Diskussion:Levi-Civita-Symbol

Da ich keine Ahnung habe wie das geht und mir momentan leider die Zeit zur Einarbeitung fehlt, könnte vielleicht jemand eine Weiterleitung von "Permutationssymbol" auf diesen Arktikel einrichten? Bei uns wurde das Ding mit dem Namen eingeführt und ich habe Jahre gebraucht um den Namen "Levi-Civita-Symbol" herauszubekommen

[x] done.--Gunther 14:23, 3. Dez 2005 (CET)

Levi-Civita-Symbol als Komponenten eines Tensors

Kann mir jemand erklären, warum "Epsilon-Tensor" nachlässig sei? Ich lasse mich da gerne eines Besseren belehren, insbesondere von Mathematikern, aber die Bezeichnung ist auch in angesehenen Büchern der theoretischen Physik durchaus verbreitet. Habe mich gerade über diesen Zusatz gewundert, der sogar in der ersten Zeile steht. Akriesch 18:42, 5. Mai 2006 (CEST)

Es handelt sich um eine übliche Nachlässigkeit in der physikalischen Sprechweise. Das Levi-Civita-Symbol ist keine Tensor, sondern steht für die Komponenten eines Tensors bezüglich einer bestimmten Klasse von Koordinatensystemen. Eine entsprechende Bemerkung war weiter unten im Artikel. Ich habe diese Bemerkung an den Anfang verschoben. Manchmal vereinbart man auch, dass die indizierten Größen formal für Tensoren stehen und nicht nur für dessen Komponenten.--Theowoll 18:56, 9. Jul. 2008 (CEST)

Das Symbol bezeichnet nicht die Komponenten eines Tensors, sondern einer kovarianten (Pseudo-)Tensordichte vom Gewicht -1. So steht es auch (bis auf das "pseudo") im englischen Artikel. Das "Pseudo-" wird anscheinend oft weggelassen, gehört aber z.B. nach der Definition, wie sie im zweiten Band vom "Bronstein" (Teubner-Taschenbuch der Mathematik Teil II) steht, eigentlich noch dazu.

Dass es sich nicht um einen Tensor (und auch nicht um einen Pseudotensor) handeln kann, sieht man ja schon an der Transformationsformel, bei der im Gegensatz zu den für Tensoren (bzw. Pseudotensoren) geltenden Transformationsformeln die Determinante der Inversen von C (und nicht bloß ihr Vorzeichen; dann wäre es ein Pseudotensor) vorkommt.

Wenn niemand widerspricht, werde ich den Artikel demnächst dementsprechend korrigieren.--Grip99 13:58, 2. Jan. 2010 (CET)

Wie im Artikel angedeutet, sind die Komponenten der Standard-Volumenform, welche eine Tensor ist, bezüglich der Standard-Basis (und aller positiv orientierten Orthonormalbasen) durch das Levi-Civita-Symbol gegeben. Die im Artikel angegebene Transformationsformel beschreibt das Transformationsverhalten dieses Tensors. Ich stimme jedoch zu, dass die Verwendung des Symbols für den unseligen (Pseudo-)Tensordichtenkram im Artikel auch erwähnt werden sollte.--Theowoll 01:18, 5. Jan. 2010 (CET)

Wenn man schon speziell die positiv orientierten Orthonormalbasen voraussetzt, ist die Determinante des Basiswechsels bei der Transformation immer 1 und tritt überhaupt nicht mehr in Erscheinung. Wenn Du nur solche speziellen Transformationen betrachtest, dann gibt es natürlich kein Unterscheidungsmerkmal mehr zwischen Tensoren und Tensordichten oder zwischen Tensoren und Pseudotensoren. Dann ist alles eins und diese spezielleren Begriffe wären total redundant und damit tatsächlich "Kram". Ob es sich um eine Dichte mit von 0 verschiedenem Gewicht handelt, kann man nur sagen, wenn man nichtorthonormale Transformationen betrachtet. Und ob es sich um einen Pseudotensor handelt, kann man nur sagen, wenn man Transformationen zur entgegengesetzten Orientierung betrachtet.

Wenn man aber diese beiden Fälle untersucht, stellt man fest, dass das Symbol eben nicht (wie im zweiten Satz des Artikels behauptet) die Komponenten eines Tensors bezeichnet, sondern der besagten Pseudotensordichte vom Gewicht -1. --Grip99 07:54, 5. Jan. 2010 (CET)

Du hast mit fast allem Recht, außer mit der letzten Behauptung, dass dem Symbol irgendeine inhärente Bedeutung außer der in der Definition gegebenen zukommt. Mit anderen Worten: Es gibt keine Meinungsverschiedenheit zwischen uns über die Bedeutung des Symbols. Man muss nur klar sagen, was man meint. Die Aussagen dazu im Artikel sind jedenfalls korrekt. (Warum ich den Pseudodichtenkram als unselig bezeichne, gehört in die Diskussion zum Artikel über Tensordichten.)--Theowoll 08:41, 5. Jan. 2010 (CET)

"Inhärente Bedeutung" in irgendeinem physikalischen Sinn gebe ich dem nicht. Es geht mir rein um das Mathematische. Ein Tensor ist ein Spezialfall einer Tensordichte. Die Koordinaten von kovarianten Tensoren müssen der hier gegebenen Formel bzw. der (für den Spezialfall N=3) im Artikel Tensordichten angegebenen Formel mit W=0 genügen (bei Pseudotensor(dicht)en entsprechend noch mit Vorzeichen). Wenn sie das wie hier nicht (nämlich nur mit W=-1 und zusätzlichem Vorzeichen) tun, dann kann man gemäß der mathematischen Definition nicht von "Tensor" reden. Auch wenn mir natürlich bewusst ist, dass viele Physiker das trotzdem tun.--Grip99 13:24, 5. Jan. 2010 (CET)

