Diskussion:Körpererweiterung

Adjunktion (Algebra)

Ich habe einen Artikel angefangen, der die Sicht "von unten" beschreibt. Ich halte diese Trennung für möglich und sinnvoll.--Gunther 15:54, 21. Mär 2005 (CET)

Schreibweise L:K besser als L/K

Da die Schreibweise für den Grad der Körpererweiterung nur mit [L:K] vorgestellt wird, ist es m.E. nur sinnvoll, auch für die Körpererweiterung selbst L:K zur Standardnotation zu erklären u. die anderen beiden Schreibweisen nur als existierende Alternativen anzusprechen, ohne sie im Artikel zu verwenden.--JFKCom 18:19, 13. Aug 2005 (CEST)

Definiere "Standardnotation" ;)

Ich habe hier folgende Bücher (auf die sich meine Diplomarbeit stützt *g*), in denen Körpererweiterungen erwähnt werden.

Buch	Erweiterung	Grad
Lorenz, Einführung in die Algebra, 1996	$L/K$	$[L:K],L:K$
O'Meara, Introduction to quadratic fields, 1963	$L/K$	$[L:K]$
Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, 1992	$L|K$	$[L:K]$
Milnor, Husemoller, Symmetric Bilinear Forms, 1973	$K\subseteq L$	nicht gefunden
Cassels, Local Fields, 1986	$L/K$	$[L:K]$

Die Schreibweise $L:K$ habe ich bisher nur auf einigen Webseiten gesehen. Hast du weitere Quellen? :) --SirJective 19:20, 13. Aug 2005 (CEST)

Ich kenne sie aus meinem Lieblings-Algebrabuch Kurt Meyberg: Algebra Teil 2, Carl Hanser Verlag, 1986 ISBN 3446121722 (meine Diplomarbeit & Diss sind eben leider schon einige Jahre her...). Ich erkenne die statistische Erheblichkeit deiner Auswahl an, da auch ich einige Bücher kenne, die L/K schreiben. Ich finde diese Schreibweise allerdings allein schon deshalb unglücklich, weil sie mit der Schreibweise der Quotientenraumbildung R/I (z.B. R Ring, I Ideal) zusammenfällt, wo die Schreibweise sinnvoll und literarisch nahezu eindeutig ist. Daneben hat die L:K-Schreibweise wie gesagt den Vorteil, dass sie zur Grad-Schreibweise [L:K] kompatibel ist. --JFKCom 19:56, 13. Aug 2005 (CEST)

Du hast schon recht: "L/K" hat dasselbe Aussehen wie Quotientenstrukturen. Ich sehe da aber keine Verwechslungsgefahr, denn außer dem Quotienten der additiven Gruppen (den ich, wenn ich müsste, als $(L,+)/(K,+)$ schreiben würde) fällt mir da keine Quotienten-Interpretation ein.

Ich plädiere dafür, sich an die (wohl noch genauer zu ermittelnde) bevorzugte Schreibweise der "Schaffenden" zu halten. Und wenn sich herausstellt, dass heute (in Fachartikeln oder neueren Lehrbüchern) die Schreibung L:K bevorzugt wird, dann sollten wir das ändern. Wir sollten nur "die Welt da draußen" abbilden.

Das Argument der Kompatibilität mit "[L:K]" kann durchaus Anlass sein, die Verwendung von "L/K" nach "L:K" zu ändern - aber erstmal nur "da draußen". :)

Ich habe gerade arxiv.org im Bereich Mathematik nach "field extension" befragt, und von den ersten 15 der 44 gelieferten Seiten haben:

L/K: 11

L|K: 1

L:K: 0

L supset K: 2

keine Formel dafür: 1

Mein Eindruck verstärkt sich dadurch eher noch :) Kennst du online-Quellen deutschsprachiger Artikel, die man nach Körpererweiterungen durchsuchen könnte? --SirJective 18:06, 14. Aug 2005 (CEST)

