Diskussion:Legendre-Transformation

Ich meine, dieser Artikel sollte etwas ausführlicher werden. Das Konzept der unabhängigen Variable ist mathematisch unklar (man hört das allerdings oft in Physikvorlesungen). Der Begriff Berührungstrafo sollte durch Kontakttrafo ersetzt werden.

Ich werde das morgen mal angehen, wenn es keine Gegenstimmen gibt.--CWitte 12:10, 25. Okt 2004 (CEST)

stimme zu

ich finde auch dass hier etwas ausführlicher auf die Transformation an sich eingegangen werden sollte. Ist für die klassische Mechanik sehr wichtig und deshalb würd ich endlich gerne verstehen, aber was soll man machen......paucken!

Außerdem wurde nicht ein Wort darüber verlohren, für welche Funktionen dies alles funktioniert. Sind das nicht nur die streng monotonen??

Nein streng konvexe (siehe Abschnitt "zweites Argument verwirrt nur").TN 16:29, 19. Nov. 2006 (CET)

Warum nur konvexe? Wie wär's mit wendestellenfrei?

Natürlich gehen auch konkave. Das ist ja nur ein Vorzeichenwechsel. Aber einer der beiden Fälle sollte schon vorliegen, sonst funktioniert die Berührungstrafo nicht. Auf einem Intervall def., zweimal diff'bar und wendepunktfrei ist dann sowas. --TN 12:38, 2. Mär. 2007 (CET)

unverständlich

nicht mal der erste satz sagt dem laien um was es hier geht.--Hamburger Hydra 15:40, 5. Mai 2006 (CEST)

Ich stimme zu!

Zweites Argument $y$ verwirrt nur

Das zweite Argument $y$ in der derzeitigen Definition der Legendre-Transformation verwirrt nur. Die einfachste Version ist meiner Ansicht nach:

Die Legendre-Transformation ${\mathcal {L}}$ ordnet jeder

• zweimal stetig diff'baren
• auf einem reellen Intervall $I_{f}$ definierten
• streng konvexen

Funktion $f:I_{f}\rightarrow \mathbb {R}$ eine Funktion $h:I_{h}\rightarrow \mathbb {R}$ der gleichen Art wie folgt zu:

1. Der Definitionsbereich $I_{h}$ von $h$ ist das volle Bild der Ableitung $\left.f'\right.$ von $f$.
2. Die definierenden Gleichungen für $h$ sind:

${\begin{matrix}h(p)&=&px-f(x),\\p&=&f'(x).\end{matrix}}$

Die dabei auftretende Hilfsvariable $x$ ist durch $p$ und die zweite Gleichung eindeutig bestimmt. Man könnte auch $\left.h(p)=p{f'}^{-1}(p)-f({f'}^{-1}(p))\right.$ schreiben. In den meisten Anwendungen ist jedoch die in der Definition gegebene Form üblicher und übersichtlicher.

Wichtige Eigenschaft: ${\mathcal {L}}$ ist involutorisch (${\mathcal {L}}({\mathcal {L}}(f))=f$). Damit gilt

${\begin{matrix}f(x)&=&px-h(p)\\x&=&h'(p).\end{matrix}}$

Geometrische Interpretation: Interpretiert man $F(x;p):=px-h(p)$ als durch $p\in I_{h}$ parametrisierte Geradenschar, so ist $f$ die Envelope dieser Geradenschar. Aus diesem Grund bezeichnet man die Legendre-Transformation auch als eine Berührungstransformation.

--TN

Version in Anlehnung an V.I.Arnold: Gewöhnliche DGL'n

Ich habe jetzt in dem Buch [V.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin] eine schöne geometrische Einführung der Legendre-Transformation entdeckt. Diese eignet sich, denke ich, sehr gut für das Wiki. Im Folgenden gebe ich das sinngemäß mit einer kleinen Änderung wieder. Arnold ist von einer Abbildung ausgegangen, die Geraden in Punkte abbildet, hier werden zuerst Punkte in Geraden abgebildet. Das ist jedoch auf Grund der Symmetrie der Legendre-Trafo aus meiner Sicht keine wesentliche Änderung. Ich denke, dass die hier vorgestellte Variante in didaktischer Hinsicht ein kleines bisschen günstiger ist.

Die Legendre-Transformation ${\mathcal {L}}$ bildet den $\mathbb {R} ^{2}$ bijektiv auf die Menge $G$ aller Geraden der $x$-$y$-Ebene ab, die nicht parallel zur $y$-Achse verlaufen.

Genauer wird durch ${\mathcal {L}}$ jedem Punkt $({\bar {x}},{\bar {y}})\in \mathbb {R} ^{2}$ die zugehörige Gerade ${\mathcal {L}}({\bar {x}},{\bar {y}}):=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\bar {x}}x-{\bar {y}}\}$ zugeordnet.

