Diskussion:Intuitionismus (Logik und Mathematik)

Die Definition ist hier negativ. Sie sagt nur, was der Intuitionismus nicht ist. Ich habe nach dem Englischen Text ergänzt.

--Hutschi 10:40, 6. Apr 2004 (CEST)

Auf der Seite konstruktive Mathematik steht, dass das was hier als Intuitionismus bezeichnet wird, dieser eben genau nicht sei. Was stimmt denn jetzt? Benni 16:10, 6. Okt 2004 (CEST)

Unabhängigkeit vs. Relativität

"Dies steht im Kontrast zur Philosophie hinter der klassischen Herangehensweise, die Wahrheit von mathematischen Sätzen sei unabhängig von jeglichen (sowohl geistigen als auch physikalischen) Gegebenheiten."

zwischen geistigen und physikalischen Gegebenheiten zu unterscheiden ist sehr wohl möglich, jedoch sollte auch bedacht werden, daß eine Gleichsetzung von geistigem und materiellem [hier physikalisch genannt] eine Vereinfachung der Grundlagen ermöglicht. Besser wäre es, die Unabhängigkeit der Wahrheit als den geistigen und materiellen Gegebenheiten inhärent/implizit/eingeschriebene Wahrheit darzustellen.

--134.2.212.191 18:01, 15. Feb 2006 (CET)

Definition

Der Intuitionismus (eine Art des Konstruktivismus) ist *keine* Richtung der mathematischen Logik, sondern eine Weltanschauung. NPOV gesetzt. Siehe Wikipedia:Artikel, die etwas mehr Neutralität benötigen. Bei Gelegenheit sollte als zwischenschritt die ganzen weltanschaulichen Teile aus anderen Logiken, die den Intuitionismus vehement als Alternative propagieren, erst einmal hier her verschoben werden, um die anderen Artikel neutraler zu machen. Siehe auch Diskussion:Konstruktive Mathematik. --Rtc 21:16, 18. Jul 2005 (CEST)

Du gehst hier reihum und schreibst bei lauter Artikeln, die Dir nicht passen NPOV rein. NPOV bezieht sich normalerweise auf den Inhalt eines Artikels, was Du nicht tust. - Auch wenn der Intuitionismus eine Weltanschauung wäre, kann man in einem Lexikonartikel über ihn berichten. NPOV entfernt --Paul 00:04, 19. Jul 2005 (CEST)

Ich habe bis auf diesen und konstruktive Mathematik in die anderen Artikel aus Wikipedia:Artikel, die etwas mehr Neutralität benötigen vorerst kein NPOV reingemacht, und zwei Artikel würde ich doch nicht 'reihum' nennen? Ich bin auch nicht gegen den Artikel. Ich finde ihn nur nicht neutral, da er behauptet, ein Teilgebiet der mathematischen Logik zu sein, während er in Wirklichkeit eine Weltanschauung ist. Ich orientiere mich an der wikipedia-Definition von -ismus: "Eine stichprobenartige Sichtung von Lexika-Einträgen zu Stichworten mit der Nachsilbe –ismus legte die Deutung nahe, dass es sich in den meisten Fällen um Begriffe für dogmatisch und indoktrinär vertretene, oft ideologisch gefärbte Meinungen, Lehren, Schulen und Ideen mit Allgemeingültigkeits- und Alleinvertretungsanspruch, handelt." Das ist hier offensichtlich gegeben, wenn ich mir anschaue, in welchem Kontext die Bezeichnung Intuitionismus in anderen Artikeln benutzt wird. --Rtc 15:17, 19. Jul 2005 (CEST)

Nachtrag: Vielleicht erkläre ich besser anhand eines Beispiels, was ich meine. Konstruktivismus macht es richtig; dort wird die Ideologie vom Formalismus konstruktive Mathematik getrennt. (Gut, an der Ausführung hapert es noch, wohl teilweise an falschen Links, die mit dem einen bezeichnet werden, aber auf das jeweils andere verweisen.) Zumindest sind aber zwei getrennte Artikel vorhanden. Wenn wie hier Formalismus und Ideologie vermischt werden (Intuitionistische Logik/Intuitionistische Mathematik verweist hier her), dann ist das IMO inhärent nicht neutral.--Rtc 17:20, 19. Jul 2005 (CEST)