Leider nein. Vielleicht schaltet sich ja noch jemand zu unserer Diskussion dazu. Wenn Du die Darstellung aus "der Welt da draußen" über die Anzahl veröffentlichter Bücher oder Fundstellen definierst, dann landet mein Vorschlag wohl automatisch in der Mülltonne. Schnüff.--JFKCom 20:28, 14. Aug 2005 (CEST)

Es heißt immer, dass in der Wikipedia keine neue Begriffe gebildet werden sollen. Ich sehe keinen Grund, warum das für die Symbolik nicht genauso gelten soll. Wenn die Schreibweise L:K für die Körpererweiterung nicht eine nennenswerte Verbreitung besitzt (mir ist sie noch nicht begegnet), dann sollte sie auch hier nicht verwendet werden. Dass die Schreibweise Mängel aufweist ändert daran nichts. Aber man kann uns sollte im Artikel auf die Verwechslungsgefahr aufmerksam machen.--MKI 00:44, 15. Aug 2005 (CEST)

Ich kenne ein Buch, welches die Schreibweise L:K verwendet: Lau, Dietlinde: Algebra und diskrete Mathematik. - Berlin : Springer, Band 2, 2004, ISBN 978-3540203988. Auf Seite 287 (Google Books) wird die Schreibweise eingeführt. Also ist nicht jede Hoffnung verloren ;) -- PapaNappa 10:10, 20. Aug. 2010 (CEST)

Ich habe die Einleitung überarbeitet, die Definitionen präzisiert und bin auf die Schreibweise "L/K" eingegangen. JFKCom, du solltest noch die Vorteile der Schreibweise "L:K" einbringen. Übrigens wird "L/K" in allen WP-Artikeln verwendet, die ich gesehen habe. --SirJective 15:05, 15. Aug 2005 (CEST)

Die Notation $L:K$ ist mir nicht geläufig. Schräger Strich ist üblich, senkrechter Strich exotisch. Ich nehme an, dass der senkrechte Strich irgendwie die Analogie zum Teilbarkeitsstrich verdeutlichen soll (ist $L|K$ eine Erweiterung von Zahlkörpern, ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $K$ und ${\mathfrak {q}}$ ein Primideal in $L$, das über $p$ liegt, dann ist ${\mathfrak {q}}$ ein Teiler von ${\mathfrak {p}}$ bzw. genauer ${\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}$).

Die Gefahr von Verwechslungen mit Quotientenbildungen halte ich für vernachlässigbar.--Gunther 13:18, 20. Aug 2005 (CEST)

Damit ist die suggestive Schreibweise "L:K" wohl aus dem Rennen. Mir fällt noch ein, dass ich für Untergruppen die Schreibweise "$U\leq G$" kenne, die auch nichts mit "$[G:U]$" zu tun hat. --SirJective 13:32, 20. Aug 2005 (CEST)

Allerdings kenne ich für Untergruppen eher die Schreibweise $(G:U)$ :-) --Gunther 13:44, 20. Aug 2005 (CEST)

Tja, haben wohl ich und mein Lieblingsbuch von Meyberg verloren. Aber vielleicht, irgendwann in einigen Jahrzehnten gibt uns die Geschichte... träum ... --JFKCom 13:49, 20. Aug 2005 (CEST)

Schreibweise für "Index"

Das ist zwar ne andere Baustelle, aber was solls. :)

In der deutschen WP fand ich auf die Schnelle keine Erwähnung des Index einer Untergruppe, ich hab in Gruppentheorie, Untergruppe, Normalteiler und Faktorgruppe geschaut. In Index (Mathematik) wird immerhin auf Index (Äquivalenzrelation) (ein Redirect) verwiesen, wo aber nur eine allgemeine Definition als "Mächtigkeit der Menge der Äquivalenzklassen" zu finden ist. --SirJective 19:35, 21. Aug 2005 (CEST)

Siehe Index (Gruppentheorie).--Gunther 17:38, 12. Sep 2005 (CEST)

Hm. Die Hauptbaustelle wäre dann wohl Gruppentheorie...--Gunther 17:46, 12. Sep 2005 (CEST)

Separabel

Zur Frage: (Frage: Gibt es Aussagen, die zwingend die eine oder die andere Definition der Separabilität benötigen?)