Damit hast du nochmal genau das beschrieben, was ich dir vorgeworfen habe. Was das Symbol rein mathematisch ist, steht in der Definition. Es nicht mehr oder weniger als das. Wozu man das Symbol so alles verwenden kann ist eine andere Frage. Z. B. kann man wie im Artikel feststellen, dass es die Komponenten eines bestimmten Tensors bezüglich einer bestimmten Klasse von Basen liefert. Man kann aber auch darauf hinweisen, dass man es auch als "Komponenten" einer sogenannten "Tensordichte" bezeichnet. Beide Festellungen sind richtig. Ich hab nichts dagegen, dass der Artikel ergänzt wird und möchte nur darauf hinweisen, dass dort bisher nichts Falsches steht.--Theowoll 16:58, 5. Jan. 2010 (CET)

Das hatte ich gar nicht bemerkt, dass Du mir etwas "vorgeworfen" hattest.;-) Aber der Begriff des Tensors "bezüglich einer bestimmten Klasse von Basen" ist mir unbekannt. Wo wird das in der mathematischen Sekundärliteratur definiert? In unserem Artikel Tensor jedenfalls nicht. Wenn es diesen Begriff aber gäbe, dann müsste man eben explizit z.B. schreiben, dass es sich um einen Tensor "bezüglich der Klasse der orientierten Orthonormalbasen" (bzw. seine Koordinaten) handelt (Determinante=1 würde eigentlich auch reichen). Ohne diesen Zusatz ist es auf jeden Fall nicht richtig, denn der allgemeine Begriff des Tensors bezieht sich in jedem Fall auf alle Basen. Und es werden ja auch im Artikel allgemeinere Basen betrachtet.

Also wäre mein Vorschlag, den zweiten Satz der Einleitung wegzulassen und dann im Abschnitt "Als Komponenten eines Tensors" in etwa zu schreiben: "Es existiert eine Pseudotensordichte T vom Gewicht -1, deren Komponenten für jede geordnete Basis B=(b_1,...,b_n) des R^n und alle (i_1,..,i_n) \in {1,..,n}^n durch T_B(b_{i_1},...,b_{i_n})=\epsilon_{i_1...i_n} gegeben sind. In diesem Sinn stellt also das Levi-Civita-Symbol bezüglich beliebiger Basen die Komponenten einer Pseudotensordichte dar. Daraus folgt insbesondere, dass das Symbol bezüglich beliebiger Orthonormalbasen positiver Orientierung die Komponenten eines Tensors beschreibt." --Grip99 19:50, 5. Jan. 2010 (CET)

Ein "Tensor bezüglich bestimmter Basen" ist natürlich Unsinn. Aber wie bereits erwähnt, gibt es einen wichtigen Tensor, dessen Komponenten bezüglich positiv orientierter Orthonormalbasen durch unser Symbol gegeben sind. Dies steht im Artikel im Abschnitt 3 "Als Komponenten eines Tensors" und ist korrekt. Allerdings sollte der erste Satz des Abschnitts präziser formuliert werden, da die Komponenten eines Tensors immer bezüglich einer Basis erklärt sind. Entsprechend bin auch ich dafür, die Tensorbemerkung aus der Einleitung herauszunehmen. Ich denke es ist besser, den Abschnitt 3 zu einem Unterabschnitt von "Anwendungen" zu machen und die Verwendung als Komponenten einer Pseudotensordichte in einem weiteren Unterabschnitt zu beschreiben. Frage: Was ist denn genau die Pseudotensordichte, deren Existenz behauptet wird und wozu ist sie gut?-- Theowoll 11:22, 6. Jan. 2010 (CET)

Eine Tensordichte ist nichts besonders Raffiniertes, sondern nur eine Verallgemeinerung des Tensorbegriffs mit einem etwas anderen Transformationsverhalten. Insofern kann man sie wohl genauso gut wie einen Tensor gebrauchen (den sie ja als Spezialfall enthält).

Im Artikel steht im zweiten Satz der Einleitung "Das Symbol bezeichnet die Komponenten eines Tensors n-ter Stufe", und das ist definitiv falsch. Dort steht nicht, es gebe "einen wichtigen Tensor, dessen Komponenten bezüglich positiv orientierter Orthonormalbasen durch unser Symbol gegeben sind". Und selbst dieser letzte Satz wäre isoliert ohne weitere Erklärung eigentlich nicht recht verständlich, weil dabei nicht recht klar wird, dass man für jede derartige Basis auf eine gewisse naheliegende Art und Weise als Koordinaten das Symbol nimmt.

Aber wenn wir uns einig sind, den Satz aus der Einleitung rauszunehmen, ist das Problem dort ja schonmal gelöst.

Im Weiteren entspricht es vielleicht eher dem üblichen Vorgehen und ist deshalb didaktisch geschickter, statt meines obigen Formulierungsvorschlags in Abschnitt 3 zu schreiben:

"Definiert man eine n-fach kovariante Pseudotensordichte T vom Gewicht -1, indem man für eine gegebenene geordnete Basis B=(b_1,...,b_n) des R^n und alle (i_1,..,i_n) \in {1,..,n}^n ihre Komponenten durch t_{i_1..i_n}:=T(b_{i_1},...,b_{i_n}):=\epsilon_{i_1...i_n} festlegt, so hat diese Pseudotensordichte auch bezüglich jeder anderen Basis \overline B die Komponenten \overline t_{i_1..i_n}=T(\overline b_{i_1},...,\overline b_{i_n})=\epsilon_{i_1...i_n}. In diesem Sinn stellt also das Levi-Civita-Symbol bezüglich beliebiger Basen die Komponenten einer Pseudotensordichte dar. Daraus folgt insbesondere, dass das Symbol die Komponenten eines Tensors beschreibt, wenn man nur Orthonormalbasen positiver Orientierung betrachtet."

