Diskussion:Laplace-Operator

Diese Diskussionsseite dient dazu, Verbesserungen am Artikel „Laplace-Operator“ zu besprechen. Persönliche Betrachtungen zum Thema gehören nicht hierher. Für allgemeine Wissensfragen gibt es die Auskunft.

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Laplace Operator in 3 Dimensionen kleine Korrektur?

Zylinderkoordinaten: Man sollte r anstatt $\rho$ benutzen. In Büchern werden beide Schreibweisen parallel verwendet. Es handelt sich hierbei um eine Länge, die normalerweise in lateinischen Buchstaben geschrieben wird, griechische Buchstaben benutzt man in der Regel für Winkel. Weiterhin ist die Symmetrie zu den drunter stehenden Kugelkoordinaten, in denen der Radius r benutzt wird, wichtig. Ein Variablentausch führt aus diesen Gründen zu Verwirrungen.

Natürlich könnte man jetzt anführen, dass r in Zylinder und Kugelkoordinaten nicht dasselbe beschreibt, allerdings ist allgemein bekannt, dass es sich um unabhängige Variablen handelt. eine Verwechslung mit dem Ortsvektor ist deshalb ausgeschlossen. Es gilt

${\vec {r}}\,^{2}=\rho ^{2}+z^{2}$

aus diesem Grund plädiere ich für r in Zylinderkoordinaten anstatt $\rho$

Du kannst plädieren für was du willst. Bitte ändere den Artikel erst, wenn auch darüber diskutiert worden ist. r ist auch der Betrag in Polor und Kugelkoordinaten. Bitte nenne erst ernst zunehmende Quellen in denen r als Koordinate verwendet wird. Abgesehen davon ist schon in sehr vielen Artikeln $\rho$ in Gebrauch. --87.78.160.89 18:16, 19. Feb. 2007 (CET)

Ich finde $\rho$ auch besser, weil weiter verbreitet, --B wik 01:31, 4. Jul. 2007 (CEST)

Definition unter Allgemeines/Bemerkungen

Hallo zusammen. Insgesamt ein sehr gelungener Artikel. Ich finde es nur merkwürdig, dass der eine Spezialfall, nämlich kartesisches System und Anwendung auf ein Skalarfeld zu allererst unter "Allgemeines" steht, der zweite Teil der Definition, nämlich die Anwendung auf ein Vektorfeld steht "nur" unter Bemerkungen. Ich habe gerade eben "Teubner-Taschenbuch der Mathematik" (Bronstein) nachgeschaut. Dort steht ausdrücklich:

Laplaceoperator: Wir definieren:

$\Delta$ T(P) := div grad T(P)

und

$\Delta$K(P) := grad div K(P) - rot rot K(P)

(Bem.: Vektoren habe ich mal wie im Teubner-Taschenbuch der Mathematik dick gedruckt, das ist aber wohl keine Wiki-übliche Notation, deshalb lege ich darauf auch keinen Wert, auch wenn ich sie sehr übersichtlich finde.)

Ich meine, um einer Defintion des Laplaceoperators vollständig gerecht zu werden, sollte die Definition an einer Stelle für beide Fälle stehen, und nicht die eine Hälfte unter "Allgemeines" und die andere Hälfte unter "Bemerkungen". Das finde ich etwas unglücklich und unübersichtlich. Noch dazu scheint es wertend. Beide Definitionsarme sind aber gleichberchtigt und gleichwichtig.

--Any nick 13:42, 17. Mär. 2008 (CET)

Hallo zusammen,

ich finde auch diese Formulierung unglücklich:

"Dabei ist das Resultat wieder eine skalare Funktion. Bezüglich div und grad siehe Divergenz und Gradient. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen unterscheidet sich von der in kartesischen Koordinaten. Zu ihrer Berechnung geht man normalerweise von der obigen Formel aus, die dann in die jeweiligen Räume transformiert wird."

Das stimmt für die angebenen Definition für Kartesische Koordinaten, aber hier sieht es so aus, also würde es sich auf

$\Delta$ T(P) := div grad T(P)

beziehen. Und das ist eben falsch. Denn diese Darstellung des Operators ist unabhängig vom Koordinatensystems, da Divergenz und Gradient invariant sind. Ebenfalls Bronstein.