Ich halte nur die "abweichende Definition" fuer sinnvoll, denn IMHO sollte gelten: Ein uber K definiertes Polynom P ist genau dann separabel wenn der Zerfaellungskoerper eine separable Erweiterung von K ist. Wenn sich kein Widerspruch erhebt, werde ich das demnaechst mal entsprechend aendern.

Joerg Winkelmann 22:03, 25. Apr 2006 (CEST)

Wenn man aus Sicht der Algebra $A=K[X]/(P)$ argumentiert, ist die erste Definition schlüssiger: $A$ ist genau dann separabel, wenn $P$ separabel ist.--Gunther 00:42, 26. Apr 2006 (CEST)

Okay, dann sollte man ruhig beide Definitionen drin lassen. In jedem Fall gilt: Das ist ein Artikel ueber Koerperweiterungen, K[X]/(P) ist nur dann eine Koerperweiterung wenn P irreduzibel ist, und daher kann man die Frage "Gibt es Aussagen, die zwingend die eine oder die andere Definition der Separabilität benötigen?" klar beantworten: Nicht in diesem Artikel. Deswegen habe ich die Frage entfernt.

Joerg Winkelmann 12:39, 2. Mai 2006 (CEST)

normale Erweiterung

Hi! Ist es nicht üblich, normale Körperweiterungen so zu definieren: Eine Körpererweiterung $L/K$ heißt normal, wenn es eine Menge $F\subset K[X]/K$ gibt, sodass $\forall f\in F$ gilt: $L$ Zerfällungskörper von $f$ ? (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 193.170.48.235 (Diskussion • Beiträge) 22:29, 8. Jun. 2008)

Du meinst: ... so dass $L$ Zerfällungskörper dieser Menge ist (sonst wäre zum Beispiel der algebraische Abschluss von Q nicht normal über Q). Es gibt noch weitere äquivalente Charakterisierungen, die man im Artikel durchaus ebenfalls aufführen könnte, da sie für das Verständnis des Begriffs wesentlich sind. Weshalb man eine als üblicher als andere bezeichnen könnte, wüsste ich aber nicht. Die Bezeichnung "normal" stammt wohl aus der Galois-Theorie, wo normale Erweiterungen normalen Untergruppen entsprechen. --80.129.118.105 00:52, 9. Jun. 2008 (CEST)

Zerfällungskörper

In diesem Abschnitt wird der Zerfällungskörper als eine spezielle Körpererweiterung $L/K$ definiert. "$L/K$ ist ein Zerfällungskörper von $p$ [...]". Soweit ich weiß wird jedoch $L$ der Zerfällungskörper genannt, nicht das Paar aus $L$ und $K$. --Senex 00:59, 8. Jan. 2009 (CET)

Dann wüsste man im allgemeinen nicht, wie K in L eingebettet sein soll (es geht nicht um das Paar, sondern um die Einbettung). Zwar kann man definieren, was man will, aber das wäre unpraktisch und würde auch der Namensgebung widersprechen, die einen Körper erwarten lässt, der die Nullstellen des Polynoms über K enthält. Die würde man dann erst mit der Wahl einer Einbettung bekommen. Zum Beispiel B. L. van der Waerden, Algebra I, 1971:

• "Unter den endlichen algebraischen Erweiterungen sind besonders wichtig die „Zerfällungskörper“ eines Polynoms f(x), die durch „Adjunktion aller Wurzeln einer Gleichung f(x) = 0“ entstehen.",

ebenso Serge Lang, Algebra 3rd ed., 1993:

• "By a splitting field K of f we shall mean an extension K of k such that f splits into linear factors in K [...]"

