Diskussion:Kompakter Operator

Sehr dünnes Bild?

ich bin mir nicht sicher, ob man heuristische begriffe wie "dünnes bild" in der definition wirklich verwenden sollte. Sgt. Hartman

Das Bild eines kompakten Operators kann sogar dicht sein. Beispiel: Die Inklusion H_0^1(Omega)->L_2(Omega) ist kompakt, vgl. Werner, Funktionalanalysis, Satz V.2.13. Aber der Raum der Testfunktionen ist in H_0^1 enthalten (H_0^1 wird als dessen Abschluss in W^m(Omega) definiert, vgl. ebd. Def. V.1.12), und der Raum der Testfunktionen ist dicht in L^2 (vgl. ebd. Lemma V.1.10). Shimmyshakes, 3.3.09

Linearität?

Hm ... man betrachtet doch auch nichtlineare kompakte Operatoren ... zum Beispiel ist Kompaktheit eine wichtige Voraussetzung für einige Fixpunktsätze, das ist doch mit linearen Operatoren irgendwie langweilig. Dann folgt Stetigkeit übrigens nicht, daher sollte man es AFAIR fordern --AB, Martini 17:29, 24. Aug 2006 (CEST)

Ich möchte diesen alten Punkt nochmals aufnehmen. Ich denke, der Artikel (und die Wikipedia) ist in dieser Hinsicht nicht konsistent. Mir ist der Begriff kompakter Operator bisher nur als kompakter linearer Operator begegnet (was aber daran liegen kann, dass ich als ehemaliger Funktionalanalytiker einseitig gebildet bin). Die englische Wikipedia en:Compact_operator verlangt aber ebenfalls Linearität. Im Artikel Operator (Mathematik) wird ein kompakter Operator auch als linear vorausgesetzt.

Wir können hier natürlich trotzdem auch den allgemeineren Begriff beschreiben, müssen dann aber darauf achten, dass wir das konsequent durchziehen. In den Eigenschaften wird nämlich weitgehend davon ausgegangen, dass es sich um lineare Operatoren handelt (wie wird z.B. ansonsten die Operatorennorm definiert?) UrsZH 09:09, 26. Okt. 2008 (CET)

Ich habe das Problem nun zumindest versucht in diesem Artikel zu beheben, indem ich für die linearen Operatoren einen eigenen Abschnitt eröffnet habe und dort alles über die linearen reingepackt habe. --Christian1985 (Diskussion) 14:38, 26. Mai 2011 (CEST)

Vollstetigkeit

Ich habe den Zusatz in der Einleitung, dass kompakte Operatoren auch vollstetig genannt werden, rausgenommen, da heute Vollstetigkeit anders definiert wird. Im englischen Artikel über Kompaktheit kann man das hier sehen. Ich werde das gleich in den Artikel einbauen. Dass manchmal die beiden Begriffe als äquivalent betrachtet werden, liegt daran, dass ursprünglich diese Begriffe auf Hilberträumen betrachtet wurden, wo sie tatsächlich zusammenfallen. UrsZH 19:32, 9. Nov. 2008 (CET)

Nirgends dicht

Die Aussage, dass relativkompakte Teilmengen unendlich-dimensionaler Banachräume nirgends dicht sind, ist falsch. Gegenbeispiel: der Durchschnitt der Einheitskugel mit einem endlich-dimensionalen Unterraum. Shimmyshakes, 20.2.09

Unsinn, endlichdimensionale Unterräume von unendlichdimensionalen Räumen sind stehts nirgends dicht! Und relativkompakte Mengen sind nirgends dicht, denn wären sie es nicht, so enthielte ihr kompakter Abschluss einen inneren Punkt, also eine kleine (abgeschlossene) $\varepsilon$-Kugel, und die wäre kompakt (normierte Räume sind Hausdorffsch!) und das kann nun wahrlich nicht sein in unendlich-dimensionalen Räumen. (Robert, 14.02.10)

Hm, die wäre aber im Gesamtraum nirgends dicht, oder?

Nehmen wir mal an, es gäbe eine relativkompakte Menge M, die nicht nirgends dicht ist. Dann ex. ja eine offenem Menge U mit cl(U)=cl(M) und somit cl(U) kompakt.

Dann gibt es aber eine Kugel in U, deren Abschluss als abg. Teilmenge einer kompakten Menge kompakt ist. Dies kann aber in unendl-dim Räumen nicht passieren.