--Any nick 02:26, 11. Jun. 2008 (CEST)

Hallo Any nick: Der Abschnitt "Allgemeines" ist sprachlich schon etwas "holprig". Allerdings wird die Darstellung in kartesischen Koordinaten am Ende erwähnt. Von daher würde ich den allgemeinen Aufbau des Artikels nicht ändern. Im neuen Entwurf habe ich den sprachlichen Zugang zur Darstellung in kartesischen Koordinaten "freigelegt", um den Artikel noch mehr allgemein verständlich zu machen. --B wik 09:01, 6. Jul. 2008 (CEST)

Hallo B wik, Du scheinst Dich auf die bereits von mir geänderte Version des Artikels zu beziehen. In sofern sehe ich mich bestätigt, den Artikel dahingehen geändert zu haben. Quelle war wie gesagt Bronstein. --Any nick 02:00, 24. Jul. 2008 (CEST)

---

In der Bemerkung, dass der Laplace-Operator die Spur der Hesse-Matrix sei gilt nur für kartesische Koordinaten; nicht jedoch für Krummlinige, wie man leicht sehen kann ( es handelt sich nicht einfahc um 2-fache Ableitungen! ) (TB)

Laplace in der Bildverarbeitung

Der Abschnitt über den Laplace in der Bildverarbeitung ist eher als Erinnerungshilfe für Experten geschrieben, denn als informative Ergänzung. Es ist nicht erkennbar, um welche Art Kanten es sich handelt, was der Laplace-Operator dabei macht, was die angegebenen Matrizen mit dem Laplace-Operator zu tun haben, wie diese über eine Faltung worauf angewandt werden sollen und was ein Signal ist, dessen zweite Ableitung einen Nulldurchgang besitzen soll. Ich schlage Streichung dieser Passage und Verweis auf einen eigenen, grundlegend neu konzipierten Artikel vor, wenn dieses Thema denn als relevant angesehen wird.

• Semantisches kleines Problem: "Der Laplace-Operator ist vom vektoriellen Laplace-Operator zu unterscheiden, der in den Wellengleichungen für elektromagnetische Felder auftritt". Es ist nur für Eingeweihte klar, nicht aber formal im Satz, wer nun in den Wellengleichungen f. el.mag.Felder auftritt: Der Laplace.. oder der vektiorelle La.....? 10.8.2014,

Und ich dachte immer ...

.. Artikel aus meinem Fachgebiet (Medizin) seien für Laien manchmal etwas schwer lesbar. Damals hatte ich auch noch keine mathematischen Artikel gelesen.

(Nichts für ungut, aber - obwohl mathematisch interessiert - verstehe ich hier nur einzelne Wörter - Bahnhof?)-- Ungebeten 22:06, 12. Jan. 2009 (CET)

Der Einstieg mit den Div, Rot, Grad Operatoren ist wohl für Laien unverständlich und möglichweise zu viel. Vielleicht wäre es am Sinnvolltest den Laplace-Operator zu Anfang in kartesischen Koordinaten zu definierne und dann erst die Verallgemeinerungen zu erklären. Was hast du denn von dem Artikel für Informationen erwartet die du wohl nicht finden konntest? Achja und mir scheint der Artikel von einem Physiker geschrieben worden zu sein. ;)--Christian1985 14:01, 13. Jan. 2009 (CET)

Ich hatte nur den Begriff gelesen und wollte ganz platt wissen, was das ist. -- Ungebeten 01:17, 18. Jan. 2009 (CET)

Der Einstieg ist ja nicht über die zitierten Div, Rot, Grad Operatoren, sondern über einen Prosatext. Dieser einleitende Satz erklärt doch klar, vollständig und verständlich, um was es sich bei diesem Operator handelt. Wer schon mal im Abitur mit Ableitung, Summen, Vektorraum gekämpft hat, sollte den Satz doch nach einer Weile "ganz platt" deuten können. "Es ist die Summe der zweiten Ableitungen im Raum."