--80.129.89.23 07:30, 8. Jan. 2009 (CET)

In der Einleitung des Artikels steht »Das Paar $L$ und $K$ bezeichnet man als Körpererweiterung und schreibt es als $L/K$ [...].« Die selbe Definition findet man bei Bosch, Algebra 5. Auflage, 2004. Dort steht auch:

• »Im Allgemeinfall betrachtet man statt $\mathbb {Q} [\alpha _{i}]$ den so genannten Zerfällungskörper $L=\mathbb {Q} [\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}]$ von $f$, der aus $\mathbb {Q}$ durch Adjunktion aller Nullstellen von $f$ entsteht.«

Die von Dir zitierten Stellen verstehe ich eher als Argumente für meinen Änderungsvorschlag. Was meinst Du, was welcher Namensgebung widersprechen würde? $L$ ist doch ein Körper. Eventuell missverstehen wir uns nur.

• Um hervorzuheben, um welche Körpererweiterung es sich bei einem gegeben Zerfällungskörper handelt, wird dieser als Zerfällungskörper des Polynoms $f$ über $K$ definiert. Siehe auch en:Splitting field.

--Senex 10:44, 8. Jan. 2009 (CET)

Die Einbettung ist der ganze Witz bei dieser Theorie. Was ich zitiert habe, betont ebenso wie derzeit der Artikel klar und deutlich diesen Aspekt der Erweiterung. Genau das möchtest du ändern, also verschlechtern. Natürlich kann man die Einbettung als implizit gegeben betrachten, das heißt: Man kann sich ungenau ausdrücken, man kann "Körper" schreiben, diesen nur mit L bezeichnen und in Wirklichkeit "Erweiterungskörper" meinen, der als zusätzliche Struktur die Einbettung von K hat. Das ist allenfalls in Fällen wie dem zitierten Beispiel aus dem Bosch annehmbar, in dem die Einbettung eindeutig ist (da anscheinend K der Primkörper Q ist). Dann sollte man auf Paar-Schreibweisen wie L/K konsequenterweise auch ganz verzichten. Wäre die Einbettung stets eindeutig oder kanonisch gegeben, würde ich das auch als unnötigen Formalkram ansehen. Aber das ist hier ganz und gar nicht der Fall. --80.129.89.23 11:26, 8. Jan. 2009 (CET)

Mir geht es nicht darum, die Betonung auf die Erweiterung, bzw. auf die Sicht »von unten«, zu ändern. Ich sehe die Einbettung auch nicht als implizit gegeben. Mir geht es darum, eben keine ungenaue Ausdrucksweise zu fördern. Meiner Meinung nach sollte man nicht die Körpererweiterung den Zerfällungskörper nennen, wie es im Artikel geschrieben ist, sondern den Erweiterungskörper den Zerfällungskörper nennen.

Kurz: Nicht $L$ über $K$ ( =$L/K$ ) ist der Zerfällungskörper von $p$, sondern $L$ ist der Zerfällungskörper von $p$ über $K$.

Genau das schreibst Du ja auch in Deiner ersten Antwort: »[D]as [...] würde auch der Namensgebung widersprechen, die einen Körper erwarten lässt, der die Nullstellen des Polynoms über K enthält.«

--Senex 21:11, 8. Jan. 2009 (CET)

