Diskussion:Inverse Matrix

Pseudoinverse - Adjungierte

Hallo,

bisher habe ich das immer so gelernt, dass die Pseudoinverse genau gleich der 'normalen' Inverse ist, falls diese existiert (d.h. wenn die Matrix regulär ist).

Hier wird aber behauptet, dass A^-1 = 1/det(A) * Pseudoinverse(A). D.h. Pseudoinverse(A) UNGLEICH A^-1 für det(A) UNGLEICH 0.

Bitte, überprüft das mal!

Antwort: Du verwechselst die Pseudoinverse $A^{+}$ mit der transponierten Matrix $A^{\dagger }$. Nomenklatur wie im Artikel. --Mike mw 11:45, 3. Jan 2006 (CET)

Antwort: Um künftige Verwechslungen auszuschließen, habe ich die Adjungierte nun als adj(A) bezeichnet. Diese Bezeichnung sollte eindeutig sein. (Die Transponierte wäre A^T.) --Squizzz 12:08, 5. Jan 2006 (CET)

Antwort: Ich habe die Nomenklatur im Artikel dahin gehend geändert das die Pseudoinverse mit $A^{\dagger }$ bezeichnet wird, dabei hatte ich übersehen das die Adjungierte bereits so berechnet wurde. --Andre1923 12:56, 5. Jan 2006 (CET)

Das Problem der Bezeichnung der Pseudoinversen besteht leider immer noch denn im Artikel über Matrizen wird die adjungierte bzw. komplementäre Matrix, wie es dort heißt auch mit $A^{\dagger }$ bezeichnet. Eine Einigung ist hier erforderlich. --Andre1923 13:28, 5. Jan 2006 (CET)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. Quartl (Diskussion) 19:01, 27. Mai 2014 (CEST)

Ring

Hallo Quartl,

ich glaube, dass manches von dem, was du geschrieben hast, nur gilt, wenn R ein Körper ist. Ansonsten: Schöner Artikel. Vielen Dank für die Arbeit. --Digamma (Diskussion) 22:22, 26. Mai 2014 (CEST)

Ja, danke für den Hinweis (und das Lob). Letztlich muss man bei Ringen nur bei Divisionen aufpassen, wobei ${\tfrac {1}{\det A}}$ bei regulären Matrizen per Definition existieren muss. Habe ich noch einen Fall übersehen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 22:49, 26. Mai 2014 (CEST)

Beim Gauß-Jordan-Algorithmus: Man kann nur bei Körpern immer die Diagonalgestalt in die Einheitsmatrix umwandeln. --Digamma (Diskussion) 08:04, 27. Mai 2014 (CEST)

Ok, bleiben wir sicherheitshalber bei Körpern (Schiefkörper müssten aber auch gehen). Nachdem das Produkt der Diagonalelemente eine Einheit bildet, müsste man aber eine konstante Diagonale hinbekommen, oder? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:47, 27. Mai 2014 (CEST)

Ich denke, dass es immer funktioniert, wenn die Determinante eine Einheit in dem Ring bildet. Aber hundertprozentig sicher bin ich mir nicht. --Digamma (Diskussion) 15:50, 27. Mai 2014 (CEST)

Mein Senf: Über einem kommutativen Ring mit Eins ist eine Matrix genau dann invertierbar, wenn die Determinante im Ring invertierbar ist. (also bei Z beispielsweise wenn die Determinante 1 oder -1 ist). Nichtkommutative Ringe (und Schiefkörper) sind hier viel komplizierter, weil die Determinante nicht mehr einfach zu definieren ist. Hab jetzt aber keine Zeit, das einzuarbeiten. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 17:40, 27. Mai 2014 (CEST)

So, bin wieder da. Wäre es sinnvoll bzw gewünscht, einen Extra-Abschnitt für Inverse Matrizen über beliebigen Ringen anzuhängen? Da könnte man dann auf den schon behandelten Fall mit den Körpern eingehen und sagen, was anders ist. Wie z.B. dass die Regel mit der Determinante über kommutativen Ringen funktioniert, wenn man entsprechend fordert, dass die Determinante invertierbar ist. Bei Schiefkörpern glaub ich mal gelesen zu haben, dass der Gauß-Jordan komplett durchgeht, bin mir aber nicht sicher. Für ganz beliebige Ringe kann Inverse Matrizen definieren, aber ob man da irgendeine Möglichkeit hat, sie zu berechnen, ist mir nicht klar. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 10:36, 28. Mai 2014 (CEST)