Durch das Minuszeichen ist die definierende Gleichung symmetrisch in den Variablen $x,{\bar {x}}$ und $y,{\bar {y}}$. Das sieht man am besten, wenn man ${\bar {y}}$ mit auf die linke Seite bringt: ${\bar {y}}+y={\bar {x}}x.$

Einem einzelnen Punkt $({\bar {x}},{\bar {y}})$ ordnet die Legendre-Transformation eine einzelne Gerade zu, einer ganzen Kurve $\{({\bar {x}},{\bar {y}})\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\bar {y}}=f({\bar {x}})\}$ ordnet sie eine Geradenschar zu.

Die Einhüllende $g$ der Geradenschar wird dann als Legendre-Transformierte $g={\mathcal {L}}(f)$ der Kurve bezeichnet. Die Punkte $(x,y)$ dieser Einhüllenden ergeben sich aus dem Gleichungssystem

${\begin{matrix}y&=&{\bar {x}}x-f({\bar {x}})\\0&=&x-f'({\bar {x}}).\end{matrix}}$

(die zweite Gleichung resultiert aus der Hüllkurven-Bedingung $0={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}}}({\bar {x}}x-f({\bar {x}}))$).

--TN

Beispiele

Den Punkten der durch ${\bar {y}}=f({\bar {x}})={\frac {1}{4}}{\bar {x}}^{4}$ definierten Kurve werden durch die Legendre-Transformation die Geraden

$\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y={\bar {x}}x-{\frac {1}{4}}{\bar {x}}^{4}\right\}$

zugeordnet. Die Hüllkurve dieser durch ${\bar {x}}$ parametrisierten Geradenschar, also die Legendre-Transformierte von $f$ ist mit $x={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}}}{\frac {1}{4}}{\bar {x}}^{4}={\bar {x}}^{3}$ die Funktion

$g(x)={\sqrt[{3}]{x}}x-{\frac {1}{4}}{\sqrt[{3}]{x^{4}}}={\frac {3}{4}}x^{4/3}.$

Die Legendre-Transformierte von $g$ ist

${\begin{matrix}{\bar {y}}&=&{\bar {x}}x-g(x)\\&=&{\bar {x}}x-{\frac {3}{4}}x^{4/3}\quad &{\mbox{ mit }}\\{\bar {x}}&=&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {3}{4}}x^{4/3}\\&=&{\sqrt[{3}]{x}},\quad x={\bar {x}}^{3}\quad &{\mbox{ also }}\\{\bar {y}}&=&{\bar {x}}{\bar {x}}^{3}-{\frac {3}{4}}\left({\bar {x}}^{3}\right)^{4/3}={\frac {1}{4}}{\bar {x}}^{4}.\end{matrix}}$

Für dieses Beispiel bestätigt man also ${\mathcal {L}}({\mathcal {L}}(f))={\mathcal {L}}(g)=f$.

--TN 00:35, 22. Jun 2006 (CEST)

Anwendungsgebiete für die Legendre-Transformation

• schon im Artikel erwähnt, hier nur der Vollständigkeit wiederholt: Transformation der Euler-Lagrange-Gleichungen 2. Art (DGL'n 2. Ordnung im Zustandsraum) in die Hamiltonschen Gleichungen (DGL'n 1.&nspc;Ordnung im Phasenraum)
• Variablenwechsel beim Energiefunktional für die magnetische Energie

Einleitung falsch?

Zitat: Der Wert von $f(x,y)$ kann alternativ als $f(x,y)=f(x=x_{0},y)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x,\Delta x=x_{0}-x$ geschrieben werden.

Ich dachte immer, es gälte $f(x,y)=f(x=x_{0},y)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\Delta x+o(\Delta x),\Delta x=x_{0}-x$ mit $\lim _{a\to 0}{\frac {o(a)}{a}}=0$

(Quelle: etwa http://www.mathematik.uni-kl.de/~bracke/teaching/HM_2/folien_0302.pdf)

Hab ich was übersehen, oder ist diese Behauptung an dieser Stelle falsch? --Xenoborg 17:06, 24. Jul 2006 (CEST)

Diese Behauptung ist in der Tat falsch. Die ganze "Herleitung" ist Humbug. Man lese den englischen Artikel, wenn man etwas Sinnvolles zum Thema erfahren will. --Theowoll 16:45, 27. Jul 2006 (CEST)

Bild

Hello - The following images is availiable at the Commons

Why the dot and not a quote for the derivation? Think $f'(x_{0})$ would also do. The dot looks very much like a time-derivative. This could be misleading. TN 13:50, 23. Okt. 2006 (CEST)

The quote is a superscript, and sometimes second derivatives are needed so you would have expressions like

$f''^{\star }(x)\,$ rather than ${\ddot {f}}^{\star }(x)\,$

Also, there are inverse functions so you would have expressions like

$f'^{-1}(x)\,$ and $f'^{\star -1}(x)\,$

rather than

${\dot {f}}^{-1}(x)\,$ and ${\dot {f}}^{\star -1}(x)\,$

Isn't the dot more readable? PAR 22:23, 4. Nov. 2006 (CET)

It's unusual and hence less readable. Use $(f')^{-1}$ oder $(f^{-1})'$ or something similar.--Gunther 22:40, 4. Nov. 2006 (CET)

g als Funktion von u

Folgende Gleichung erweckt für mich den Anschein, als ob g eine Funktion von x sei:

$g(u)=\pm (-f(x)+ux)$.

sollte es nicht besser heißen:

$g(u)=\pm (-{\tilde {f}}(u)+ux(u))$. mit einer neuen Funktion ${\tilde {f}}(u)=f(x(u))$ und $x(u)$ gewonnen aus der inversion Abbildung zu $u(x)$

Versucht man zu $f(x)$ die Transformierte $g(u)$ zu finden, kommt man nicht umhin $u(x)$ zu invertieren. Nur die zweite Variante weist in meinen Augen darauf hin.

mal g, mal F

Hi Leute, findet ihr es auch störend, dass im 1-D Fall die Transformierte mit g und im allgemeinen Fall mit F bezeichnit wird? Wollen wir das nicht lieber vereinheitlichen?

Hough-Transformation

Ich habe den Abschnitt zur geometrischen Interpretation gesehen. Was ich mich jetzt frage ist, ob man hier nicht parallelen zur Hough-Trafo sehen kann.

Dort werden beispielsweise punkte auf geraden abgebildet genauso geraden auf punkte...

ist nur eine idee - aber vielleicht passt es ja

mathematisch?

"Welches Vorzeichen man wählen sollte, hängt von der physikalischen Bedeutung von g ab."

Bis zu diesem Satz findet die Physik keine einzige Erwähnung. Eher "von der mathematischen Fragestellung" o.Ä.? (nicht signierter Beitrag von Quabla (Diskussion | Beiträge) 22:22, 18. Jun. 2010 (CEST))

einfache Beispiele

Nach Durchlesens des Artikels ist mir immer noch nicht klar, wie ich vorgehen soll, auch nur eine einfache Formel zu transfomieren. Hier könnte ein etwas höher Begabter doch einmal ein einfaches Beispiel einfügen, in der kompeltt mit Zwischenschritten bis zum Schluss durchtransformiert wird, am Besten mit einfachen Gleichungen à la y = 3 x^2 oder f(x) = a * x^b -- 79.239.243.24 14:46, 12. Aug. 2011 (CEST)

Vorraussetzungen für Legendre-Trafo?!

In dem Link zum Artikel erfährt man, dass die Funktion f erstmal einige Vorraussetzungen erfüllen muss: (1) The function (or its negative) is strictly convex (second derivative always positive) and smooth (existence of “enough” continuous derivatives). (2) It is easier to measure, control, or think about the derivative of F with respect to x than it is to measure or think about x itself. Sollte auch noch in den Artikel, oder?! (nicht signierter Beitrag von Catastropeia (Diskussion | Beiträge) 19:18, 18. Mär. 2014 (CET))

Ableitungen sind inverse Operatoren

Ich bin mit meinen Änderungen von gerade eben nicht glücklich, denn im Grunde steht diese Aussage schon weiter oben. Allerdings ist sie für meinen Geschmack zu wichtig, als dass man sie nur implizit durch "$x(u)$ ist die Umkehrfunktion von $u(x)$" erwähnen dürfte. Beispielsweise ist das DIE Eigenschaft, die man bei der Transformation der inneren Energie in der Thermodynamik ausnutzt, um andere Energiebegriffe zu definieren -> Freie Energie, Gibbs-Energie, etc. .Verbesserungen zur Redundanzfreiheit sind willkommen! --Das O2 (Diskussion) 19:20, 25. Mai 2015 (CEST)

Hat sich erledigt. Ich würde ja diesen Diskussionsbeitrag löschen, mir wurde mal gesagt, dass man das nicht machen darf. --Das O2 (Diskussion) 20:01, 26. Mai 2015 (CEST)

Anforderungen an $f$

Es wird im Artikel nur gefordert, dass $f$ diffbar und eine Abbildung aus den reellen Zahlen in die reellen Zahlen sein muss. Ich sehe nicht, wie es möglich sein soll, eine nicht-monotone Funktion zu transformieren, da deren Ableitung ja an 2 Stellen $x_{1},x_{2}$ mit $x_{1}\neq x_{2}$ den gleichen Wert $a$ haben kann, obwohl ihr Funktionswert ein anderer ist ($f(x_{1})\neq f(x_{2})$), $g$ aber funktional sein muss und somit nicht $a$ sowohl auf $f(x_{1})$ als auch auf $f(x_{2})$ abbilden kann. Beispielfunktion: $f(x):=x\cdot \sin(x)$

Außerdem sehe ich nicht, wie $g$ für $f(x):=x$ definiert werden kann, da dann $f'(x)=1=u={\text{const.}}$ gilt und nicht nach $x$ umgestellt werden kann. (Siehe 3. Zeile des Beispiels im Artikel.)

PS: Kann man auf der deutschen Wikipedia ein richtiges Definitions-Symbol verwenden, oder nur mit einem ":=" im Mathe-Tag tricksen? "\coloneqq" funktioniert nämlich irgendwie nicht. McGucket (Diskussion) 14:09, 29. Mai 2017 (CEST)