Dein alternativer Vorschlag könnte auch Teil einer korrekten Formulierung sein – die Notation L/K und ähnliche kann man überhaupt vermeiden. Aber "Meiner Meinung nach sollte man nicht die Körpererweiterung den Zerfällungskörper nennen" ist unbegründet und nicht durch die Literatur gedeckt, wie die obigen Zitate aus van der Waerden (Zerfällungskörper = bestimmte Erweiterung) und Lang (splitting field = bestimmte extension) belegen. Die Notation L/K finde ich nicht schön, aber sie ist anscheinend in gewissen Lehrbüchern verbreitet und jedenfalls an dieser Stelle korrekt. Wenn man mit L etwas anderes als L/K bezeichnet, nämlich den Körper L ohne die Zusatzstruktur der Einbettung von K in L, dann ist L an dieser Stelle falsch, da L abhängig von der (dann in jedem Fall noch zu wählenden) Einbettung zu einem Zerfällungskörper wird oder nicht. Kurz: Ein Zerfällungskörper ist eine bestimmte Körpererweiterung, nicht ein bestimmter Körper. --80.129.89.23 22:21, 8. Jan. 2009 (CET)

Ich zitiere Dich nochmal: »[D]as [...] würde auch der Namensgebung widersprechen, die einen Körper erwarten lässt, der die Nullstellen des Polynoms über K enthält.«

Im Bosch, Algebra 5. Auflage, 2004, S.110 ist zu lesen:

Es sei ${\mathcal {F}}=(f_{i})_{i\in I},f_{i}\in K[X]$, eine Familie nicht-konstanter Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper $K$. Ein Erweiterungskörper $L$ von $K$ heißt Zerfällungskörper (über $K$) der Familie ${\mathcal {F}}$, wenn gilt:

(i) Jedes $f_{i}$ zerfällt über $L$ vollständig in Linearfaktoren.

(ii) Die Körpererweiterung $L/K$ wird von den Nullstellen der $f_{i}$ erzeugt.

Er entsteht also wie bei B. L. van der Waerden, Algebra I, 1971 als auch dem Artikel zur Adjunktion_(Algebra) (»$L$ entsteht aus $K$ durch Adjunktion einer Nullstelle $\xi$ von $f$ und [man] schreibt $K(\xi )=L$.«) durch »Adjunktion aller Wurzeln«.

Ich habe auch nicht behauptet, $K$ oder die Einbettung seien irrelevant... Gerade erscheint mir eine so lange Diskussion über zwei so ähnliche Möglichkeiten einer Wortdefinition ziemlich müßig. Am Ende werden $K$ und die Einbettung ja doch immer mitgedacht. Aber was wäre Mathematik ohne eine exakte Sprache?

--Senex 23:54, 8. Jan. 2009 (CET)

Nun gut, ersetze in meinem letzten Satz "nicht ein bestimmter Körper" durch "nicht nur ein bestimmter Körper ohne Zusatzstruktur". Ich dachte, das sei durch meine vorangegangenen Erläuterungen klar. Bitte nimm Stellung zu den von mir klar nachgewiesenen Irrtümern deinerseits, anstatt bei mir ungenaue Formulierungen zu suchen. Du möchtest etwas im Artikel ändern, nicht ich. --80.129.89.23 00:03, 9. Jan. 2009 (CET)

Ich vermute unser Missverständis rührt daher, dass ich die Körpererweiterung $L/K$nicht als einen bestimmten Körper $L$ mit Zusatzstruktur verstehe, sondern als das Paar von $L$ und $K$, also gewissermaßen als zwei Körper (mit Zusatzstruktur). Auch scheint mir das englische Wort extension nicht eine Körpererweiterung zu meinen, sonder einen Erweiterungskörper, wie es auch [1] nahelegt. Ich sehe keine klar nachgewiesenen Irrtümer und auch nicht, dass ich nicht versucht hätte auf Deine Einwände einzugehen. Wie auch immer, mein Wunsch den Artikel zu ändern hat sich, angesichts des Verhältnisses des Gewichts der Veränderung zu der Länge der Diskussion, verflogen. Dennoch vielen Dank. (edit: Noch ein Link hinzugefügt.)