Dein Einwand mit der unsauberen Sprechweise im ersten Satz des bisherigen Abschnitts ist natürlich berechtigt. Ich habe das Gefühl, dass in diesen Artikeln zu Tensoren allgemein noch allerhand Überarbeitungsbedarf steckt.--Grip99 12:15, 6. Jan. 2010 (CET)

Genaugenommen ist der zweiten Satz der Einleitung nicht falsch, sondern einfach nur sinnlos. Wenn man den Zusatz "unabhängig von der Vektorraumbasis" anhängt, dann wird er falsch. Aber darüber sind wir uns ja im Wesentlichen einig. Ob eine Tensordichte etwas Raffiniertes ist oder nicht, sei dahingestellt. Ich würde sie eher als einen rechnerischen Taschenspielertrick der Physiker bezeichnen. Ich wüsste jedenfalls nicht, wo dieses Ding in der Mathematik eine Rolle spielen sollte. Dort integriert man Differentialformen, welche koordinatenunabhängige Objekte sind, über Mannigfaltigkeiten. Tensoren sind als multilineare Abbildungen unabhängig von irgendwelchen Koordinaten definiert. Die Komponenten bezüglich einer gegebenen Basis werden dann einfach ausgerechnet. (Die Koordinatenunabhängigkeit ist auch in der Physik von Bedeutung, da physikalische Vorhersagen nicht vom Koordinatensystem abhängen sollten, welches wir für unsere Berechnungen verwenden.) Das Problem mit Tensordichten ist aber, dass sie über das Transformationsverhalten ihrer Komponenten definiert werden und diese Definition nicht koordinatenunabhängig ist. Welchen Sinn soll zum Beispiel der Ausdruck $T(b_{i_{1}},...,b_{i_{n}})$ haben? Für Tensoren gilt ja $T(v_{1},\dots ,v_{n})=t_{j_{1}\dots j_{n}}v_{1}^{j_{1}},\dots ,v_{n}^{j^{n}}$. Nehmen wir etwa die Tensordichte mit Gewicht -1 der Stufe 3 mit den Komponenten $\varepsilon _{ijk}$ bezüglich der orthonormalen Standardbasis $(e_{1},e_{2},e_{3})$. Dann hätten wir entsprechend $\varepsilon (e_{1},e_{2},e_{3})=\varepsilon _{ijk}e_{1}^{i}e_{2}^{j}e_{3}^{k}=1$. Bezügliche der Basis $(-e_{1},-e_{2},-e_{3})$ hätten wir $\varepsilon (e_{1},e_{2},e_{3})=(-1)^{-1}(-\varepsilon _{ijk})(-e_{1}^{i})(-e_{2}^{j})(-e_{3}^{k})=-1$. Also kann man $\varepsilon$ nicht wie einen Tensor als Abbildung auffassen. -- Theowoll 15:13, 6. Jan. 2010 (CET)

Wie Du sagst, wird der zweite Satz falsch, wenn man die Komponenten (wie es ja auch tatsächlich gemeint ist) unabhängig von der Basis durch das LCSymbol definiert. Wenn man das aber nicht tut, sondern sich nur auf eine spezielle Basis bezieht, wird der Satz natürlich trivial, denn man kann immer beliebige Komponenten bzgl. einer speziellen Basis vorgeben und es wird dadurch ein kovarianter Tensor definiert.

Dass die Komponenten ein und desselben n-Tupels von Vektoren von der Wahl der Basis abhängen, ist für die Physik nicht unbedingt ungewohnt. Z.B. zeigt in Deinem Beispiel der Vorzeichenwechsel einfach an, dass sich die Orientierung, also der Drehsinn von (e_1,e_2,e_3) gegenüber der vorgegebenen Basis verändert hat. Bzgl. der ersten Basis war er "gleichdrehend", bzgl. der zweiten "entgegendrehend". Das beinhaltet schon eine physikalische oder zumindest geometrische Information, die natürlich im Gegensatz zu anderen physikalischen Größen tatsächlich erst dann evident wird, wenn man durch Auszeichnung eines Koordinatensystems gewissermaßen die Symmetrie bricht.

Ähnlich kann man auch den allgemeinen Fall, bei dem durch die Determinante der Transformationsmatrix dividiert wird, interpretieren. Wenn z.B. die Basisvektoren auf die doppelte Länge verlängert werden, werden die Komponenten der Pseudotensordichte durch 2^n dividiert. Das entspricht dem Fall, dass die Einheiten in jeder Richtung verdoppelt werden und dadurch (wie z.B. beim Volumen) die Maßzahl durch 2^n dividiert wird.