Ich bin mit der momentanen Version auch noch nicht so recht glücklich. Letztlich muss man bei jedem Abschnitt dazu schreiben, wann er gültig ist. So wie ich das momentan sehe, sind die Voraussetzungen:

• Definition: Ring mit Eins
• Gruppeneigenschaften: Ring mit Eins
• Weitere Eigenschaften: verschiedene Voraussetzungen, muss man weiter aufteilen
• Gleichungsdarstellung: Ring mit Eins
• Gauß-Jordan-Algorithmus: Körper, evtl. Schiefkörper, mit Modifikationen auch allgemeiner(?)
• Darstellung über die Adjunkte: kommutativer Ring (mit Eins)
• Blockweise Inversion: Ring mit Eins
• Numerische Berechnung: Körper
• Spezialfälle: verschiedene Voraussetzungen

Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:16, 28. Mai 2014 (CEST)

Ich sehe die Voraussetzungen auch so (die numerischen Berechnungen werden dann aber vermutlich nur über R oder C stattfinden). Die meisten Leser wird vermutlich nur der Fall Körper interessieren. Deshalb wäre es vielleicht sinnvoll, ersteinmal alles über einem beliebigen Körper zu machen und anschließend einen Absatz über allgemeinere Fälle zu machen. Ansonsten werden vermutlich Leute abgeschreckt. Wäre so meine Meinung. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 16:20, 28. Mai 2014 (CEST)

Ich bin mir noch unsicher. Viele Eigenschaften gelten in beliebigen Ringen mit Eins, da ist es irgendwie unnatürlich die Erläuterungen erstmal auf Körper einzuschränken. In gewisser Weise ist es ein grundsätzliches Problem bei mathematischen Artikeln, ob man erstmal von einem bekannteren Spezialfall ausgeht und dann erst später unter Verallgemeinerungen sagt, dass man das Ganze auch über beliebigeren Strukturen machen kann, oder ob man gleich von dem Allgemeinfall ausgeht und dann dazu sagt, wenn man gegebenenfalls die Struktur einschränken muss.

Meine Philosophie ist hier normalerweise:

• (a) Wenn etwas ohne oder nur mit geringen Einschränkungen in einer allgemeineren Struktur in der gleichen Form definiert werden kann und dann auch die gleichen Eigenschaften hat, dann bringe ich in der Definition den Allgemeinfall, gebe aber den bekannten Spezialfall mit an, damit der Leser nicht sofort abgehängt wird (Beispiel Matrizenmultiplikation).
• (b) Wenn etwas in verschiedenen Strukturen mit unterschiedlichen Eigenschaften definiert werden kann, dann unterteile ich den Artikel entsprechend und fange mit dem bekanntesten und einfachsten Fall an (Beispiel Nullfunktion).

Dieser Artikel hier liegt irgendwo zwischen (a) und (b), vielleicht ist das die Schwierigkeit. Man könnte den ganzen Artikel um eins einrücken und mit "Matrizen über einem Körper" überschreiben und dann unter "Matrizen über einem Ring" sagen, was alles gleich bleibt und was sich alles ändert. Nachteil ist hierbei, dass die Definition eigentlich zweimal die Gleiche ist und dass die Artikelstruktur dann sehr ungleich balanciert wird. Zwar könnte man insbesondere die gruppentheoretischen Abschnitte zu den Ringen stecken, das sieht dann aber so aus, als ob die bei Körpern nicht gelten würden. Vielleicht wäre es ein Ansatz, den Artikel so zu lassen und unter "Verallgemeinerungen" dann was zu Matrizen über Ringen zu sagen. Übrigens fehlt ein entsprechender Abschnitt auch in allgemeine lineare Gruppe und die Ausführungen in reguläre Matrix sollte man dann auch in umgekehrter Reihenfolge bringen.

Oder man spielt den Oberlehrer und definiert inverse Matrizen erstmal ganz allgemein in Ringen mit Eins und sagt dann dazu, wenn man die Grundstruktur einschränken muss. Ich bin mir noch unsicher (sorry für die langen Ausführungen). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:01, 28. Mai 2014 (CEST)

Ich habe es jetzt mal mit der Variante allgemeine Definition und entsprechende Einschränkungen bei den jeweiligen Abschnitten versucht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:55, 30. Mai 2014 (CEST)

So gefällt mir das Ganze schon sehr gut! Liebe Grüße, --Cosine (Diskussion) 11:30, 30. Mai 2014 (CEST)

Beispiel für Inverse einer 2x2 Matrix

Hallo, Ich bin bei der Suche nach der Formel für die invertierung einer 2x2 Matrix auf die Wikipedia Seite gekommen und habe mich an dem Beispiel orientiert. Das Beispiel ist jedoch meiner Meinung nach ireeführend, da es einen Sonderfall darstellt.