--Senex 12:14, 9. Jan. 2009 (CET)

OK, ich hoffe, die (rein mathematischen, nicht didaktischen o.ä.) Argumente sind dennoch angekommen. Freundliche Grüße --80.129.106.237 13:14, 9. Jan. 2009 (CET)

Es sollte wohl »Adjunktion aller Nullstellen« heißen, und nicht "Wurzeln". Da als Quelle ein englischsprachiges Buch angegeben ist, handelt es sich vermutlich um einen Übersetzungsfehler. Beide Wörter sind im englischen mit "root" zu bezeichnen. mfg --Blaarg 20:55, 27. Mär. 2010 (CET)

Das Buch "Algebra" (früher "Moderne Algebra") von B. L. van der Waerden ist im Original deutsch.[2] --91.32.91.35 21:08, 27. Mär. 2010 (CET)

Ok, ich sehe ein, dass es kein wirklicher Übersetzungsfehler ist, da der Begriff früher wohl nicht so eng gefasst war. Allerdings ist es eine unglückliche Formulierung welche leicht zu Missverständnissen führen kann. Im deutschen sind die Begriffe doch präzise genug um es auch dementsprechend zu formulieren. Stimmst du mir da zu? Im Wikipedia-Artikel über Nullstellen wird zwar auch erwähnt, dass "Nullstellen von Polynomen werden auch als Wurzeln bezeichnet.", aber ein Leser, der hier zum ersten mal etwas zu diesem Thema liest, kann leicht verwirrt werden und unnötig lange brauchen um daraus schlau zu werden. (wenn er nicht vorher den wikiartikel zu Nullstellen gelesen hat ;) ) mfg --Blaarg 00:40, 28. Mär. 2010 (CET)

Welches Missverständnis? Wieso ist "Nullstelle" präziser? Ich fürchte, die Bezeichnung "Wurzel" ist so eingeführt und geläufig, dass wir sie hier wohl kaum ablehnen können. --91.32.62.189 14:19, 28. Mär. 2010 (CEST)

Antwort auf die ursprüngliche Frage: Der Zerfällungskörper hängt nicht nur vom Polynom, sondern auch vom Basiskörper ab: Sei $p=x^{2}+1$. Über $K=\mathbb {Q}$ ist $L=\mathbb {Q} [i]$ der Zerfällungskörper, über $K=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]$ ist es $L=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},i]$. --Boobarkee 19:30, 17. Jan. 2012 (CET)

0 und 1 müssen enthalten sein

Das wird doch durch die Forderung danach, dass der Unterkörper selbst ein Körper ist, bereits klargestellt, oder? 1234qwer1234qwer4 (Diskussion☞·········🚪) 13:14, 18. Apr. 2019 (CEST)

Ist der Ausdruck Oberkörper gebräuchlich?

Soweit ich weiß, sprechen die klassischen deutschen Texte zu Körpererweiterungen von Erweiterungskörpern. Der Begriff Oberkörper ist mir nicht in diesem Zusammenhang bekannt und scheint im Deutschen auch missverständlich. Gibt es Standardwerke, die diesen Begriff verwenden? Ansonsten würde ich vorschlagen beim verbreiteten Ausdruck Erweiterungskörper zu bleiben.

Grad [R : Q]

Im Artikel heißt es:

Ein Beispiel für eine endliche Körpererweiterung ist die Erweiterung $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ der reellen Zahlen zu den komplexen Zahlen. Der Grad $[\mathbb {C} \colon \mathbb {R} ]$ dieser Erweiterung ist 2, da $\{1,i\}$ eine $\mathbb {R}$-Basis von $\mathbb {C}$ ist. Im Gegensatz dazu ist $[\mathbb {R} \colon \mathbb {Q} ]=\infty$ (genauer gleich der Mächtigkeit $c$ des Kontinuums), also ist diese Erweiterung unendlich.

Meine Frage dazu: Sollte nicht eher [R : Q] = |N|, die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen gelten? Soweit ich weiß ist |R| = |N^N| und |Q| = |N| also |R| = |Q^N|, oder irre ich da? (nicht signierter Beitrag von 83.175.96.8 (Diskussion) 21:05, 4. Feb. 2022 (CET))