Ich stimme Dir insofern zu, dass die Schreibweise in meinem letzten Vorschlag den falschen Eindruck vermitteln könnte, dass es tatsächlich wie bei Tensoren eine Linearform auf (R^n)^n gäbe, deren Komponenten dann bzgl. jeder Basis durch das Symbol gegeben sind. Deshalb schlage ich vor, in meinem letzten Vorschlag die drei Ausdrücke mit dem großen T wegzulassen und stattdessen die Abhängigkeit von der Basis B bzw. \overline B explizit (also t_{i_1..i_n}(B) usw.) aufzunehmen.--Grip99 14:58, 8. Jan. 2010 (CET)

Ich hätte auch sagen können, der Satz wird richtig, wenn man ergänzt: "bezüglich Orthormalbasen einer festen Orientierung", was deutlich weniger trivial wäre, als "bezüglich einer speziellen Basis". Es wird z.B. in E. Butkov: Mathematical Physics das folgende bewiesen: Theorem. The 27 quantities epsilon_ijk are components of an isotropic tensor of third rank, known as the Levi-Civita tensor, provided that the transformation of coordinates is a rotation. Es ist natürlich müßig, darüber zu streiten, was wirklich mit dem Satz im Artikel gemeint ist. Ich bin dafür, die unpräzise Bezeichung als Tensor in diesem Sinne im Artikel zu erläutern, weil man sie so häufig in der Literatur findet. Dass die Komponenten von Tensoren abhängig von der Basis sind, ist natürlich nicht nur in der Physik so. Das ist elementare lineare Algebra. Die Tensoren selbst sind koordinatenunabhängig, so wie es die Physik ist. Deine Erläuterungen zur physikalischen Bedeutung von Tensordichten kann ich nicht nachvollziehen. Den vorzeichenbehafteten Volumenfaktor (die Determinante der Transformationsmatrix) bekommt man bei einer Volumenform schon durch die ganz normale Tensortransformation, der extra Faktor in der Transformation der Levi-Civita-Tensordichte kürzt den Volumenfaktor ja wieder heraus. Ich habe gerade im englischen Artikel über Tensoren gelesen, dass Tensordichten als n-Form-wertige Multilinearformen koordinateninvariante Abbildungen sind. Es wäre interessant, die physikalische Bedeutung dieser Objekte zu ergründen. Aber das gehört in den Artikel Tensordichte. Ich würde mir hier nicht zuviel Umstände mit der Notation machen und einfach etwas in dieser Art schreiben: "Definiert man eine n-fach kovariante Pseudotensordichte vom Gewicht -1, welche in einer Basis die Komponenten $\varepsilon _{i_{1}...i_{n}}$ hat, so hat diese Pseudotensordichte bezüglich jeder anderen Basis dieselben Komponenten. In diesem Sinn stellt also das Levi-Civita-Symbol...". Wozu braucht man eigentlich die Vorsilbe "Pseudo"? Die übliche Definition für eine Tensordichte in der Literaur ist doch eine Potenz der Jacobideterminante als zusätzlicher Faktor in der Transformationsformel und das trifft doch in unserem Fall zu. -- Theowoll 23:48, 8. Jan. 2010 (CET)

Eigentlich ist alles, was wir hier besprechen, elementare lineare Algebra. Es ging mir nur darum, zu zeigen, dass auch basisabhängige Größen kein "Taschenspielertrick der Physiker" sind (es sei denn, man bezeichnet schon die Festlegung von Einheiten als solchen), sondern (wie eben z.B. die Orientierung) durchaus eine Bedeutung in der Physik haben. Das wird natürlich noch einfacher am Beispiel der Koordinaten eines einzelnen Vektors klar.

Meines Wissens ist die übliche Definition der Tensordichte, dass der Betrag der Determinante als Zusatzfaktor auftritt. So steht es zum Beispiel in der besagten Neuauflage des "Bronstein" (verfasst vom sehr angesehenen Eberhard Zeidler (Mathematiker)) oder z.B. auch in diesem Skriptum eines theoretischen Physikers. Die Definition in unserem Artikel Tensordichte wäre dann also unüblich, ebenso die im englischen. Bei "Pseudo" kommt zur Potenz des Betrags noch das Vorzeichen hinzu, was dann natürlich für ungerades Gewicht w (bei uns -1) auf die Potenz der Determinante führt.

Tritt nur die Determinante ohne Betrag auf, nennen es anscheinend manche Autoren "relativer Tensor" (und den üblichen Tensor dann zur Unterscheidung "absoluter Tensor"). Es scheint auf diesem Gebiet ein gewisses Begriffschaos zu herrschen. Zumindest, wenn man Pseudotensordichte schreibt, scheint allerdings kein Missverständnis möglich zu sein.

Erläutern kann man natürlich im Artikel, was mit der "falschen" Bezeichnung als Tensor gemeint ist. Aber man sollte trotzdem darauf hinweisen, dass es sich eben nicht um einen Tensor handelt. Im Prinzip stellt ja der letzte Satz meines Vorschlags von oben den Sachverhalt schon dar.

Wenn man den ersten Satz so kurz wie von Dir vorgeschlagen formuliert, dann sollte man aber im Artikel Tensordichte bzw. Pseudotensordichte allgemein erklären, wie diese Sprechweisen gemeint sind. Denn strenggenommen weiß natürlich niemand, was diese Indizes am Epsilon bedeuten und warum die Epsilons überhaupt mit irgendeiner Basiswahl zu tun haben sollten, wo sie doch am Anfang ganz unabhängig von einer Basis bloß als Zahlen definiert wurden. Das wird natürlich aus meiner ausführlicheren Erklärung auch nicht vollständig klar, aber vielleicht etwas eher.