Wer Fehler findet darf sie gerne anmerken --Controlling ^Disk 15:59, 27. Feb. 2009 (CET)

Dünnes Bild und Anwendung

Hallo! Ich habe die Formulierung mit dem "dünnen Bild" geändert (siehe 1. Punkt hier). Außerdem habe ich die Kompaktheit des Fredholmschen Integraloperators hinzugefügt und einen Link zur Fredholmschen Alternative gesetzt. Die Bedeutung der kompakten Operatoren für die Theorie der Integralgleichungen könnte man wahrscheinlich noch besser darstellen. --martinhei 21:13, 13. Mär. 2011 (CET)

Kompakte Störung der Identität

Im Artikel steht oben unter der sinnigen Überschrift "Beispiel", dass Identität minus kompakter Operator wieder ein kompakter Operator ist. Zumindest, wenn der Operator auf einer beschränkten Menge eines normierten Raumes definiert ist. Das bezweifle ich. Beispiel: Sei Omega die offene Einheitskugel in einem unendlichdimensionalen Banachraum X. Die ist beschränkt. Sei nun K_0 die Nullabbildung von Omega nach X. Die ist kompakt. Nun ist K=Id-K_0 eine Abbildung, die sicher nicht kompakt ist. Ich würde deshalb den Beispiel-Absatz einfach beseitigen, wenn niemand Einwände hat. Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 13:31, 23. Mär. 2012 (CET)

Separabler Raum

Es wurde geschrieben, dass jeder separable Raum F eine Folge von finiten Operatoren besitzt, welche punktweise gegen die Identität konvergieren. Dies bezweifle ich. Mir fällt leider zur Zeit kein Gegenbeispiel ein. Außerdem ist jeder Raum mit dieser Eigenschaft automatisch separabel, soviel ich weiß. Insbesondere kann dann nicht jeder Hilbertraum diese Eigenschaft erfüllen, da sonst jeder Hilbertraum separabel wäre. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 18:55, 20. Apr. 2012 (CEST))

Jeder separable Raum hat eine abzählbare (topologische) Basis. Die Folge der Projektoren auf die von den ersten n Basisvektoren aufgespannten Unterräume erfüllt die gewünschte Eigenschaft.--LutzL (Diskussion) 18:03, 22. Apr. 2012 (CEST)

Es ist aber wichtig, dass die Folge beschränkt ist, und dies ist nicht bei jedem separablem Raum der Fall. Das Kriterium der Beschränktheit habe ich leider nicht in meiner Diskussion erwähnt, ist jedoch in dem entsprechenden Beitrag erwähnt auf den ich mich bezog. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 10:18, 24. Apr. 2012 (CEST))

Projektoren sind in ihrer Operatornorm immer durch 1 beschränkt. Jeder Projektor auf eine konvexe Menge ist Lipschitz-stetig mit Konstante 1, und Projektoren auf Unterräume sind auch noch linear.--LutzL (Diskussion) 11:01, 24. Apr. 2012 (CEST)

Dies gilt meines Wissens aber nur für Hilberträume. Für einen Projektor vom einem Banachraum in einen endlichdimensionalen Raum, kann man nur die Aussage treffen, dass die Norm kleiner gleich der Dimension des endlich dimensionalen Raumes ist. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 16:56, 26. Apr. 2012 (CEST))

Richtig, das Argument über die Normschranke an Projektionen kann man so im Banachraumfall nicht generell machen. -- pberndt 18:54, 26. Apr. 2012 (CEST)

Noch ganz etwas anderes: Wo steht das eigentlich? Im Artikel nicht.. nach dem, was im Artikel steht, sollte diese Behauptung sogar falsch sein. -- pberndt 19:03, 26. Apr. 2012 (CEST)

Ich hab es im Artikel schon korrigiert, diese Diskussion ist jetzt nur noch der Restbestand (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 20:39, 26. Apr. 2012 (CEST))

Ok. -- pberndt 10:17, 27. Apr. 2012 (CEST)

Approximationseigenschaft

Ist die Eigenschaft wie formuliert belegbar? Ich würde eher die andere Richtung vermuten, dass jeder kompakte Operator fast-endlich, also endlich approximierbar ist. Denn das Bild der Einheitskugel ist eine kompakte Menge, diese hat ein endliches ε-Netz für jedes ε>0. Die Projektion auf den von den Mittelpunktsvektoren aufgespannten Unterraum ergibt dann eine endlichdimensionale ε-Approximation (in Operatornorm) des Operators.

Die umgekehrte Eigenschaft, dass jeder fast-endliche Operator auch kompakt ist, wäre dann mit Zusatzbedingungen zu versehen.--LutzL (Diskussion) 18:03, 22. Apr. 2012 (CEST)

Ich habe mich das selbst gestern gefragt, mangels Ahnung vom Thema habe ich das dann aber so stehen lassen. Nur zur Sicherheit: Dir ist aufgefallen, dass es (dem Titel der Quelle nach) um nichtlineare Operatoren geht und der Operator nur auf einer beschränkten Menge definiert ist? -- pberndt 18:59, 22. Apr. 2012 (CEST)

Nein, ist es nicht. Aber der Text spricht explizit und mehrfach von linearen Operatoren.--LutzL (Diskussion) 11:03, 24. Apr. 2012 (CEST)