@Rtc: Intuitionismus hat weder mit dem Radikalen Konstr. noch mit dem Erlanger Konstr. irgendetwas zu tun. Der link ist schon korrekt so. --Suspekt → Rede&Antwort 23:41, 19. Jul 2005 (CEST)

Tut mir Leid Rtc, aber du solltest dich ein bisschen informieren, bevor du mit dem Aufräumen der Artikel anfängst. Konstr(Philo) trennt nicht zwischen ideologie und formalismus, sondern zwischen einer erkenntnistheorie und einer wissenschaftstheorie. konstr. mathematik ist wieder etwas anderes. --Suspekt → Rede&Antwort 23:44, 19. Jul 2005 (CEST)

warum 'besser informieren'? Ich befolge einfach sei mutig. Klar ist für mich: Wer auch immer alles die Wikipedia bisher mit konstruktivistischen und intuitionistischen Themen 'angereichert' hat, der tat das äußerst unkritisch. Die beweisbare Widerspruchsfreiheit der konstruktivistischen Mathematik kommt für den Preis von IMO fundamentalen Nachteilen bezüglich Mächtigkeit, siehe Diskussion:Konstruktive Mathematik und diese fundamentalen Nachteile werden nirgends auch nur in einem Wort erwähnt. Quasi alle Artikel, die den Konstruktivismus und Intuitionismus behandeln, sind deshalb momentan nicht neutral, und die Situation wo sie als alternativen propagiert werden ist sicherlich auch nicht besser.--Rtc 02:04, 20. Jul 2005 (CEST)

Der im deutschen gebräuchliche Ausdruck "Intuitionismus" vermengt leider die beiden Aspekte Ideologie ("alle Mathematiker müssen intuitionistisch beweisen!") und formales Kalkül. Daher befürworte ich die von Rtc geforderte Trennung. NPOV trifft nicht das eigentliche Problem. In der Tat ist "Intuitionistic Logic" (engl.) ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Zwar wird die intuitionistische Logik von vielen nicht zur Grundlage des allgemeinen mathematische Schließens gemacht, hat aber als formales Kalkül eine Existenzberechtigung als Teilgebiet der Mathemetik, wie jeder andere Zweig der Mathematik auch. Abgesehen davon ist sie sogar wichtig, und zwar z.B. in der (theoretischen) Informatik (Curry-Howards Isomorphismus, Typentheorie). 89.54.118.67 18:14, 5. Feb. 2007 (CET)

natürliche Zahlen als Beispiel für aktual unendliche Mengen

Die natürlichen Zahlen werden hier als Beispiel für eine aktual unendliche Menge angeführt, während ebendiese im Artikel über aktuelle Unendlichkeit als Schulbeispiel für eine potentiell unendliche Menge genannt werden; das scheint mir zumindest mißverständlich.

Entweder müßte man hier auf die Menge der reellen Zahlen als Beispiel ausweichen, oder aber näher erklären, warum der Intuitionismus die Menge der natürlichen Zahlen nicht kennt, obwohl sie ja nur potentiell unendlich ist. --mIstA 19:59, 11. Sep 2005 (CEST)

Überarbeiten?

Hallo Rtc, gewöhne Dir doch bitte an, bei *jedem* von Dir eingesetzten Tag, dies in der Diskussionsseite kurz zu begründen. Das ist auch dann wichtig, wenn manche Deine Meinung kennen. Es fehlt aber für Neue der (ruhig sehr kurze) Hinweis, *was* und *inwiefern* etwas zu überarbeiten ist. PaCo 10:45, 17. Sep 2005 (CEST)

Der Teil über die "Kritik des Intuitionismus an der klassischen Logik" bedarf wohl einer überarbeitung; dieses 'Dies halten sie nicht für eine logische Wahrheit.' ist ziemlich merkwürdig und insgesamt klingt es doch irgendwie nach einer Art Verteidigung der intuitionistischen Philosophie anstatt sich auf eine Darlegung der Sachlage zu beschränken. Dann sollte überlegt werden, ob als Beispiel nicht etwas klassisch eindeutig nicht beweisbares zu wählen ist (Kontinuumshypothese) um die Sachlage nicht so holprig erscheinen zu lassen und es sollte der entsprechende Absatz von Satz vom ausgeschlossenen Dritten hier eingearbeitet werden und dann dort ein Verweis darauf gemacht werden.