Normalerweise wird eine 2x2 Matrix ja wie folg invertiert:

A^-1 = 1/(a*d-b*c) * ( d ; -b ; -c ; a ) (Entschuldigt bitte die schlechte Schreibweise)

In dem genannten Beispiel wird allerdings der Vorfaktor zu 1, was das ganz etwas simpler erscheinen lässt, als es ist.

Vielleicht hat ja jemand Zeit und Lust das zu ändern.

Lieber Grüße (nicht signierter Beitrag von TorgTorg (Diskussion | Beiträge) 20:18, 3. Feb. 2015‎ (CET))

Das Beispiel in Inverse Matrix#Beispiele soll nur der Einführung dienen. Genauer kommt die Berechnung über die Adjunkte dann in Inverse Matrix#Beispiele_3. Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:30, 3. Feb. 2015 (CET)

Ungereimtheit

Guten Tag,

es wird zur Herleitung der Inversen ja die Cramersche herangezogen, was nur allzu logisch ist - später auch noch die Adjunkte, die sich allerdings bei Matrizen größer 3x3 mit der Cramerschen reibt.

Es müsste z.B. bei "Kaliber 4x4" die Determinante von

a0cd

e0gh

i1kl

m0op

nach der Cramerschen

gleich (-1)* der Determinanten von

acd

egh

mop

gemäß der Adjunkten der Zähler von "g invertiert" sein,

was aber nicht der Fall.

Mach' ich was falsch oder fehlt hier Information im Artikel ?

Gruß Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 01:29, 8. Sep. 2015 (CEST)

Du meinst transponiert? Der Artikel ist schon korrekt. Für dein Beispiel ergibt

${\hat {a}}_{23}={\frac {1}{\det A}}\cdot \det {\begin{pmatrix}a&0&c&d\\e&0&g&h\\i&1&k&l\\m&0&o&p\end{pmatrix}}={\frac {1}{\det A}}\cdot (-1)^{2+3}\cdot \det {\begin{pmatrix}a&c&d\\e&g&h\\m&o&p\end{pmatrix}}$

das Element der Inversen in der zweiten Zeile und dritten Spalte und nicht das in der dritten Zeile und zweiten Spalte. Daher die Transponierung. Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:13, 8. Sep. 2015 (CEST)

Mein ich doch - 2. Zeile, 3. Spalte, "g invertiert", wenn man so will... .. genau, wie du es notiert hast - das Element der Inversen an der Stelle, wo sich bei A g befindet, Zeile 2, Spalte 3.

Aber das ist nicht gleich.

(e*o*d-d*g*m)/det(A) <> (-a*g*p-c*h*m-d*e*o+d*g*m+c*e*p+a*h*o)/det(A)

Gruß Kientopf

--Vege Tarier (Diskussion) 21:53, 8. Sep. 2015 (CEST)

Wie kommst du auf (e*o*d-d*g*m)/det(A)? --Digamma (Diskussion) 22:06, 8. Sep. 2015 (CEST)

Die Determinante von der 4x4 - Matrix mit dem eingesetzten Einheitsvektor im linken Teil der Gleichung oben, die Quartl so schön ausführlich notiert hat, die ist e*o*d-d*g*m, oder ?

--Vege Tarier (Diskussion) 01:05, 9. Sep. 2015 (CEST)

Nein, die allgemeine Formel für die Determinante einer $(4\times 4)$-Matrix ist:

$afkp-aflo-ajgp+ajho+angl-anhk-ebkp+eblo+ejcp-ejdo-encl+endk+$

$ibgp-ibho-ifcp+ifdo+inch-indg-mbgl+mbhk+mfcl-mfdk-mjch+mjdg$

Grüße, --Quartl (Diskussion) 05:49, 9. Sep. 2015 (CEST)

Entwickelt man nach der 2. Zeile oder der 3. Spalte, so erhält man nach dem Laplaceschen Entwicklungssatz genau die rechte Seite der von Quartl angegebenen Gleichung.

Du willst wahrscheinlich die Formel von Sarrus anwenden. Aber die gilt nur für (3×3)Matrizen. ---Digamma (Diskussion) 09:48, 9. Sep. 2015 (CEST)

Die Diagonalen sind "abzuklappern", kreuzt man eine Null, entfällt der Summand bzw Minuend - so mein Schema F, salopp. Eine 4x4er Determinante hat nach meiner Kenntnis also 4 Summanden und 4 Minuenden, von denen bei der oben durch die Nullen bedingt je 3 ausfallen (Null sind). Lass mal deine Version mit den Nullen und der 1 checken...

