Diskussion:Interne Mengenlehre

Eine deutsche Bezeichnung

als "interne Mengenlehre" gibt es hier und da: [1], [2], [3], [4], [5] (zum Vergleich: französisch "théorie des ensembles internes"), andere schreiben "Nonstandardmengenlehre" [6], [7] --91.32.97.145 13:43, 3. Aug. 2010 (CEST)

Die einzige der Quellen für "interne Mengenlehre", die meiner Meinung nach interessant ist, ist das Buch von dem Herrn Laugwitz - aber eine Quelle ist kaum eine übliche und weitverbreitete Bezeichnung. Dazu kommt noch, dass "interne Mengenlehre" inhaltlich falsch übersetzt ist, wie die englische und französische Bezeichnung zeigt: Es müsste eine Theorie der internen Mengen sein - interne Mengenlehre impliziert, dass die ~lehre, also die Theorie irgendwie intern ist. Daher habe ich (erstmal) die englische Bezeichnung gewählt.

Nonstandard-Mengenlehre ist ein allgemeinerer Begriff, der nicht speziell Nelson's Theorie bezeichnet, sondern auch Semisettheorie, Alternative Set Theory, und andere Nicht-ZF-Theorien. --ThoRunge 11:09, 4. Aug. 2010 (CEST)

Die englische Bezeichnung ist in ihrer Abkürzung IST wohl auch ein Wortspiel zu den Anfangsbuchstaben der neuen Axiome, das lässt sich also schlecht übersetzen.--Hagman 21:14, 17. Sep. 2010 (CEST)

Sollte der Artikel nicht wenigstens erwähnen, dass die Bezeichnung "interne Mengenlehre" (gebräuchlich oder nicht) Quark ist? Was soll denn eine 'interne Theorie' sein? (nicht signierter Beitrag von 84.190.191.48 (Diskussion) 16:36, 2. Nov. 2013 (CET))

Bezeichnungen

Es hat sich eingebürgert, standard in Formeln als st abzukürzen, und als zusätzliche Symbole $\forall ^{\text{st}},\;\forall ^{\text{stfin}},\;\exists ^{\text{st}},\;\exists ^{\text{stfin}}$ zu verwenden. Das Transferprinzip schreibt sich dadurch kürzer als

$\forall ^{\text{st}}t_{1},\dots ,t_{n}:\left(\forall ^{\text{st}}x:\Phi (x,t_{1},\dots ,t_{n})\iff \forall x:\Phi (x,t_{1},\dots ,t_{n})\right)$

Neulich, d.h. innerhalb der letzten 15 Jahre (?) hat Nelson auch die Bezeichnungen i-groß und i-klein vorgeschlagen, insb. um das missverständliche "unendlich groß" zu vermeiden.--LutzL 14:24, 3. Aug. 2010 (CEST)

Wenn man das Prädikat mit $st$ abkürzt werden die Formeln zwar kürzer, aber (zumindest für Logik-Laien) auch kryptischer. Dann müsste man vorher dieses Prädikat samt Interpretation definieren und die externen Quantoren ebenfalls - ich denke, dass dieser Überblick dadurch unnötig kompliziert wird. Andererseits wäre das - in der Fachliteratur - natürlich durchaus der übliche Ansatz. Stellt sich nur die Frage, was Vorrang hat: Laientauglichkeit oder Eleganz?

Das mit i-groß/i-klein ist auch so eine Sache. Im Begriff "Infinitesimal" steckt ja auch das Unendliche - und ohne diesen Begriff ist eine Infinitesimalrechnung offenbar etwas seltsam. Aber erwähnen sollte man die Begriffe wohl, das stimmt. --ThoRunge 10:58, 4. Aug. 2010 (CEST)

Nelson selbst ist ja auch nicht eindeutig, selbst nach der Definition der Kurzsymbole verwendet er sie nicht durchgängig. Ich finde aber, eine kurze Formel ist übersichtlicher, und eine übersichtliche Formel ist einfacher zu verstehen, selbst wenn einige unübliche Symbole darin zu interpretieren sind (sofern diese intuitiv sind und vorher erklärt wurden).--LutzL 11:03, 4. Aug. 2010 (CEST)