--Rtc 13:02, 17. Sep 2005 (CEST)

Habe die Kritik berücksichtigt. --Tillmo 00:47, 30. Dez. 2007 (CET)

Satz des ausgeschlossenen Dritten

Wenn A | B intuitionistisch interpretiert wird als

"A ist beweisbar" oder "B ist beweisbar",

wieso wird dann A | !A interpretiert als

"A ist bewiesen" oder "A ist widerlegt" und nicht viel mehr als

"A ist beweisbar" oder "!A ist beweisbar" = "A ist entscheidbar"?

Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten würde dann deswegen ungültig sein, weil Gödel gezeigt hat, dass es unentscheidbare Aussagen gibt.

Noch etwas sei angemerkt: Es ist nicht ganz klar, ob "!A" für

-"!A ist beweisbar" oder für -"A ist nicht beweisbar"

steht. Interessanterweise wäre das bei der klassischen Interpretation egal, weil "!A ist wahr" äquivalent ist zu "A ist nicht wahr", während im intuition. Fall nur in eine Richtung "!A ist beweisbar" => "A ist nicht beweisbar" gefolgert werden kann.

Stünde "!A" für "A ist nicht beweisbar", so wäre die Gesamtaussage logisch wahr, denn es ist klar, dass eine Aussage entweder ableitbar oder nicht ableitbar ist.

Bei allem wurde vorausgesetzt, dass das zugrundliegende Axiomensystem konsistent, also nach Gödel unvollständig ist.

A | !A bedeutet intuitionistisch "A ist bewiesen" oder "A ist widerlegt"; dies ist gleichbedeutend mit "A ist entscheidbar". Zwischen beiden Formulierungen besteht also kein logischer Unterschied. !A steht für "jeder Beweis von A kann zum Widerspruch geführt werden". "A ist nicht beweisbar" ist eine stärkere Aussage (wenn man z.B. von inkonsistentent Annahmen ausgeht, ist !A beweisbar, es stimmt aber nicht, dass A nicht beweisbar ist). Die Erklärung im Artikel ist korrekt und völlig ausreichend. Ich habe noch einen Verweis auf den Gödelschen Unvollständigkeitssatz eingefügt und den Überarbeiten-Baustein entfernt. --Tillmo 00:42, 30. Dez. 2007 (CET)

An der Stelle "Satz vom ausgeschlossenen Dritten" wird der Artikel redundant. Wäre es nicht sinnvoller, diesen Abschnitt in knapperer Form in den oberen Abschnitt einzubauen? Die Goldbach-Vermutung stellt ein Beispiel dar, für das man "noch" (in der Sprechweise der hoffenden Mathematiker) keinen Beweis gefunden hat. Die Kontinuumshypothese ist allerdings nicht entscheidbar, das sollte man, denke ich, hervorheben. Der Umgang mit der Kontinuumshypothese (das man sie dem Axiomensystem hinzufügt) zeigt dann auch den pragmatischen Umgang der "Klassiker" mit der intuitionistischen Sicht, daß der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht zu vertreten sei... --Jonathan Scholbach 15:51, 24. Feb. 2009 (CET) Nachtrag: Der Satz P kann nicht in der Weise bewiesen werden, dass für jede gerade Zahl g zwei Primzahlen p1 und p2 aufgeschrieben werden, deren Summe g ergibt. Denn es gibt ja unendlich viele gerade Zahlen. Nötig ist vielmehr ein Verfahren, das es erlaubt, in irgendeiner Weise aus der Zahl g, wie groß sie auch sei, die Zahlen p1 und p2 zu berechnen. Ein solches Verfahren ist heute aber nicht bekannt. ist regelrecht falsch. Um die Goldbachsche Vermutung zu beweisen ist die Angabe einer Regel, wie man die entsprechenden Primzahlen gewinnt nicht zwingend erforderlich (das wäre ein sog. konstruktiver Beweis, nicht zu verwechseln mit konstruktivistischer Beweis). --Jonathan Scholbach 15:58, 24. Feb. 2009 (CET)