Zu den tieferen mathematischen Bedeutungen der Tensordichten bin ich auch überfragt. Es müsste mal jemand vorbeikommen, der sich auf diesem Gebiet wirklich gut auskennt. --Grip99 11:49, 9. Jan. 2010 (CET)

Rechengrößen sind natürlich koordinatenabhängig. Bei Tensorkomponenten z.B. ist klar, dass diese von der willkürlichen Wahl der Basis herkommen, während die Tensoren selbst (wie die Physik) koordinatenunabhängig sind. Damit Tensordichten mehr als Rechenhilfen für Physiker sind, sollte man schon erklären (natürlich nicht in diesem Artikel), ob und welche invarianten physikalischen Größen dahinterstehen. Wenn ich in den Lehrbüchern nachlese, wie der Begriff eingeführt wird, habe ich den Eindruck, dass damit nur die Verwendung von Differentialformen vermieden werden soll. Der Begriff Tensordichte geht anscheinend auf H. Weyl, Raum, Zeit, Materie, zurück, dessen Definition mit der von dir zitierten Teubner-Bronstein-Definiton übereinstimmt. Auch E. Schmutzer, Relativistische Physik, benutzt diese Definition. Dagegen multiplizieren H. Stephani, Relativity und B. Schutz, Geometrical Methods of mathematical physics, mit einer Potenz der Determinante und nicht ihres Betrages. Aber diese Beobachtungen sind interessant für den Artikel über Tensordichten. Was unsere Formulierung betrifft, denke ich, dass es ausreicht, wenn man erwähnt, dass der zugrundeliegende Vektorraum n-dimensional ist (wenn n ist die Anzahl der Indizes ist). -- Theowoll 18:33, 9. Jan. 2010 (CET)

Das mit der geordneten Basis würde ich gern beibehalten. Es bringt doch nichts, auf einem Gebiet, wo es mit den Begriffen so arg durcheinander geht, auf Kosten der Klarheit eine Zeile einzusparen. Vorschlag:

"Definiert man eine $n$-fach kovariante Pseudotensordichte vom Gewicht -1, indem man für eine gegebenene geordnete Basis des $\mathbb {R} ^{n}$ und alle $(i_{1},\ldots ,i_{n})\in \{1,\ldots ,n\}^{n}$ ihre Komponenten durch $\epsilon _{i_{1}...i_{n}}$ festlegt, so ändern sich die Komponenten dieser Pseudotensordichte bei einem Basiswechsel nicht. In diesem Sinn stellt also das Levi-Civita-Symbol bezüglich beliebiger Basen die Komponenten einer Pseudotensordichte dar. Daraus folgt insbesondere, dass das Symbol die Komponenten eines Tensors beschreibt, wenn man nur Orthonormalbasen positiver Orientierung betrachtet."

Wenn Du die Seitenzahlen hast, könnten wir vielleicht auch noch den Artikel Tensordichte mit Deinen Literaturstellen verbessern. Übrigens scheint es mir auch im Artikel Tensor gewissen Überarbeitungsbedarf zu geben. --Grip99 14:17, 11. Jan. 2010 (CET)

Deine Formulierung passt schon. (Komponenten von Tensoren sind nur sinnvoll bezüglich geordneter Basen, aber eine gewisse Redundanz kann nicht schaden.) Wenn du schon dabei bist, diesen Artikel zu verbessern kannst du ja gleich die Bemerkungen zum Levi-Civita-Symbol im Abschnitt Beispiele im Artikel Tensor korrigieren. Die Literaturangaben kann ich bei Gelegenheit in den Artikel Tensordichte einfügen. -- Theowoll 23:06, 11. Jan. 2010 (CET)

Die Antwort ist ganz einfach: mit der herkömmlichen Definition über die Zahlenwerten +/- 1 ist das Levi-Civita-Symbol kein Tensor - mit der Definition +/-Wurzel(g) jedoch sehr wohl, weil es dann alle Tensoreigenschaften (Invarianten, Tensortransformationen) besitzt. Also muß man untercheiden zwischen der e-Matrix (Levi-Civita Original) und epsilon-Tensor! Beim Tensor braucht man jedoch auch die strenge Notation mit ko- und kontravarianten Indizes!

Mit besten Grüßen Fritzudo --Fritzudo (Diskussion) 12:23, 12. Jan. 2024 (CET)

Müsste das nicht noch dazu ?

Ich denke, damit das Levi-Civita-Symbol zu einem Tensor wird, sollte ein Faktor ${\sqrt {|g|}}$ für das richtige Transformationsverhalten hinzugefügt werden(Tensordichte um genau zu sein). Ausserdem muss die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit orientierbar sein, damit das Objelt global definiert werden kann und seinen Namen verdient.

Ich habe einen Abschnitt eingefügt, der dieses Thema kurz anreißt.--Theowoll 18:56, 9. Jul. 2008 (CEST)

Pseudotensor

Die Bezeichnung Pseudotensor halte ich für unzutreffend. Deswegen habe ich sie entfernt. Es gibt einen fragwürdigen Beitrag zum Begriff Pseudotensor im Artikel Pseudovektor. Ebenso fragwürdig ist eine Bemerkung in der englischen Version: „It is actually a pseudotensor because under an orthogonal transformation of jacobian determinant −1 (i.e., a rotation composed with a reflection), it gets a -1. Because the Levi-Civita symbol is a pseudotensor, the result of taking a cross product is a pseudovector, not a vector.“ Folgt man dem Link auf den Artikel Pseudotensor, so findet man eine Erklärung, aber ich glaube, dass sie auf den Epsilon-Tensor nicht zutrifft.--Theowoll 18:56, 9. Jul. 2008 (CEST)

Ergänzung der Identitäten

Ich denke einige häufig vorkommende Identitäten (für das Kreuzprodukt) sollten ergänzt werden. Wikipedia wird schließlich oft zum "schnellen Nachschlagen" genutzt und gerade diese Identitäten vermisst man auch in Lehrbüchern oft obwohl man sie nur "schnell mal kurz zum Rechnen" braucht. Eine eigene Herleitung ist dabei einfach übertrieben; zumal viele andere mathematische Artikel hier auch ggf. Identitäten mitgelistet haben.