Der Artikel beginnt ja nicht mit "Allgemeines". Zuvor stand unter "Allgemeines" eben nur dieser Spezialfall "kartesisches Koordinatensystem". Aber ein Spezialfall unter Allgemeines? Das kanns ja wohl auch nicht sein. Eine Enzyklopädie ist in meinen Augen kein Lehrbuch, in dem didaktisch von klein nach groß, konkret nach allgemein vorzugehen ist. --Any nick 23:10, 3. Feb. 2009 (CET)

Was im dem Artikel fehlt, ist vielleicht ein anschauliches Beispiel aus der Physik. Für einen "Laien" verständlich wäre vielleicht ein Beispiel aus der Gravitation einfach und verständlich:

Höhenlinien stellen im Grunde ein Potenzialfeld der Gravitation der Erde dar. Löse diesen doppelten Genitiv auf, und Du hast bereits den Operator verstanden. Jeder Genitiv "Potenzialfeld der Gravitation der Erde " beschreibt eine partielle Ableitung. Am Beispiel des berühmten Apfels, der Sir Isaac Newton auf den Kopf gefallen ist:

Die Höhenlinien (Höhe des Zweiges des Apfelbaums) sind ein Potenzialfeld V(h) und beschreiben die potenzielle Energie einer Probemasse (Apfel). Die erste Ableitung dieses Potenzialfelds beschreibt ein Vektorfeld, nämlich den Gradienten g = grad V(h). Dieser zeigt an, wohin das Potenzial wächst, sprich er zeigt "nach oben" und sein Betrag zeigt an um wieviel die potenzielle Energie dabei zunimmt (Äpfel von oben können härter fallen als Äpfel von unten und größere Beulen auf Isaac's Kopf verursachen, höhere Äpfel haben mehr potenzielle Energie. Innerhalb der Dimensionen "Apfelbaum" kann das Feld der Erde als linear betrachtet werden. Das heißt, der Vektorbetrag ist überall gleich, die Lageenergie nimmt nahe zu überall um gleich viel zu (10m oder 12 m über dem Boden ist die Gravitation der Erde kaum schwächer geworden. (Anmerkung: das Kraftfeld der Schwerkraft G = -k grad V(h) ist diesem Gradient entgegengesetzt definert, da sie als Krafvektor "nach unten" wirkt).

Dieses Vektorfeld G nun wiederum der Schwerkraft hat ja eine Quelle, sprich eine Stelle im Raum, von dem diese Vektorpfeile ihren Anfang/Ende nehmen. (Gehe nun weg vom Baum und denke Dir das annähernd radiale Gravitationsfeld der Erde, wie wenn Du sie Dir aus dem All betrachten würdest, alle Gravitationspfeile laufen in der Erde zusammen, die Erde ist eine Senke der Gravitation, hier entsteht/ändert sich das Vektorfeld) Eine solche Quelle/Senke bezeichnet man als Divergenz. Sie ist eine partielle Ableitung eines Vektorfeldes. In unserem physikalischen Beispiel ist das die Massendichte (sprich dort wo die Erde ist, ist die Masse verständlicher weise dichter verteilt als anderswo). Den Zusammenhang gibt der Satz von Gauß ρm = c div G = c div (-k grad V(h)) = - c k $\Delta$V(h) (es gilt Linearität). Lies "Potenzialfeld der Gravitation der Erde". Wobei ich auf die Konstanten c und k nicht eingehe.

Das Gleiche gilt im übrigen ganz analog z. B. auch für getrennte elektrische Ladungen im Raum (siehe Poisson-Gleichung). Aber ich denke Äpfel sind verständlicher als Elektronen, oder? --Any nick 00:16, 4. Feb. 2009 (CET)

Vielleicht bin ich hier ja wirklich ein wenig begriffsstutzig. Ich habe den Artikel angelesen und bin direkt auf eine feindliche Armee mir unbekannter oder nicht mehr gut bekannter Begriffe gestoßen ("Differentialoperator", "mehrdimensionale Analysis", "euklidischen Raum", "kartesischen Koordinaten", "Summe der zweiten partiellen Ableitungen"). Die danach folgenden Formeln machten das alles nicht besser. Mit einiger Gedankenarbeit kann ich mir von einem Teil der Begriffe eine gewisse Vorstellung machen, aber vom Laplace-Operator habe ich dadurch noch keine Vorstellung.