Ah, ich meinte den zweiten Abschnitt, bzw. Unterabschnitt, mit diesem Titel.--LutzL (Diskussion) 11:05, 24. Apr. 2012 (CEST)

Ach so. Nein, das ist so korrekt: Durch Operatoren mit endlichdimensionalem Bild approximierbare Operatoren sind kompakt. Die kompakten Operatoren sind ein abgeschlossener Teilraum der beschränkten (linearen) Operatoren. Also ist auch der Grenzwert einer Folge kompakter Operatoren kompakt. Jede Abbildung mit endlichdimensionalem Bild ist kompakt, also folgt die Behauptung. Andersherum gibt es ein Gegenbeispiel. (Quelle: Dirk Werner, Funktionalanalysis, 6. Auflage, p.67, Korollar II.3.3) -- pberndt 18:44, 26. Apr. 2012 (CEST)

Ich hab es nur ein wenig umformuliert, weil es mir so verständlicher erscheint. (nicht signierter Beitrag von Wotan.Odin (Diskussion | Beiträge) 12:22, 30. Apr. 2012 (CEST))

Eigenschaften

Ich denke der Zusatz "Der lineare [...]" in "Der lineare Operator K \colon E \to F ist genau dann kompakt, wenn zu jeder beschränkten Folge (x_n) in E eine Teilfolge von (K(x_n)) existiert, die in F konvergiert." ist unnötig. Das gilt auch für nichtlineare Operatoren. (nicht signierter Beitrag von 88.67.154.139 (Diskussion) 19:34, 3. Aug. 2012 (CEST))

Vorschlag einer größeren Änderung am Artikel

Weil vermutlich viele Leser an linearen kompakten Operatoren interessiert sind und auch die meisten Informationen auf dieser Seite zu linearen Operatoren sind, würde ich gerne folgenden Vorschlag in den Raum werfen: Wir behandeln zuerst die linearen Operatoren inklusive Spektraltheorie und dem ganzen Kram und hängen anschließend einen Abschnitt über nichtlineare kompakte Operatoren dran. Das hätte meiner Meinung nach mehrere Vorteile: Man geht vom Einfacheren zum Abstrakteren (Lineare Funktionalanalysis ist weiter verbreitet als nichtlineare), das einleitende Beispiel (nämlich die Identität) ist ein linearer Operator, der Abschnitt über die Fixpunkttheorie wäre dann direkt nach der Definition der nichtlinearen kompakten Operatoren, wo er hingehört und die Approximationseigenschaft nichtlinearer Operatoren würde im Artikel auch erst nach der (meiner Meinung bekannteren) Approximationseigenschaft für lineare kompakte Operatoren kommen. Außerdem wird in vielen anderen Wikipedia-Seiten das Wort kompakter Operator im Sinne von linearer kompakter Operator verwendet und dann hierher verlinkt, wo sich der Leser, der z.B. bei Fredholm-Operator oder Wesentliches Spektrum auf "kompakter Operator" klickt erstmal mit der nichtlinearen Theorie konfrontiert sieht.

Soweit mein Vorschlag. Meinungen dazu? --Cosine (Diskussion) 10:38, 6. Jun. 2013 (CEST)

Hallo Cosine,

ich hatte mal vor langer Zeit, als ich mich mit nichtlinearen kompakten Operatoren befassen musste, den Artikel in diese Form gebracht. Zuvor war nicht mal klar, welche Aussage für lineare und welche für nichtlineare Operatoren galt. Damals hatte ich schon darüber nachgedacht aus diesem Artikel zwei Artikel zu machen, um die Themen klar zu trennen. Hatte es dann aber aufgrund mangelnder Motivation wieder verworfen. Dein Vorschlag diesen Artikel ganz anders zu strukturieren gefällt mir sehr gut. Das ist möglichweise sogar besser als zwei Artikel anzulegen. Viele Grüße --Christian1985 (Disk) 11:12, 6. Jun. 2013 (CEST)

So, ich habe jetzt mal ein paar Änderungen vorgenommen und dabei hauptsächlich die Reihenfolge von linear/nichtlinear vertauscht. Unglücklich bin ich immer noch darüber, dass wir manchmal Banachräume und manchmal nur normierte Räume voraussetzen. Das sollte man einheitlich machen, habe da aber gerade keine Präferenz. Beim Abschnitt über vollstetige Operatoren war ich mir nicht ganz sicher, ob der eher zu der linearen oder der nichtlinearen Theorie gehört. Und bei der Approximation nichtlinearer Operatoren wundert es mich immer noch, dass dort der Banachraum die Approximationseigenschaft nicht braucht, aber da die Aussage bequellt ist und ich gerade das Buch nicht zur Hand habe, glaube ich sie mal... Viele Grüße, --Cosine (Diskussion) 14:37, 6. Jun. 2013 (CEST)