=> Solche Identitäten wurden nun in Abschnitt "Tensorkalkül" behandelt. MfG Fritzudo (nicht signierter Beitrag von Fritzudo (Diskussion | Beiträge) 15:44, 21. Mär. 2024 (CET))

Lesenswert-Kandidatur: Levi-Civita-Symbol (Archivierung Abstimmung)

•  Pro bin da grad drübergestolpert als ich ihn verlinkt hab und muss sagen, dass der artikel echt spitze ist. fehlen tut eigentlich nichts und das jemand dazu sogar jemand ein bild erstellt hat ist auch hervorzuheben. Damit ist der Artikel m.E. auch für mathematische Laien verständlich. MfG --Morray noch Fragen? 21:12, 15. Mai 2006 (CEST)

•  Kontra mag ja sein, dass da nix fehlt, aber ich versteh nur Bahnhof - beim ersten Satz vergeht mir schon das Lesen - ich hab zwar mal gehört, dass es denkbar sei, dass es mehr als 3 bzw. 4 (inkl. Zeit) Dimensionen geben könnte, aber schlau werde ich aus dem Wirrwarr von Formeln ganz sicher NICHT ! Was ist das überhaupt für ein Zeichen ? - sieht aus, als stamme es aus dem griechischen Alphabet... und wozu ist das ganze gut? - wäre für mich eher ein Löschkandidat, wenn ich nicht wüsste, wieviel Arbeit alleine im Erstellen der Formeln liegt - Grüsse Die zuckerschnute 01:08, 16. Mai 2006 (CEST)
  • Hm, des mit den 3,4 Dimensionen ist halt Physik (obwohl da durchaus auch noch viel mehr geben kann die dann aufegrollt sind) aber der gute alte Epsilontensor ist eingentlich nicht anderes als Mathematik. Vielleicht rührt daher ja deine Verwirrung. Und wozus gut ist hat der Autor m.E. schon ganz schön zum einen in der Einleitung und dann im Kapitel Anwendung dargelegt. MfG --Morray noch Fragen? 09:55, 18. Mai 2006 (CEST)
•  Pro Ich habe meinen Spass gehabt. Besonders das im lockeren Beisammensein einfach nur vom Epsilon-Tensor gesprochen wird, wenn das Levi-Civita-Symbol gemeint ist. Ansonsten könnt dieser Artiker totaler Fake sein, ich würde es nicht merken. Weil ich also total inkompetent bin, kann ich eigendlich nicht mit Pro stimmen. Aber ich will damit das Contra von Zuckerschnute neutralisieren, denn bei den Lesenswerten Kannidaten ist Fachchinesisch erlaubt. Er währe jedoch schön, wenn ich überhaubt eine Idee bekommen wurde, um was er dort geht. --Egore Diskussion 22:05, 16. Mai 2006 (CEST)
• Laien- Pro. Die Einleitung ist absolut OMA-tauglich, der Rest muß es nicht sein, da es sich nun mal um mathematische Formelsprache handelt. Ich hab sogar mitten im Text schon mal gedacht, dass das irgendwas mit dem Kronecker-Delta zu tun haben könnte und war dann ganz überrascht, dass es tatsächlich so ist. Also, für lesenswert ok, wenn kein Profi was anderes sagt. --Taxman ^Rating 22:09, 16. Mai 2006 (CEST)
•  Kontra ich weiss, die formalen Kriterien sind erfüllt, aber unverständlich heisst für mich auch: nicht lesenswert --Geos 14:17, 18. Mai 2006 (CEST)
•  Kontra Meiner Meinung nach wird im Artikel das Levi-Civita-Symbol halt definiert und es werden einige Anwendungen genannt. Um den Artikel zum lesenwerten Artikel zu machen, sollten einige der Anwendungen zumindest auch ausgeführt und nicht nur genannt werden und die Beziehungen zwische Levi-Civita und Kronecker-Symbol sollten im Artikel bewiesen werden. So ist der Artikel hilfreich für jemanden, der gerade nach der Definition für das Levi-Civita-Symbol sucht, nicht mehr und nicht weniger. Für lesenswert reicht das IMO nicht aus.--Edelweiß 23:35, 20. Mai 2006 (CEST)

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•  Pro Habe zwar in Teilen daran mitgearbeitet, u.a. ist die Skizze von mir (hätte mir rückblickend zu Beginn meines Studiums enorm geholfen, vielleicht schon an der Schule), aber das habe ich nur angefangen, weil ich den Artikel bereits für sehr gut hielt. Mittlerweile denke ich, er hat sich kräftig gemausert und ist auf dem Niveau, das ich bei anderen Artikeln, die "lesenswert" sind angelangt. Grundsätzlich: Dass bei Artikeln aus z.B. dem gesellschaftswissenschaftlichen Bereich andere Maßstäbe angelegt werden als bei solchen aus dem Naturwissenschaftlichen, halte ich für falsch und inkonsequent. Die Einleitung kann m.A. nach (und ich habe ein paar Laien gefragt) auch als Laie verstehen, so dass man weiß, worum es geht. Unsachlicher darf man nicht werden, sonst verliert der Artikel seinen Anspruch, die Verweise auf die Basis sind vorhanden und nicht überbordend. Die Formeln sind korrekt und die Skizze auch, sie sind meinem Eindruck nach auch bei Kenntniss der Mathematik bis zu dem Punkt, wo man nicht mehr weiter weiß und die Hilfe des Levi-Civita-Symbols benötigt komplett verständlich, d.h. helfen in dem Fall kompetent weiter. Fazit: Die Kriterien für mein Pro sind erfüllt. Akriesch 00:35, 16. Jul 2006 (CEST) (Ups sorry, falls die Abstimmung nicht mehr läuft, bitte ich um Entschuldigung, war ne Weile nicht mehr hier. Gerade erst aufgefallen... :-( )

Die lief auf WP:KLA.--Gunther 00:39, 16. Ju 2006 (CEST)

Darstellungs- oder Syntaxfehler?