Was hältst Du von folgender Definition eines Herzschrittmachers: "Ein Gerät zur interventionellen, passageren oder permanenten Therapie symptomatischer, bradykarder Arrhythmien"? Sie fasst kurz und klar zusammen, was ein Herzschrittmacher ist. Trotzdem stelle ich mir vor, dass sie auf Laien abstoßend wirkt. Ein Laie liest wahrscheinlich lieber "Herzschrittmacher werden bei zu langsamem Herzschlag eingesetzt und stimulieren ... usw."

Ich wollte nicht sagen, dass in dem Artikel irgendwas falsch ist, ich hab's nur nicht begriffen. Nach Deiner freundlichen Erklärung ist es ein bisschen besser geworden. Nun kann man zurecht die Frage stellen, ob meine Begriffsstutzigkeit hier das Maß der Dinge sein muss, ob ein so spezielles Thema für Laien verständlich sein muss. Andererseits richtet sich m.E. die Wikipedia an das gemeine Volk, zu dem ich mich bei diesem Thema gewiss rechne.

Vielleicht würde ein Satz wie "Der Laplace-Operator wird verwendet, um ... Dadurch hat er Bedeutung in so verschiedenen Bereichen wie ..." schon weiter helfen. Dann sind auch die Leser bedient, die "Poisson-Gleichung" oder "Skalarfelder" noch nie gehört haben. -- Ungebeten 06:33, 6. Feb. 2009 (CET)

Verallgemeinerter Laplace-Operator

Bereits der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Daher sollte man den verallgemeinerten Laplace-Operator vor der Darstellung in 2D und 3D erwähnen. --V4len (Diskussion) 11:41, 22. Jan. 2014 (CET)

Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten ist doch immernoch der gewöhnliche Laplace-Operator, der auf Funktionen $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ wirkt nur bezüglich anderer Koordinaten dargestellt wird. Koordinatenwechsel im $\mathbb {R} ^{n}$ kann man mit allen linearen Differentialoperatoren durchführen.

Das besondere am verallgemeinerten (geometrischen) Laplace-Operator ist, dass er ein Operator der auf Schnitten in Vektorbündel ist. Der Hodge-Laplace-Operator $dd^{*}+d^{*}d$ ist ein Beispiel für einen solchen verallgemeinerten Laplace-Operator, nämlich einer der auf den Schnitten der äußeren Algebra operiert. Diese differentialgeometrischen Aspekte sind viel zu kompliziert für den Anfang des Artikels, daher bin ich mit der letzten Änderung des Artikels nicht einverstanden. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 11:55, 22. Jan. 2014 (CET)

Es handelt sich bei Kugelkoordinaten bereits um eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Die Riemannsche Metrik ist nicht mehr das Euklidische Skalarprodukt. Von daher handelt es sich nicht um den klassischen Laplace-Operator im Euklidischen. --V4len (Diskussion) 12:01, 22. Jan. 2014 (CET)

@V4len: Die Riemannsche Metrik ist das euklidische Skalarprodukt, nur anders dargestellt. Klar, man kann den euklidischen $\mathbb {R} ^{3}$ als (flache) Riemannsche Mannigfaltigkeit auffassen, dann stimmt der Laplace-Operator mit dem Laplace-Beltrami-Operator bezüglich dieser Metrik überein. Man braucht aber diese Theorie nicht zwingend dafür um den Laplace-Operator in krummlinigen Koordinaten darzustellen.

@Christian1985: V4len hat nur den Laplace-Beltrami-Operator angesprochen. Dieser wirkt wie der gewöhnliche Laplace auf Funktionen. Schnitte in Bündeln sind nochmals eine Stufe allgmeiner. --Digamma (Diskussion) 13:18, 22. Jan. 2014 (CET)

@Digamma: Mir ist klar, dass das Skalarprodukt eine (flache) Riemannsche Metrik ist. Mein Punkt war, dass man in Kugelkoordinaten kein euklidisches Skalarprodukt mehr hat. Da sind wir uns, denke ich, einig.