Ich hab das gerade mal geändert. Nachdem der durchschnittliche Mathematiker ja auch keine Probleme mit $\forall x\in \mathbb {Z} ,x<0:...$ oder ähnlichem hat dürftest du Recht haben, und die kurzen Formeln einfacher zu lesen sein (gerade wenn man diese Axiome das erste Mal liest). --ThoRunge 11:41, 4. Aug. 2010 (CEST)

Probleme mit dem Verstehen des Sinnes

Nachdem die Definition "Eine reelle Zahl x heißt unendlich klein oder Infinitesimalzahl, wenn für jede reelle Standardzahl r > 0 gilt: | x | < r" wörtlich (!!allerdings auf englisch) in Keislers Buch "Foundations of Infinitesimal Calculus" steht, das als Lehrer-Handbuch für H. Jerome Keisler: Elementary Calculus gedacht war, wird überhaupt nicht klar, was das besondere an IST sein soll. Zusätzlich wird man ja gegenüber $\mathbb {R}$ wahrscheinlich eine Körpererweiterung o.ä. konstruieren oder sich dazu auf Löwenheim-Skolem berufen müssen, wenn man zeigen will, dass es i-kleine Elemente gibt!

Da muss zumindestens angedeutet werden, was jetzt das eigentlich Besondere ist. Oder habe ich da etwas missverstanden? --Mini-floh 13:07, 26. Jan. 2012 (CET)

Nein, man bleibt in den normalen reellen, natürlichen etc. Zahlen, aber definiert ein neues Attribut "standard", welches die "aufschreibbaren" Zahlen haben, aber nach Postulat bzw. Axiomensystem einige Zahlen nicht haben, sowohl i-kleine als auch i-große. Eine i-große natürliche Zahl ist dann immer noch endlich, aber 10, 100, ... sind standard-endlich.--LutzL 15:41, 26. Jan. 2012 (CET)

Standardisierungsaxiom falsch formuliert?

Das Standardisierungsaxiom (zurzeit $\forall ^{st}x\exists ^{st}y\forall ^{st}z(z\in x\iff \Phi ))$, wobei $y$ nicht in $\Phi$ vorkommt), soll bestimmt anders lauten, denn so steht da bei Spezialisierung auf die Standard-Menge $x=\emptyset$, dass $\exists ^{st}y\forall ^{st}z\neg \Phi$. Möglicherweise soll es eher heißen:

$\forall ^{st}x\exists ^{st}y\forall ^{st}z(z\in y\iff \Phi ))$,

so dass die als existent behauptete Menge $y$ wenigstens ein wenig umschrieben wird. Allerdings würde das dazu führen, dass es eine Standard-Menge gibt, die alle Standardmengen enthält (wenn $\Phi$ beispielsweise $z=z$ lautet). Daher vermute ich am ehesten, dass

$\forall ^{st}x\exists ^{st}y\forall ^{st}z(z\in y\iff (z\in x\land \Phi ))$

gemeint ist. Das Axiom postuliert also die Existenz einer Standard-Menge, deren Standard-Anteil durch die Menge $\{z\in x\colon \Phi \}$ gegeben ist. Interpretiere ich das richtig?--Hagman 20:13, 26. Jan. 2012 (CET)

Hi, ja. Und die zweite Formulierung ist, mE, korrekt. Die Potenzmenge erfüllt die genannte Bedingung. Das Standardisierungsaxiom besagt, dass es für jede Formel, also auch mit Nichtstandard-Bestandteilen, eine Standard-Menge gibt, die genau alle Standard-Elemente enthält, die die Formel erfüllen. Zusätzlich kann sie natürlich Nichtstandard-Elemente enthalten, die die Formel nicht erfüllen.--LutzL 10:29, 27. Jan. 2012 (CET)

I S T immer noch falsch formuliert?