Bei mir wird das Bild:Epsilontensor.svg nicht angezeigt. Ein Rechtsklick auf die Unterschrift ->View Image zeigt ein png-Bild(!) an, das eigentlich nur aus dem Text(!) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/71/Epsilontensor.svg/180px-Epsilontensor.svg.png besteht. Der Linksklick auf den Link führt erwartungsgemäß auf http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Epsilontensor.svg. Jedoch wird auch dort kein Bild angezeigt. Erst wenn man nun auf den Link „Epsilontensor.svg‎ (42 kB, MIME-Typ: image/svg)“ zeigt dann richtig http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/71/Epsilontensor.svg an.

Ich habe versucht, die Sache zu korrigieren, komme aber leider nicht dem mediawiki-Syntax klar bzw. ich konnte keinen Fehler in der Einbindung entdecken.

Getestet habe ich mit den Browsern:

Mozilla/5.0 (X11; U; Linux i686; en-US; rv:1.9a1) Gecko/20061101 Mnenhy/0.7.4.10002 SeaMonkey/1.5a

Mozilla/5.0 (X11; U; Linux i686; en-US; rv:1.9a1) Gecko/20060913 Minefield/3.0a1

Mozilla/5.0 (X11; U; Linux i686; de; rv:1.8.0.7) Gecko/20060830 Firefox/1.5.0.7 (Debian-1.5.dfsg+1.5.0.7-2)

Mozilla/5.0 (X11; U; Linux i686; en-US; rv:1.8.1) Gecko/20061010 Firefox/2.0

Mozilla/5.0 (compatible; Konqueror/3.5; Linux 2.6.18.2-slh-up-1; X11) KHTML/3.5.5 (like Gecko) (Debian package 4:3.5.5a.dfsg.1-3)

JiHa 19:54, 9. Nov. 2006 (CET)

Dass SVGs als PNG an den Browser geschickt werden, ist richtig und beabsichtigt, weil noch nicht alle Browser SVGs zuverlässig darstellen können. In diesem Fall scheint die PNG-Erzeugung aus irgendwelchen Gründen schiefzugehen, keine Ahnung, wieso.--Gunther 20:08, 9. Nov. 2006 (CET)

Irgendjemand sagte mir, dass SVGs nicht als Bild eingebunden werden dürften, sondern vielmehr als Objekt. Was das wiederum bedeutet, weiß ich allerdings nicht, da ich mich mit html kaum auskenne.

Übrigens werden bei mir andere SVGs der Wikipedia, wie sie ja bspw. in http://de.wikipedia.org/wiki/Scalable_Vector_Graphics gezeigt werden, korrekt angezeigt.

Sieht sonst wirklich niemand den Fehler? Welche Browser benutzt Ihr?

JiHa 00:29, 10. Nov. 2006 (CET)

Ich sehe den Fehler genau wie Du, und das mit den Objekten ist Unsinn. Ich hab' mal gefragt, ob was bekannt ist, siehe WP:FZW#Bilderprobleme?.--Gunther 00:36, 10. Nov. 2006 (CET)

Hmm. Sorry, aber ich kann unter Deinem angegebenen Link nichts dazu finden (nicht mal Deine Frage). JiHa 21:36, 12. Nov. 2006 (CET)

Ist inzwischen im Archiv. Konnte auch niemand etwas sagen.--Gunther 10:29, 14. Nov. 2006 (CET)

In der Version vom 25. Oktober erscheint das Bild ganz normal. Was ist das Problem? Wenn's keine Einwände gibt, kann die SVG-Version wieder eingesetzt werden. --A.Hellwig 20:53, 14. Nov. 2006 (CET)

Inzwischen ist das Problem ohnehin behoben.--Gunther 21:17, 14. Nov. 2006 (CET)

Ja, auch hier WFM. Aber was war eigentlich genau die Wurzel des Problems? JiHa 01:46, 8. Dez. 2006 (CET)

Falsche Grafik?

Die Grafik scheint 1 und -1 verwechselt zu haben. Die 1. (blaue) Ebene enthält z.B. in der 3. Zeile und 2. Spalte eine 1. Dieser Eintrag sollte m.E. jedoch als $\varepsilon _{321\dots }$ eine -1 enthalten.

Dort steht (in Übereinstimmung mit der anderen Grafik) mittlerweile eine -1, wurde also anscheinend korrigiert.--Theowoll 18:56, 9. Jul. 2008 (CEST)

Es sind 4 von 6 Vorzeichen falsch! Da hat jemand den Begriff "Permutation" wohl nicht verstanden! --Jan Pazuzu David 19:12, 7. Okt. 2011 (CEST)

Definition redundant

Def. m. E. redundant, da dritte definierende Eigenschaft aus den ersten beiden logisch folgt.

Da hast du recht. In einer früheren Version kam die dritte Eigenschaft auch nicht vor. Ich habe sie jetzt als Folgerung formuliert.--Theowoll 18:56, 9. Jul. 2008 (CEST)

Wie bitte?

Kann mir jemand das $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}=6$ erklären? Sieht extrem nach falsch aus...

Ja, seh ich auch so. Bei mir kommt da 1 raus. Ich aender das mal eben. Wenn jemand was dagegen hat, kann er das ja gern wieder rueckgaengig machen. --MarsmanRom 09:53, 6. Jul. 2007 (CEST)

setze in der Zeile drüber die Indizes gleich und du bekommst 2* summe über delta n,n, also 2*raumdimension, welche in der Physik nunmal oft 3 ist => 6 . Wer das nicht versteht, sollte den Artikel nicht ändern.