Was mir insgesamt bei dem Artikel nicht gefällt, ist, dass viele Dinge benutzt werden, ohne sie klar zu definieren. Ich bin der Meinung, dass man für Kugel-koordinaten den Laplace-Beltrami benennen sollte. Ich bin der Meinung, dass man Laplace auf Vektorfelder einführen sollte, wenn sie im Abschnitt 2.2 In drei Dimensionen benutzt werden. Der Verweis zum verallgemeinerten Laplace-Operator finde ich zu stark. Ich denke, dass im Laplace-Artikel alle klassischen Formeln auftreten sollen, die man in den Ingenieurwissenschaften und im Physik-Grundstudium benutzt. --V4len (Diskussion) 13:34, 22. Jan. 2014 (CET)

Bei letzterem stimme ich dir zu. Aber genau deswegen denke ich, dass man mathematisch auf einem elementareren Niveau bleiben sollte. Man kann alle diese Koordinatendarstellungen wunderschön über die Riemannsche Metrik ausdrücken. Man kann es aber auch elementarer machen, ohne Riemannsche Metrik. Für die Koordinatendarstellung des Laplace-Operators muss man sowieso nur die entsprechenden Formeln für Gradient und Divergenz zusammensetzen und keine eigene Theorie entwickeln. Auch im Abschnitt 2.2 kommt nur der Laplace-Operator angewendet auf Funktionen vor. Eine Anwendung auf Vektorfelder wird nur beiläufig erwähnt. Wenn dich das stört, dann kann man den entsprechenden Satz auch streichen. --Digamma (Diskussion) 14:11, 22. Jan. 2014 (CET)

Digamma, da stimme ich mit Dir überein. Ich Frage habe ich aber noch? Was verstehst Du unter dem Laplace-Beltrami-Operator? Ich glaube dieser ist in der Literatur nicht einheitlich definiert. Definiert man ihn durch $dd^{*}+d^{*}d$, so denke ich, es soll angedeutet werden, dass er auf Differentialformen operiert, denn es gilt ja $d^{*}f=0$ für eine Funktion $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$.

Ein bequellter Artikel und/oder Abschnitt zum Laplace-Operator auf Vektorfeldern wäre sicher wünschenswert.--Christian1985 (Disk) 14:21, 22. Jan. 2014 (CET)

Verallgemeinerter Laplace-Operator#Laplace-Beltrami-Operator. Du meinst wahrscheinlich den Hodge-Laplace. --Digamma (Diskussion) 18:34, 23. Jan. 2014 (CET)

Okey, ich hatte den Eindruck, dass wir in der Diskussion vom Operator $dd^{*}+d^{*}d$ sprechen, obwohl ich unter Laplace-Beltrami-Operator auch den Operator Verallgemeinerter Laplace-Operator#Laplace-Beltrami-Operator kenne.--Christian1985 (Disk) 18:44, 23. Jan. 2014 (CET)

Ja, den $dd^{*}+d^{*}d$ hat - wenn ich mich nicht irre - V4len ins Spiel gebracht. Der hat aber mit dem Problem des Laplace-Operators in Kugelkoordinaten gar nichts zu tun. (Soweit ich das überblicken kann.) --Digamma (Diskussion) 22:20, 23. Jan. 2014 (CET)

Wie man bei Polarkoordinaten von einem Euklidischen Vektorraum ausgehen kann, ist mir schleierhaft. Die Riemannsche Metrik bei $(r,\phi )$ ist $\left({\begin{matrix}1&0\\0&r^{2}\end{matrix}}\right)$ --V4len (Diskussion) 09:18, 24. Jan. 2014 (CET)

Es ist trotzdem ein Euklidischer Raum. Vielleicht besser "Euklidischer Punktraum" statt "Vektorraum". Man verwendet nur andere Karten als die üblichen kartesischen. Deshalb hat die Metrik eine andere Darstellung. --Digamma (Diskussion) 12:21, 24. Jan. 2014 (CET)