Es bestehen zum Teil erhebliche Abweichungen zur (einzigen) angegebenen Quelle. Am meisten stößt mir auf, dass die Angaben, welche Variablen bei $\Phi$ frei, gebunden oder überhaupt nicht auftauchen, zwischen WP und Quelle abweichen. Ferner wird $\Phi$ hier teils als Aussage (statt Aussageform? Aussagen haben normalerweise keine freien Variablen) und teils sogar als Satz(!) (welcher Theorie? Sätze sind beweisbare Aussagen, machen an dieser Stelle also gar keinen Sinn) bezeichnet. Ich lese mich mal durch das Original durch, das scheint doch um einiges verständlicher zu sein, hat allerdings vielleicht auch ein paar Mängel hinsichtlich der Angabe freier/gebundener/sonstiger Variablen.--Hagman 18:03, 29. Jan. 2012 (CET)

Ich glaube, das ist z.T. darauf zurückzuführen, dass in der deutschen Wiki sehr häufig ad-hoc-Eindeutschungen englischer Fachbegriffe verwendet werden, ohne dass man auf diese hinweist (und z.T., wie die Diskussion bei Peano-Arithmetik zeigt, in "bewusster Unkenntnis". Das deutsche Wort "Satz" kann vom englischen "theorem" herkommen, wo es dann die von Dir angegebene Bedeutung haben würde. Es kann aber auch wie hier von "sentence" herkommmen. Dieser Begriff wird normalerweise für "closed formula" verwendet. Formula wird außerdem von einigen Autoren mit "Aussage" "übersetzt" , die dann von offenen und geschlossenen Aussagen sprechen. Leider wird dies dann über verschiedene Vorlesungsskripte auch nach Wiki hinein transportiert und jeder bringt dort seine eigene Kurz-Zusammenfassug der für ihn wichtig erscheinenden Teile, anstatt dass das in einem zusammenhängenden Artikel zusammengefasst ist, auf den man verlinken kann. Dadurch, dass ein Teil der Begriffe im Deutschen bereits anders belegt sind, entsteht ein entsprechendes Durcheinander.--Mini-floh 21:08, 29. Jan. 2012 (CET)

Ich habe mal die beanstandeten Vorkommen ersetzt. Allerdings habe ich keine vernünftige Stelle in Wiki gefunden, wohin die notwendigen Links für "freie Variable", "elementare Formel" führen können. (nicht signierter Beitrag von Mini-floh (Diskussion | Beiträge) 09:27, 30. Jan. 2012 (CET))

Erläuterungen fehlen

Der Artikel wurde offensichtlich von einem Fan von IST verfasst, was nicht schlecht ist. Allerdings fehlt dadurch jede Problematisierung. Man sollte (wenigstes) so viel über den finitistischen Ansatz von Nelson erfahren, wie in der englischen Version und auch über die Probleme, die mit dem Ansatz verbunden sind.

Wichtig ist logisch, dass es sich um eine (konservative) Erweiterung von ZFC handelt. Um dies und die Konsistenz von IST zu beweisen, braucht man natürlich ein entsprechendes Modell der Mengenlehre, d.h. Modelltheorie kommt wieder zum Vorschein. Die Probleme, die hier sonst entstehen, werden wohl etwas leichtfertig übersehen, weil sie immer im Begriff standard verschwinden.

Schließlich war eine der Hauptideen der Nonstandard-Analysis, dass man zeigen wollte, dass das Reden von Newton, Leibniz und ihren Zeitgenossen über unendlich klein, unendlich gross etc. in eine mathematisch präzise, konsistente Form gebracht werden kann. Dieser Anspruch wird aber hier ausdrücklich nicht erhoben! --Mini-floh 09:27, 30. Jan. 2012 (CET)

Übersetzung von standard

Im Englischen gibt es standard als Adjektiv, aber im Deutschen ist standard ungewöhnlich (wenngleich von Michael M. Richter und Guido Walz tatsächlich verwendet). Wie wäre es denn mit ist Standardmenge oder ist standardmäßig statt ist standard? -- IvanP (Diskussion) 20:10, 1. Aug. 2019 (CEST)

Auch komisch: „Eine Grammatik ist Typ-1 […].“ -- IvanP (Diskussion) 21:02, 1. Aug. 2019 (CEST)