Mann kann sich $\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijk}=6$ auch klarmachen, wenn man es als $\varepsilon _{ijk}^{2}$ schreibt. Das bedeuted, dass mann die Summe vom Quadrat eines jeden Eintrags von $\varepsilon _{ijk}$ bildet. Somit folgt $\varepsilon _{ijk}^{2}=21\cdot 0^{2}+3\cdot 1^{2}+3\cdot (-1)^{2}=6$

-- Neue Frage: Und warum steht da auf einmal 42?

42 war die falsche Antwort. Das wurde inzwischen korrigiert.--Theowoll 18:56, 9. Jul. 2008 (CEST)

Fehler bei Invarianz des Levi-Civita-Tensors

Im letzten Absatz der Definition des Tensors steht "In obigem Beispiel erkennt man ferner eine Invarianz unter zyklischer Permutation der Indizes. Dies gilt allgemein nur dann, wenn n ungerade ist." Der Levi-Civita-Tensor ist jedoch meines Wissens invariant unter zyklischer Permutation wenn n gerade ist. Ich hab das mal abgeändert.

Fehler in der Matrixdarstellung

Ich habe die Sache mal für einen Tensor 3.Stufe mal nachgerechnet und bin mit meinem Professor einstimmiger Meinung, das sich in der Matrixdarstellung ein Fehler eingeschlichen haben muss. Die Elemente (3,2,1),(3,1,2),(1,3,2) und (1,2,3) haben jeweils das falsche Vorzeichen! --Jan Pazuzu David 14:02, 7. Okt. 2011 (CEST)

Falls "Element (3,2,1)" die Komponente $\varepsilon _{321}$ bedeuten soll, dann müsste der Wert gleich -1 sein. Es ist k=1, also die blaue Matrix. Dort steht in der dritten Zeile (i=3) und zweiten Spalte (j=2) der richtige Wert -1. --Theowoll 23:04, 7. Okt. 2011 (CEST)

Könnt ihr euch mal auf ein Epsilon einigen?

Entweder $\epsilon$ oder $\varepsilon$, aber nicht beide durcheinander.--88.73.63.138 22:03, 9. Aug. 2013 (CEST)

paarweise verschieden

was soll das "paarweise" bedeuten? Es müssen doch alles Indizes unterschiedlich sein, nicht nur "paarweise". Ich habe das Wort gelöscht. Im Grunde kann diese Bedingung daher ganz gestrichen werden. Ra-raisch (Diskussion) 09:26, 19. Mai 2015 (CEST)

Paarweise verschieden. Die Bedingung "Sind die Werte der Indizes verschieden" kann nicht gestrichen werden. --Theowoll (Diskussion) 10:27, 28. Mai 2015 (CEST)

Schreibweise

wäre es nicht klarer, die Elemente der Mengen mit Kleinbuchstaben zu bezeichnen, zB in "Zusammenhang mit der Determinante" statt A = (A_ij) lieber A = (a_ij) Ra-raisch (Diskussion) 09:43, 19. Mai 2015 (CEST)

Das ist in erster Linie Geschmackssache. Kleinbuchstaben benutzt man aus traditionellen Gründen eher in der Mathematik, Großbuchstaben in der Physik. Da das Levi-Civita-Symbol in der Physik verwendet wird, passt es schon. Außerdem wäre es auch aus mathematischer Sicht sinnvoll, denselben Buchstaben für Matrix und deren Einträge zu verwenden, wenn man bedenkt, dass eine Matrix eine Abbildung ist. --Theowoll (Diskussion) 10:27, 28. Mai 2015 (CEST)

Oma lesbarkeit

Der Artikel ist unverhältnismäßig abstrakt. Die Definition beinhaltet schon sehr allgemeine Fälle, ich wäre für eine weniger abstrakte Einführung und dann kann man ja das allgemeinste hinschreiben oder so.--Lexikon-Duff (Diskussion) 18:09, 29. Sep. 2015 (CEST)

C++

Bei der Sichtung des Artikels ist mir der Absatz zur numerischen Auswertung aufgefallen. Diese kommen aus der Änderung von 23. Dezember 2023, 15:45 Uhr. Ich erkenne nicht die Notwendigkeit dieses Absatzes. Wenn numerisches Rechnen behandelt werden soll, sollte es dafür einen eigenen Abschnitt geben. Vor allem aber: Die Formulierung „Ergänzende Software ist für die akademische Öffentlichkeit und den privaten Gebrauch im WWW verfügbar“ mit der dazugehörigen Referenz macht schon den Eindruck von (Eigen-)Werbung. --Peter Riegler (Diskussion) 17:36, 28. Mär. 2024 (CET)

Der Kollege verwendet sein eigenes (?) Buch gleich sieben Mal als EN. Dazu führt er „blaue“ Begriffe wie Meissner Tensorbasis-Transformationen ein, die auf ein übergeordnetes Lemma verlinken, das diesen Begriff gar nicht enthält. Das geht so nicht und riecht nach TF/OR.
@Fritzudo: Ist das ein etablierter Begriff, der auch in anderer Fachliteratur verwendet wird, oder ist das angegebene Buch des gleichnamigen Autors die einzige Verwendung des Begriffs?
Den Link auf das „Ingenieurbüro“ des Autors habe ich schon mal entfernt. Auch das geht so nicht. Troubled @sset   ^{[ Talk ]}   10:03, 29. Mär. 2024 (CET)

O.k., ich danke sehr für die Hinweise und werde die Anregungen umgehend umsetzen! Die Streichung des "Ing.-Büros" ist o.k. - war allerdings nicht als PR gemeint! Denn über diesen speziellen Verweis werden lediglich alle Software-Quellen kostenfrei bereitgestellt. Das war gut gemeint, aber gehört sicherlich nicht in die Enzyklopädie. Fritzudo -- ME261 15:01, 29. Mär. 2024 (CET)