Ich glaube, mir inzwischen der Grund der unterschiedlichen Auffassung klar geworden. Es hängt davon ab, ob man die betrachtete Funktion $f$ als Funktion im euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ auffasst oder als Funktion auf dem Koordinatenbereich, also auf der Menge der Tripel $(r,\theta ,\varphi )$. Physiker und andere Anwender schreiben "ohne mit der Wimper zu zucken" $f(x,y,z)=f(r,\theta ,\varphi )$ und meinen damit eine Funktion auf dem euklidischen Raum, rechnen aber mit einer Funktion, die von $r$, $\theta$ und $\varphi$ abhängt. Mathematisch muss man natürlich unterscheiden und etwa schreiben $f(x,y,z)={\tilde {f}}(r,\theta ,\varphi )$. Bezeichnet man die Abbildung $(x,y,z)\mapsto (r,\theta ,\varphi )$ als $\Phi$, so gilt ${\tilde {f}}=f\circ \Phi ^{-1}$.

In der Riemannschen Geometrie betrachtet man Funktionen auf der Mannigfaltigkeit, leitet diese aber nach Koordinatenfunktionen ab als ob es Funktionen der Koordinaten wären. Ist $f$ eine Funktion von der Mannigfaltigkeit $M$ nach $\mathbb {R}$ und $\Phi \colon U\subset M\to V\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine Karte mit den Koordinatenfunktionen $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}$, so setzt man

${\frac {\partial f}{\partial \varphi _{i}}}(p)={\frac {\partial (f\circ \Phi ^{-1})}{\partial x_{i}}}(\Phi (p))$,

wobei auf der rechten Seite die übliche partielle Ableitung im Koordinatenraum $\mathbb {R} ^{n}$ steht.

Und in diesem Sinn kann man auch eine Funktion, die auf dem euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ definiert ist nach den Koordinaten (in diesem Fall besser: Koordinatenfunktionen) $r$, $\theta$ und $\varphi$ ableiten. --Digamma (Diskussion) 18:38, 24. Jan. 2014 (CET)

Das entspricht der Definition einer Riemannschen Mannigfaltigkeit. Eine Mannigfaltigkeit $M(=\mathbb {R} ^{n})$ mit lokal definierten Skalarprodukten auf $T_{p}M(=\mathbb {R} ^{n})$. Durch die lokal varierenden Skalarprodukte ist $M$ nicht-euklidisch. Das fließt indirekt in dem Abschnitt krummlinige Orthogonalkoordinaten mit ein. Ich bin der Meinung, dass dieser Abschnitt direkt nach Definition eingebunden werden sollte und man danach erst von Kugelkoordinaten, Polarkoordinaten etc. reden sollte. Andernfall fallen die Formeln für Polarkoordinaten etc. vom Himmel. --V4len (Diskussion) 21:05, 24. Jan. 2014 (CET)

Nein, wenn du als Mannigfaltigkeit den euklidischen Raum nimmst, dann wird er nicht dadurch nicht-euklidisch, dass du eine ungewöhnliche Karte wählst. Die geometrischen Eigenschaften der Mannigfaltigkeit hängen nicht von der Koordinatendarstellung ab.

Aber dein Vorschlag, den Abschnitt über "krummlinige Orthogonalkoordinaten" vorzuziehen, erscheint mir sinnvoll. --Digamma (Diskussion) 21:37, 24. Jan. 2014 (CET)

Spektrum

Ich denke für die Aussagen zum Spektrum (positiv, diskret, …) braucht man noch zusätzlich irgendwelche Randbedingungen. So wie es jetzt im Artikel steht, scheint mir da was zu fehlen. -- HilberTraum (Diskussion) 07:46, 23. Jan. 2014 (CET)

Danke für die Anmerkung. Dass der Laplace-Operator positiv ist, folgt daraus, dass er selbstadjungiert ist. Dafür müsste es reichen, ihn auf $H^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ operieren zu lassen. Damit er ein diskretes Spektrum hat, müssen noch Randbedinungen gewählt werden, was ich vergessen hatte. Ich hoffe nun stimmts. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 08:06, 23. Jan. 2014 (CET)