Intuitionismus und Sequenz/Regel/Tableaukalküle

"In einem Regelkalkül erreicht man das, indem man auf die Beseitigungsregel für die doppelte Negation verzichtet"

Hier wäre interessant noch anzuführen, wie die IAL entsteht, indem man an entsprechenden Kalkülen schraubt. In Tableaus u.A. dadurch, dass gewisse Präfixe eingeführt werden. In Sequenzkalkülen wird das Sukzedens auf maximal ein Ausdruck beschränkt. In Anlehnung an das Verhältnis von Scott´scher und Tarski´scher Konsequenzrelationen wird vor allem die Beziehung zur PC auf eine recht fundamentale Weise sichtbar. --Kelvin A 22:31, 21. Jun. 2009 (CEST)

Widersprüchliche Informationen

Ich stimme dem anonymen Schreiber zu: Wenn A V B "A ist beweisbar oder B ist beweisbar" bedeutet, wieso bedeutet dann A V !A "A ist bewiesen oder A ist widerlegt" und nicht "A ist beweisbar oder A ist nicht beweisbar"? Tillmo: "A | !A bedeutet intuitionistisch "A ist bewiesen" oder "A ist widerlegt"; dies ist gleichbedeutend mit "A ist entscheidbar"." - Das ist Blödsinn. Dies ist gleichbedeutend mit "A ist entschieden", aber nicht mit "A ist entscheid_bar_", dass also eine Entscheidung zwischen den Wahrheitswerten für die Aussage A _möglich_ ist, aber eben nicht unbedingt durchgeführt wurde. -- IvanP 18:29, 25. Mai 2011 (CEST)

Diese Informationen sind auch widersprüchlich: "Unter dieser Interpretation ist der Satz vom ausgeschlossenen Dritten offensichtlich nicht gültig, einerseits weil es Aussagen gibt, die weder bewiesen noch widerlegt sind, andererseits weil es Aussagen gibt, die überhaupt weder beweisbar noch widerlegbar sind." - Weswegen denn nun? Wegen Ersterem oder wegen Zweiterem? Wie wird die Wahrheit von Aussagen in der intuitionistischen Logik definiert? Durch das Bewiesen_sein_ oder durch die Beweis_barkeit_? -- IvanP 19:44, 25. Mai 2011 (CEST)

• Der Abschnitt kann in der Tat stark verbessert werden. Insbesondere hebt er nicht hervor, dass im Beweis einer Disjunktion angegeben werden muss, welche Seite bewiesen wird.
• Zu "bewiesen" vs. "beweisbar": intuitionistisch macht das keinen großen Unterschied, da ein intuitionistischer Beweis der Beweisbarkeit von A einen Beweis für A preisgeben müsste, wie das bei allen intuitionistischen Existenzbeweisen der Fall ist. (Mit Negationen wird's dann allerdings etwas komplizierter).
• Zu "widerlegt" vs. "nicht beweisbar": Man muss einer Logik schon zugestehen, dass sie die Bedeutung ihrer Junktoren definieren darf. In der inuitionistischen Logik ist die Bedeutung einer Formel eine Beschreibung dessen, wie ein Beweis der Formel aussehen muss. Für einen Beweis für $\lnot A$ wird dementsprechend eben gefordert, dass er alle Beweise für $A$ zu einem Widerspruch führt.
• Ein Beweis für den Satz des ausgeschlossenen dritten wäre wirklich eine Entscheidungsprozedur für beliebige Prädikate. Deshalb kann man ihn nicht gebrauchen.
• Einen Kurzeinstieg und Überblick bietet z.B. Simon Thompson - Type Theory and Functional Programming ca. 7 Seiten ab S. 59.

--Daniel5Ko 00:09, 26. Mai 2011 (CEST)

Kritik

Hier eine m.E. profunde Kritik an Brouwer. Überlasse es aber anderen, diese einzubauen:

• Vojtech Kolman: Zahlen. de Gruyter Berlin/Boston, 2016 (Grundthemen Philosophie), ISBN 978-3-11-048246-1,S. 136-138

--Karl-Hagemann (Diskussion) 17:17, 21. Jul. 2018 (CEST)