...mit b=0, f=0, j=1, n=0 ist

a0kp-a0lo-a1gp+a1ho+a0gl-a0hk-e0kp+e0lo+e1cp-e1do-e0cl+e0dk+ i0gp-i0ho-i0cp+i0do+i0ch-i0dg-m0gl+m0hk+m0cl-m0dk-m1ch+m1dg

bleibt

-agp+aho+ecp-edo-mch+mdg

Also, da mein Wissen über die Art und Weise, eine Determinante zu berechnen, anscheinend mangelhaft ist, entschuldige und bedanke ich mich nun demütigst. Ja, meine Fibel sagt es ja...mit den Unterdeterminanten entwickeln, Determinante einer 4x4-Matrix -> "4 mal 3x3-Unterdeterminante", so zeilen- oder spaltenweise, 24 "Elemente", nur die Diagonalen reicht nicht. Also, sorry und besten Dank

Gruß Kientopf

"Ich bin unwürdig !"

--Vege Tarier (Diskussion) 23:03, 9. Sep. 2015 (CEST)

Gauß-Jordan-Algorithmus: Verfahren

Der folgende Satz ist denke ich nicht ganz richtig:

 Die Matrix $A$ ist nämlich genau dann invertierbar, wenn die Matrix $D$ keine Nullzeile enthält.

Beispielsweise kann die Matrix $D={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}$ sein (an dieser Stelle ist $D$ eine obere Dreiecksmatrix. Eventuell wäre die Bezeichnung $R$ für Rechte obere Dreiecksmatrix) besser. Richtiger wäre z.B.:

 Die Matrix $A$ ist genau dann invertierbar, wenn die (Haupt-)Diagonale von $D$ keine Null enthält.

--134.102.219.31 18:05, 23. Mai 2016 (CEST)

Da haben Sie offensichtlich recht. Wenn D' die zu D \in K^(n x n) durch den Gauß-Jordan-Algorithmus zugehörige obere Dreiecksmatrix ist, dann hat D genau dann eine Inverse, wenn D regulär ist, also die Determinante nicht 0 ist. Das ist nur dann der Fall, wenn das Produkt der Diagonalelemente von D' ungleich null ist, und folglich darf kein Diagonalelement 0 sein. Sollte sich dagegen innerhalb der nächsten Tage kein Widerstand erheben, werde ich dies ändern – das steht schon lange genug falsch in diesem Artikel. --PhilologistLaGr (Diskussion) 20:37, 27. Jan. 2020 (CET)

Inverse einer Matrix mithilfe des charakteristischen Polynoms

Hallo

unter dem Abschnitt Darstellung mithilfe des charakteristischen Polynoms findet sich die Formel A^{-1} = - \frac{\xhi (A) - I_n \cdot \alpha_0} {\alpha_0 \cdot A}. Zum einen wird hier durch eine Matrix geteilt, was nicht definiert ist, und zum anderen folgt diese Darstellung überhaupt nicht aus dem charakteristischen Polynom, sondern ist – vorausgesetzt, die Division von Matrizen ist „wie erwartet“ definiert – trivial. Es ergibt sich nämlich nach dem Satz von Caylay-Hamilton, dass das charakteristische Polynom von A an der Stelle A eine Nullstelle aufweist – dieser Teil der Formel verschwindet also. Bleibt A^{-1} = -I_n / A, was, gäbe es eine „natürliche“ Division, auch noch falsch ist, da A^{-1}*A = I_n und nicht -I_n ist. Wie auch immer, ich bitte entweder um Erklärung oder um die Erlaubnis, die Formel durch den letzten Term der Formel unter "Herleitung" zu ersetzen (man könnte darüber hinaus noch a_0 durch det(A) ersetzen). --PhilologistLaGr (Diskussion) 20:33, 27. Jan. 2020 (CET)

Die Darstellung im Artikel ist missverständlich. Gemeint ist, dass man $A$ in das Polynom $-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{0}}}-{\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{0}}}\cdot t-\ldots -{\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{0}}}\cdot t^{n-1}$ einsetzt. --Digamma (Diskussion) 20:54, 27. Jan. 2020 (CET)

Danke für die Überarbeitung. --Digamma (Diskussion) 20:07, 28. Jan. 2020 (CET)

Gerne --PhilologistLaGr (Diskussion) 20:08, 28. Jan. 2020 (CET)