Danke schon mal. Bei $H^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ bin ich mir nicht ganz sicher, aber für beschränktes $\Omega$ folgt wohl die Positivität nicht „einfach so“. Zum Beispiel $\Omega =(0,1)$ und die Exponentialfunktion $f$ mit $-f''=(-1)f$. -- HilberTraum (Diskussion) 10:15, 23. Jan. 2014 (CET)

Mit dem Gegenbeispiel hast Du natürlich Recht. Ich habe noch einen Einzelnachweise ergänzt, dafür dass der Laplace-Operator auf $H^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ selbstadjungiert ist.--Christian1985 (Disk) 11:37, 23. Jan. 2014 (CET)

Laplaceoperator auf Vektorfeld

Hallo,

fehlt in der Definition nicht die Anwendung des Laplaceoperators auf ein Vektorfeld? Siehe:

http://mathworld.wolfram.com/VectorLaplacian.html

MfG Engineer (nicht signierter Beitrag von 188.110.207.71 (Diskussion) 10:56, 2. Mai 2014 (CEST))

Hallo,

dafür haben wir den noch ausbaufähigen Artikel Vektorieller Laplace-Operator. Viele Grüße--Christian1985 (Disk) 11:02, 2. Mai 2014 (CEST)

Ok, habe das total uebersehen :), aber vielleicht sollte man diesen Operator hier dann "Skalaren ::Laplace Operator" nennen? Engineer (nicht signierter Beitrag von 188.110.207.71 (Diskussion) 11:22, 2. Mai 2014 (CEST))

Darstellung

Ist tatsächlich $\Delta$ (griechisches Delta, latech: \Delta) das Symbol des Laplace-Operators und nicht eher $\bigtriangleup$ (ein aufrechtes Dreieck, latech: \bigtriangleup)? Das Delta wird vor allem auch für Differenzen verwendet und in der Physik allgegenwärtig. Gleichungen, die den Laplace-Operator enthalten (also partielle Differentialgleichungen), werden, wenn man das Delta verwendet, leicht missverstanden. Sollte man das nicht ändern (obwohl es da viel zu ändern gibt ...)? --Pyrrhocorax (Diskussion) 13:21, 4. Aug. 2014 (CEST)

Ich habe das immer für ein Delta gehalten. Warum soll es ein Dreieck sein? Siehe http://jeff560.tripod.com/calculus.html --Digamma (Diskussion) 16:15, 4. Aug. 2014 (CEST)

Vektoriellen Laplace-Operator

Hallo, wie in der Diskussion zu Vektorieller Laplace-Operator habe ich den nun hier eingefügt, weil die Aussage "der skalare Laplace-Operator ist vom vektoriellen Laplace-Operator zu unterscheiden" so nicht richtig ist und Leserinnen potentiell verwirren kann. Den Satz "Oftmals wird der Laplace-Operator auch bei der Berechnung der Verteilung von Schwerefeldern verwendet" habe ich gelöscht, weil nicht erläutert wird, was eine "Verteilung von Schwerefeldern" ist. Ich persönlich kann mit dem Begriff nichts anfangen :b --Alva2004 (Diskussion) 11:27, 31. Jan. 2016 (CET)

"Darstellung" - Gleichungen fragwürdig

Die im Abschnitt "Darstellung" angeführten Gleichungen stehen nicht im Einklang mit der zuvor gewählten Definition: Die Aussage

„In Polarkoordinaten $(r,\phi )$ ergibt sich

$\Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}$.“

müsste eigentlich lauten:

„In Polarkoordinaten $(r,\phi )$ ergibt sich

$\Delta (f\circ \tau )(r,\phi )={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}\circ \tau (r,\phi )+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\circ \tau (r,\phi )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}\circ \tau (r,\phi )$

wobei $\tau :[0,\infty )\times [0,2\pi )\ni (r,\phi )\mapsto (r\cos \phi ,r\sin \phi )$.“

