springer 1993, S. 142 wird folgender Satz von Johansson zitiert: Die Fundamentalgruppe einer unendlichen Fläche ist frei. (Johansson, Topologische Untersuchungen über unverzweigte Überlagerungsflächen, Skriften Norske Vidensk. Akad. Oslo, Math-natur. Kl., I, 1931, S. 1-69). Vielleicht ist das gemeint. Das ist die einzige Stelle, in der Stillwell Johansson erwähnt, und er behandelt in dem Buch auch den Satz von Nielsen-Schreier (außerdem ist er als Mathematikhistoriker bekannt). --Claude J (Diskussion) 10:48, 25. Aug. 2016 (CEST) PS: über die Zuordnung von Überlagerungen und Untergruppen der Fundamentalgruppe würde natürlich folgen, da die Überlagerungen auch unendlich sind, dass die Untergruppen frei sind.--Claude J (Diskussion) 12:36, 25. Aug. 2016 (CEST)

Aus dem Satz über die Fundamentalgruppe nichtkompakter Flächen kann man tatsächlich leicht den Satz von Nielsen-Schreier herleiten: zu einer freien Gruppe nimmt man eine nichtkompakte Fläche mit der freien Gruppe als Fundamentalgruppe, dann gibt es zu jeder Untergruppe eine Überagerung, die natürlich ebenfalls eine nichtkompakte Fläche ist und nach Johanssons Satz dann als Fundamentalgruppe eine freie Gruppe hat. Es bleibt natürlich noch die Frage, ob Johansson diese Anwendung in seiner Arbeit explizit erwähnt hat. Jedenfalls überzeugt mich das (auch wenn der Beweis mittels Flächen offensichtlich komplizierter und nicht so natürlich ist als der bekannte topologische Beweis mittels Graphen).

Für den Artikel wäre ich aber trotzdem dafür, an erster Stelle das eigentliche Hauptresultat der Dissertation zu nennen, also das Fundamentalgruppen nichtkompakter Flächen freie Gruppen sind. Das war ja das eigentliche neue Resultat der Dissertation. Man kann dann noch erwähnen, dass daraus ein weiterer Beweis des Satzes von Nielsen-Schreier folgt.--Pugo (Diskussion) 13:09, 25. Aug. 2016 (CEST)

Formulierungsvorschlag für den dritten Punkt in der Liste mathematischer Resultate:

• In seiner Dissertation bewies er, dass die Fundamentalgruppe einer nichtkompakten Fläche immer eine freie Gruppe sein muss. Eine Anwendung dieses Resultats ist ein topologischer Beweis des Satzes von Nielsen-Schreier, dass Untergruppen freier Gruppen immer freie Gruppen sind.

--Pugo (Diskussion) 04:09, 26. Aug. 2016 (CEST)

Scheint mir o.k., nur interessehalber, jede freie Gruppe kann also als Fundamentalgruppe einer nicht-kompakten Fläche realisiert werden ? (Wahrscheinlich ähnlich wie bei dem bekannteren Fall von Graphen)--Claude J (Diskussion) 06:29, 26. Aug. 2016 (CEST)

Ja, einfach durch "Aufdicken" des Graphen, d.h. man denkt sich den Graphen in der Ebene liegend und nimmt eine offene Umgebung.--Pugo (Diskussion) 07:14, 26. Aug. 2016 (CEST)

Ich habe gegen Pugos Vorschlag ebenfalls beinahe keine Einwände, muss aber der Ordnung halber noch einmal bei Pugo nachfragen: Hast Du diesen Satz tatsächlich in dieser Form in der 1931er Dissertation von Johansson nachgelesen und hat Johansson dort auch - etwa in einer Fußnote - der Zusammenhang mit dem Nielsen-Schreier hergestellt? Nur eine derartige Unterstreichung der von Gottwald im Lex. bed. Math. gemachten Hinweises auf Johanssons Beweis, dass jede Untergruppe einer freien Gruppe ihrerseits eine freie Gruppe ist, würde uns weiterbringen. --Schojoha (Diskussion) 19:49, 27. Aug. 2016 (CEST)

Nein, habe ich nicht, Claude hat oben Stillwell zitiert, der den Satz, dass Fundamentalgruppen nichtkompakter Gruppen frei sind, als Ergebnis aus Johanssons Dissertation zitiert. Die Anwendung, aus diesem Satz den Satz von Nielsen-Schreier zu folgern, ist ein (heute) jedem Topologen geläufiges Standard-Argument. Wir wissen aber (und das hatte ich oben auch schon geschrieben) natürlich nicht, ob diese Anwendung auch schon bei Johansson vorkam. Dafür müßte jemand von uns die Dissertation einsehen. Deshalb hatte ich den Vorschlag bewußt so formuliert, dass beide Möglichkeiten offen gelassen werden.--Pugo (Diskussion) 02:47, 28. Aug. 2016 (CEST)

Hallo Pugo! Deine zuletzt vorgenommene Ergänzung/Änderung - gegen die ich inhaltlich keine Einwände habe - weist leider keine Quelle auf. Du hast das aus dem Zusammenhang geschlossen. Nach Wikipediamaßstäben grenzwertig, wie ich finde. Ich lasse es aber so - auch weil ich inzwischen meine, dass genug diskutiert ist.

Noch ein letzter Anmerkung: Stillwell und Claude J sprechen von unendlichen Flächen. Ist klar, dass die unendlichen Flächen und die nichtkompakten Flächen stets zusammenfallen?!

--Schojoha (Diskussion) 19:21, 4. Sep. 2016 (CEST)

Ja, Stillwell betrachtet nur triangulierte Flächen und mit einer "unendlichen" Fläche meint er dann eine, die in unendlich viele Dreiecke zerlegt ist. Es ist leicht zu sehen, dass ein Simplizialkomplex genau dann kompakt ist, wenn er aus endlich vielen Simplizes besteht. (Und es ist auch bekannt, dass sich jede Fläche triangulieren läßt. Das allerdings ist umständlicher zu beweisen, was wahrscheinlich der Grund ist, warum Stillwell von vornherein nur triangulierte Flächen betrachtet.) --Pugo (Diskussion) 20:01, 4. Sep. 2016 (CEST)