Diskussion:Lorentzsche Mannigfaltigkeit

Definition

Sollte man im einleitenden Satz die Lorentz-Mannigfaltigkeit nicht einfach mit dem $\mathbb {R} ^{4}$ mit Lorentz-Metrik identifizieren? Dass man auf dem $\mathbb {R} ^{4}$eine differenzierbare Struktur definieren kann steht sinngemäß schon im Artikel zur "riemannschen Mannigfaltigkeit" (erstes Beispiel). --B wik 18:37, 14. Dez. 2010 (CET)

Der Punkt ist: Der Raum muss topologisch nicht der $\mathbb {R} ^{4}$ sein, sondern kann eben irgendeine differenzierbare Mannigfaltigkeit sein, z.B. ein 4-dim. Zylinder oder ein Torus, oder was auch immer. Ich weiß allerdings nicht, welche Modelle die Kosmologen aktuell diskutieren. Für die Differenzialgeometrie ist das aber auf jeden Fall interessant. -- Digamma 18:46, 14. Dez. 2010 (CET)

Präzisierung: Es geht nicht um die differenzierbare Struktur. Die besitzt der $\mathbb {R} ^{n}$ selbstverständlich. Der $\mathbb {R} ^{n}$ ist ja geradezu der Modellraum für differenzialrechnung. Es ist ja umgekehrt so, dass die Differenzierbare Struktur einer Mannigfaltigkeit über die Karten von der differenzierbaren Struktur des $\mathbb {R} ^{n}$ bekommt.

Vielmehr ist deshalb von Mannigfaltigkeiten die Rede, weil es um Räume geht, die nur lokal so auszusehen brauchen wie der $\mathbb {R} ^{n}$ aber nicht global. Eine Mannigfaltigkeit entsteht sozusagen dadurch, dass man Stücke von $\mathbb {R} ^{n}$ aneinanderklebt, wodurch aber ein Gebilde entstehen kann, das selbst kein $\mathbb {R} ^{n}$ ist.

Meines Wissens gibt es zum Beispiel in Räumen, die global wie der $\mathbb {R} ^{4}$ aussehen, keine Schwarzen Löcher und auch keine Wurmlöcher. Deshalb kann man ART nicht über dem $\mathbb {R} ^{4}$ betreiben.

PS: Ich habe deine Änderungen rückgängig gemacht, weil sie meiner Meinung nach Fehler einbauen. -- Digamma 21:47, 14. Dez. 2010 (CET)

Hi Digamma,

via google findet man bei "lorentz mannigfaltigkeit" das Skript http://idefix.physik.uni-freiburg.de/user/aufgabe/ART05/Skript4.3.ps . Dort gibt es diese sehr schöne Definition: "Das mathematische Modell der Raum-Zeit in der allgemeinen Relativitätstheorie ist eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit (M, g), also eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit M, die mit einem nirgends degenerierten zweifach kovarianten symmetrischen Tensorfeld g der Signatur (1,3) versehen ist". Diese Definition gefällt mir, weil sie nicht im Widerspruch zu den englischen Wikipedia-Artikeln zum Thema steht und dabei recht eindeutig definiert, was gemeint ist. Im Artikel hier wird diese Definition auf n Dimensionen erweitert, was erst mal kein Problem darstellt. Allerdings wird in der aktuellen Fassung nicht so recht klar, was eine Lorentzmetrik genau ist. Wichtig erscheint mir dabei eine Abgrenzung zur Minkowski-Metrik (mit der hatte ich sie ursprünglich nämlich verwechselt und kam deswegen auch zum $\mathbb {R} ^{4}$) und der enge Bezug zur Signatur. Deswegen hatte ich die Signatur (-,+,+,+,...) auch direkt hinter die Lorentzmetrik gestellt. Also z.B Lorentzmetrik mit Signatur (-,+,+,+,...). Dass die Topologie einer Mannigfaltigkeit nicht der des $\mathbb {R} ^{n}$ entsprechen muss, ist mir klar. --B wik 23:52, 14. Dez. 2010 (CET)