Ansonsten sollte man Hinweisen, wie diese Gleichungen in Bezug auf die Definiton zu verstehen sind (z.B. $f(r,\phi )$ meint $f\circ \tau (r,\phi )$ usw.), oder nicht? --84.75.164.252 16:49, 3. Mär. 2017 (CET)

Nein, so ist es nicht gemeint. Die partiellen Ableitungen sind nicht bezüglich $x_{1}$ und $x_{2}$, sondern bezüglich $r$ und $\phi$ zu nehmen. Die Darstellung im Artikel, die nicht zwischen $f$ und $f\circ \tau$ unterscheidet, ist üblich. Eine formal korrekte Darstellung wäre:

$(\Delta f)(\tau (r,\phi ))={\frac {\partial ^{2}(f\circ \tau )}{\partial r^{2}}}(r,\phi )+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (f\circ \tau )}{\partial r}}(r,\phi )+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}(f\circ \tau )}{\partial \phi ^{2}}}(r,\phi )$.

--Digamma (Diskussion) 17:19, 3. Mär. 2017 (CET)

Danke für die Antwort. Ja, "in Polarkoordinaten" habe ich missverstanden, was aufgrund der Formel klar hätte sein sollen (Korrektur: ${\partial ^{2}(f\circ \tau ) \over \partial r^{2}}=\sum _{i=1}^{2}{\partial \tau _{i} \over \partial r}\sum _{j=1}^{2}{\partial \tau _{j} \over \partial r}{\partial ^{2}f \over \partial x_{j}\partial x_{i}}\circ \tau +\sum _{i=1}^{2}{\partial ^{2}\tau _{i} \over \partial r^{2}}{\partial f \over \partial x_{i}}\circ \tau$).

Die Notation ist tatsächlich üblich, doch hier nicht konsequent: Auf der rechten Seite ersetzen wir $f\circ \tau$ durch $f$, während dies bei $(\Delta f)\circ \tau$ nicht möglich ist. --84.75.164.252 03:33, 4. Mär. 2017 (CET)

Notation für Basisvektoren

Der Nutzer 2A02:908:1866:68C0:89EB:A5EE:A30D:7AA8 hat in mehreren Artikeln vorgeschlagen, die Basisvektoren mit einem Zirkumflex zu kennzeichnen, mit der Begründung, dass fast alle Artikel zu DIfferentialoperatoren diese Schreibweise verwenden würden. Ich habe sie noch nie gesehen und auch in keinem Wiki-Artikel gefunden. Im Artikel zu Basisvektoren wird sie nicht verwendet. Am vernünftigsten finde ich die Variante ohne Vektorpfeil und ohne Zirkumflex, da diese am allgemeinsten ist und IMO üblich ist. Deshalb werde ich die Änderungen des Nutzers rückgängig machen. --TranslationTalent (Diskussion) 23:59, 22. Jun. 2019 (CEST)

Ich hätte es besser gefunden, wenn du erst einmal Antworten auf deinen Diskussionsbeitrag abgewartet hättest. Die Schreibweise mit Dach wird zum Beispiel im Artikel Vektor verwendet. --Digamma (Diskussion) 09:39, 23. Jun. 2019 (CEST)

2A02:908:1866:68C0:89EB:A5EE:A30D:7AA8 hier, auch mal angemeldet jetzt: Mit "nahezu allen anderen Artikeln zu Differentialoperatoren" meinte ich die zur Rotation, Divergenz und zum Gradienten. Dort wird ziemlich einheitlich die Zirkumflex-Variante verwendet. Im Grunde hätte ich da keine Vorlieben, mir wäre es nur wichtig, dass man es einheitlich macht. Und da die Variante mit Dach in diesen Artikeln schon üblich war, dachte ich, diese bietet sich doch an. --Lukgeasyer (Diskussion) 09:43, 23. Jun. 2019 (CEST)

Gut, damit ist die Sache geklärt. Tut mir leid. --TranslationTalent (Diskussion) 12:41, 24. Jun. 2019 (CEST)

So gefällt mir das sehr gut, danke! --Lukgeasyer (Diskussion) 14:51, 24. Jun. 2019 (CEST)